南京市2021届高三年级学情调研数学试卷.docx

南京市 2021 届高三年级学情调研
数 学
2020.09
注意事项：
1．本试卷共 6 页，包括单项选择题（第 1 题~第 8 题）、多项选择题（第 9 题~第 12 题）、
填空题（第 13 题~第 16 题）、解答题（第 17 题~第 22 题）四部分．本试卷满分为 150
分，考试时间为 120 分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信
息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，
在其他位置作答一律无效．
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合 A＝{x|x －x－2＜0}，B＝{x|1＜x＜3 }，则 A∩B＝
2
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}
2．已知(3－4i)z＝1＋i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝ 3，则 a 与 b 的夹角为
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}
π
π
5π
6
2π
3
A．6
B．3
C．
D．
x2 y2
4．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C： － ＝1 的一条渐近线的距离
a2 9
为 6，则双曲线 C 的离心率为
A．2
B．4
C． 2
D． 3
5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 2bcosC≤2a－c，则角 B 的取值范
围是
π
A．(0， ]
3
2π
B．(0， ]
3
π
C．[ ，π)
3
2π
D．[ ，π)
3
8
27
1
－3
6．设 a＝log 9，b＝2 ，c＝( ) ，则
－1.2
4
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞a＞b

7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A：(x－1) ＋y ＝1，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的
2
2
切线，切点为 T．若 PT＝ 2PB，则动点 P 的轨迹方程为
A．x ＋y －14x＋18＝0 B．x ＋y ＋14x＋18＝0
2
2
2
2
C．x ＋y －10x＋18＝0
D．x ＋y ＋10x＋18＝0
2 2
2
2
8．已知奇函数 f (x)的定义域为 R ，且 f (1＋x)＝f (1－x)．若当 x∈(0，1]时，f(x)＝log (2x＋
2
93
3)，则 f ( )的值是
2
A．－3
B．－2
C．2
D．3
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5 分，部分选对
得 3 分，不选或有错选的得 0 分．
9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的
快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经
济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年
的 5G 经济产出做出预测．
由上图提供的信息可知
A．运营商的经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
π
6
10．将函数 f(x)＝sin2x 的图象向左平移 个单位后，得到函数 y＝g(x)的图象，则
π
12
π
6
A．函数 g(x)的图象关于直线 x＝ 对称
B．函数 g(x)的图象关于点( ，0)对称

5π
C．函数 g(x)在区间(－ ，－ )上单调递增 D．函数 g(x)在区间(0， )上有 2 个零点
12
π
6
7π
6
11．已知(2＋x)(1－2x) ＝a ＋a x＋a x ＋a x ＋a x ＋a x ＋a x ，则
5
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
A．a 的值为 2
B．a 的值为 16
0
5
C．a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a 的值为－5
D．a ＋a ＋a 的值为 120
1
2
3
4
5
6
1
3
5
12．记函数 f(x)与 g(x)的定义域的交集为 I．若存在 x ∈I，使得对任意 x∈I，不等式
0
[f(x)－g(x)](x－x )≥0 恒成立，则称(f(x)，g(x))构成“M 函数对”．下列所给的两个函数
0
能构成“M 函数对”的有（
）
1
A．f(x)＝lnx，g(x)＝x
B．f(x)＝e ，g(x)＝ex
x
1
x
C．f(x)＝x ，g(x)＝x
D．f(x)＝x＋ ，g(x)＝3 x
3
2
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁
球（小球完全浸入水中），水面高度恰好
r
3
R
r
升高 ，则 ＝
▲
．
r
3
r
14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287－前 212），是古希腊伟大的物理学家、数
学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成
的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的
三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在
1
4
平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y＝4 与抛物线 C：y＝ x 交于 A，B 两点，则弦
2
AB 与抛物线 C 所围成的封闭图形的面积为
▲
．
15．已知数列{a }的各项均为正数，其前 n 项和为 S ，且 2S ＝a a ，n∈N ，则 a ＝
▲
；
*
＋
n n 1
n
n
n
4
若 a ＝2，则 S ＝
▲
．(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
1
20
16．若不等式(ax ＋bx＋1)e ≤1 对一切 x∈R 恒成立，其中 a，b∈R，e 为自然对数的底数，
2
x
则 a＋b 的取值范围是
▲
．

四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知向量 m＝(2cosx，－1)，n＝( 3sinx，2cos x)，x∈R．设函数 f(x)＝m·n＋1．
2
（1）求函数 f(x)的最小正周期；
π 7π
3 12
8
5
（2）若 α∈[ ， ]，且 f(α)＝ ，求 cos2α 的值．
18．（本小题满分 12 分）
已知数列{a }是公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为 S ．
n
n
7
（1）在①S ＋S ＝2S ＋2，②S ＝ ，③a a ＝4a 这三个条件中任选一个，补充到上述
3
1
3
2
3
2 3
4
题干中．求数列{a }的通项公式，并判断此时数列{a }是否满足条件 P：任 意 m，n∈N ，a a
*
n
n
m n
均为数列{a }中的项，说明理由；
n
a
（2）设数列{b }满足 b ＝n( n＋1) ，n∈N ，求数列{b }的前 n 项和 T ．
n－1
*
a
n
n
n
n
n
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．（本小题满分 12 分）
为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 100 名学生（男生 60 人，女生 40
人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：
是否达标
不达标
达标
性别
男生
女生
36
10
24
30
（1）是否有 99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？
n(ad－bc)2
附：χ ＝
，
2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
2
k
3.841
10.828
（2）如果用这 100 名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生
和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机
抽取 3 人（2 男 1 女），设随机变量 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数”，试求 X 的分布列
和数学期望．
20．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AD//BC，AB＝BC＝PA＝1，
AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点 E 在棱 PC 上，设 CE＝λCP．
（1）求证：CD⊥AE；
P
（2）记二面角 C－AE－D 的平面角为 θ，
E
且|cosθ|＝ 10，求实数 λ 的值．
5
A
D
B
C

21．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： ＋ y ＝ 1．
x2
4
2
→ →
（1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F ，F ，T 是椭圆 C 上的一个动点，求TF ·TF 的
1
2
1
2
取值范围；
（2）设 A(0，－1)，与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点．若△ABD 是以 A
．．．
为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 l 的方程．
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x)＝kx－xlnx，k∈R．
（1）当 k＝2 时，求函数 f (x)的单调区间；
（2）当 0＜x≤1 时，f (x)≤k 恒成立，求 k 的取值范围；
ln1 ln2
lnn
n＋
( －1)
n n
（3）设 n∈N ，求证： ＋ ＋…＋ 1≤
．
*
2
3
4

南京市 2021 届高三年级学情调研
数学参考答案
2020.09
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1．C
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
9．ABD 10．ACD 11．ABC 12．AC
2．B
3．D
4．A
5．A
6．C
7．C
8．B
三、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
64
3
13．2
14．
15．4；220
16．(－∞，－1]
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
17．（本小题满分 10 分）
解：因为 m＝(2cosx，－1)，n＝( 3sinx，2cos x)，
2
所以 f(x)＝m·n＋1＝2 3sinxcosx－2cos x＋1
2
π
6
＝ 3sin2x－cos2x＝2sin(2x－ )．
……………………… 4 分
……………………… 5 分
2π
2
（1）T＝ ＝π．
8
5
π 4
6 5
（2）由 f(α)＝ ，得 sin(2α－ )＝ ．
π 7π
3 12
π
2
π
6
由 α∈[ ， ]，得 ≤2α－ ≤π，
4
5
3
5
π
6
π
6
所以 cos(2α－ )＝－ 1－sin (2α－ )＝－ 1－( ) ＝－ ，……………… 7 分
2
2
π π
从而 cos2α＝cos[(2α－ )＋ ]＝cos(2α－ )cos －sin(2α－ )sin
6 6
π
6
π
6
π
6
π
6
3
3 4 1 －4－3 3
＝－ × － × ＝
5 2 5 2
．
…………………… 10 分
10
18．（本小题满分 12 分）
解 ：（1）选①，
因为 S ＋S ＝2S ＋2，
1
3
2
所以 S －S ＝S －S ＋2，即 a ＝a ＋2，
3
2
2
1
3
2
又数列{a }是公比为 2 的等比数列，
n
所以 4a ＝2a ＋2，解得 a ＝1，
1
1
1
因此 a ＝1×2 ＝2 ．
…………………………………… 4 分
n－1
n－1
n

此时任意 m，n∈N ，a a ＝2 ·2 ＝2m＋n－2，
m－1
n－1
*
m n
由于 m＋n－1∈N ，所以 a a 是数列{a }的第 m＋n－1 项，
*
m n
n
因此数列{a }满足条件 P．
……………………………………7 分
n
选②，
7
3
7
3
因为 S ＝ ，即 a ＋a ＋a ＝ ，
3
1
2
3
又数列{a }是公比为 2 的等比数列，
n
7
3
1
3
所以 a ＋2a ＋4a ＝ ，解得 a ＝ ，
1
1
1
1
1
3
因此 a ＝ ×2 ．
………………………………… 4 分
n－1
n
2
此时 a a ＝ ＜a ≤a ，即 a a 不为数列{a }中的项，
9
1 2
1
n
1 2
n
因此数列{a }不满足条件 P．
………………………………… 7 分
n
选③，
因为 a a ＝4a ，
2 3
4
又数列{a }是公比为 2 的等比数列，
n
所以 2a ×4a ＝4×8a ，又 a ≠0，故 a ＝4，
1
1
1
1
1
因此 a ＝4×2 ＝2 ．
…………………………………4 分
n－1
n＋1
n
此时任意 m，n∈N ，a a ＝2 ·2 ＝2m＋n＋2，
m＋1
n＋1
*
m n
由于 m＋n＋1∈N ，所以 a a 是为数列{a }的第 m＋n＋1 项，
*
m n
n
因此数列{a }满足条件 P．
……………………………………7 分
n
（2）因为数列{a }是公比为 2 的等比数列，
n
a
所以 n＋1＝2，因此 b ＝n×2 ．
n－1
a
n
n
所以 T ＝1×2 ＋2×2 ＋3×2 ＋ ＋n×2 ，
0
1
2 …
n－1
n
则 2T ＝
1×2 ＋2×2 ＋…＋(n－1)×2 ＋n×2 ，
1
2
n－1
n
n
两式相减得－T ＝1＋2 ＋2 ＋…＋2 －n×2
………………………10 分
1
2
n－1
n
n
1－2n
1－2
＝
－n×2n
＝(1－n)2 －1，
n
所以 T ＝(n－1)2 ＋1．
……………………………………12 分
n
n

19．（本小题满分12 分）
解 ：（1）假设H ：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得
0
100×(36×30－24×10)2
(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)
2450
207
χ2＝
＝ ≈11.836＞6.635，
因为当H 成立时，χ ≥6.635 的概率约为0.01，
2
0
所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4分
（2）记事件A 为：从该校男生中随机抽取1 人，课外阅读达标；
事件B 为：从该校女生中随机抽取1 人，课外阅读达标．
24 2
由题意知：P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ．
60 5 40 4
30 3
……………………… 6 分
随机变量X 的取值可能为0，1，2，3．
2
5
3
9
P(X＝0)＝(1－ ) ×(1－ )＝ ，
2
4 100
2
2 5
2
5
3 3
4 4
2
5
39
100
P(X＝1)＝C × ×(1－ )×(1－ )＋ ×(1－ ) ＝ ，
1
2
2
5
3
4
2
2 5
2 3 2
5 4 5
P(X＝2)＝( ) ×(1－ )＋C × ×(1－ )× ＝ ，
2
1
2 3 3
P(X＝3)＝( ) × ＝ ．
2
5 4 25
所以随机变量X 的分布列为：
X
P
0
1
2
3
9
100
39
100
2
5
3
25
………………………… 10 分
9
100
39
100
2
5
3
25
期望E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3×
＝1.55．
………………………… 12 分
20．（本小题满分12 分）
（1）证明：因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PAÌ平面PAD，
所以PA⊥平面ABCD．
………………………… 2 分
又CDÌ平面ABCD，所以CD⊥PA．
在四边形ABCD 中，AD//BC，∠DAB＝90°，所以∠ABC＝90°，
又AB＝BC＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC＝∠CAD＝45°，AC＝ 2．
在△CAD 中，∠CAD＝45°，AC＝ 2，AD＝2，

所以 CD＝ AC ＋AD －2×AC×AD×cos∠CAD＝ 2，从而 AC ＋CD ＝4＝AD ．
2
2
2
2
2
所以 CD⊥AC．
………………………… 4 分
又 AC∩PA＝A，AC，PAÌ平面 PAC，所以 CD⊥平面 PAC．
又 AEÌ平面 PAC，所以 CD⊥AE．
………………………… 6 分
（2）解：因为 PA⊥平面 ABCD，BA⊥AD，
→ → →
故以{AB，AD，AP}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
z
因为 AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，
所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)，
C(1，1，0)，D(0，2，0)，
E
→
→
则CD＝(－1，1，0)，AD＝(0，2，0)．
D
y
因为点 E 在棱 PC 上，且 CE＝λCP，
B
→ →
C
所以CE＝λCP，
x
设 E(x，y，z)，则(x－1，y－1，z)＝λ(－1，－1，1)，
→
故 E(1－λ，1－λ，λ)，所以AE＝(1－λ，1－λ，λ)．
→
由（1）知，CD⊥平面 PAC，所以平面 ACE 的一个法向量为 n＝CD＝(－1，1，0)．
设平面 AED 的法向量为 m＝(x ，y ，z )，
1
1
1
→
ì
ï
m AE＝0，
(1－λ)x ＋(1－λ)y ＋λz ＝0，
ì
í
î
í
由
·
得
1
1
1
→
y ＝0，
ï
î
AD＝0，
1
m·
令 z ＝1－λ，所以平面 AED 的一个法向量为 m＝(－λ，0，1－λ)．
1
………………………… 9 分
λ
|＝ 10，
因此 |cosθ|＝|cos<m，n>|＝|m n
· |＝|
|m||n|
5
2 λ ＋(1－λ)
2
2
·
2
3
化简得 3λ －8λ＋4＝0，解得 λ＝ 或 2．
2
2
3
因为 E 在棱 PC 上，所以 λ∈[0，1]，所以 λ＝ ．
10
5
2
3
所以当|cosθ|＝
时，实数 λ 的值为 ．
………………………… 12 分
21．（本小题满分 12 分）
x
2
解 ：（1）因为椭圆 C： ＋ y ＝ 1， 所 以 F (－ 3，0)，F ( 3，0)．
2
4
1
2

→ →
设 T(x ，y )，则 TF ·TF ＝(－ 3－x ，－y )·( 3－x ，－y )＝x ＋y －3．
2
2
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
x
4
→ → 3
2
因为点 T(x ，y )在椭圆 C 上 ，即 0 ＋ y ＝ 1，所以TF ·TF ＝ x －2，且 x ∈[0，4]，
2
2
2
0
0
0
1
2
4
0
0
→ →
所以TF ·TF 的取值范围是[－2，1]．
………………………… 4 分
1
2
（2）因为直线 l 与坐标轴不垂直，故设直线 l 方程 y＝kx＋m (m≠－1，k≠0)．
设 B(x ，y )，Ｄ(x ，y )．
1
1
2
2
ìy＝kx＋m，
ï
í
2
由 x
得(1＋4k )x ＋8kmx＋4m －4＝0，
2 2 2
＋ y ＝ 1．
ï
î
2
4
8km
1＋4k2
4(m －1)
2
所以 x ＋x ＝－
，x x ＝
．
………………………… 6 分
1
2
1 2
1＋4k2
→ →
因为△ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB⊥AD，即 AB· AD＝0，
因此 (y ＋1)( y ＋1)＋x x ＝0，即(kx ＋m＋1)( kx ＋m＋1)＋x x ＝0，
1
2
1 2
1
2
1 2
从而 (1＋k ) x x ＋k(m＋1)( x ＋x )＋(m＋1) ＝0，
2
2
1 2
1
2
4(m －1)
8km
1＋4k2
2
即 (1＋k )×
－k(m＋1)×
＋(m＋1) ＝0，
2
2
1＋4k2
也即 4(1＋k )( m－1)－8k m＋(1＋4k ) (m＋1)＝0，
2
2
2
3
5
解得 m＝ ．
………………………… 9 分
4km
m
又线段 BD 的中点 M(－
，
)，且 AM⊥BD，
1＋4k2 1＋4k2
m
1＋4k2
＋1
1
k
5
5
所以
＝－ ，即 3m＝1＋4k ，解得 k＝±
．
2
4km
1＋4k2
－
5
5
3
5
576
25
又当 k＝± ，m＝ 时，△＝64k m －4(1＋4k )( 4m －4)＝ ＞0，
2
2
2
2
5
3
所以满足条件的直线 l 的方程为 y＝± x＋ . ……………………… 12 分
5
5
22．（本小题满分 12 分）
解 ：（1）当 k＝2 时，f (x)＝2x－xlnx，f′(x)＝1－lnx，
由 f′(x)＞0，解得 0＜x＜e；由 f′(x)＜0，解得 x＞e，
因此函数 f (x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．……… 2 分
（2）f (x)＝kx－xlnx，故 f′(x)＝k－1－lnx．
当 k≥1 时，因为 0＜x≤1，所以 k－1≥0≥lnx，
因此 f′(x)≥0 恒成立，即 f (x)在(0，1]上单调递增，

所以 f (x)≤f (1)＝k 恒成立．
…………………………… 4 分
当 k＜1 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝e ∈(0，1)．
k－1
当 x∈(0，e )，f′(x)＞0，f (x)单调递增；当 x∈(e ，1)，f′(x)＜0，f (x)单调递减；
k－1
k－1
于是 f (e )＞f (1)＝k，与 f (x)≤k 恒成立相矛盾．
k－1
综上，k 的取值范围为[1，＋∞)．
…………………………… 7 分
（3）由（2）知，当 0＜x≤1 时，x－xlnx≤1．
1
1 2
令 x＝ (n∈N )，则 ＋ lnn≤1，即 2lnn≤n －1，
*
2
n2
n2 n2
lnn
－1
2
因此n＋1
≤n
．
……………………………………10 分
n－1 n(n－1)
ln1 ln2
所以 ＋ ＋…＋
lnn 0 1
≤ ＋ ＋…＋
＝
．
…………………12 分
2
3
1 2 2
2
4
n＋

→ →
设 T(x ，y )，则 TF ·TF ＝(－ 3－x ，－y )·( 3－x ，－y )＝x ＋y －3．
2
2
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
x
4
→ → 3
2
因为点 T(x ，y )在椭圆 C 上 ，即 0 ＋ y ＝ 1，所以TF ·TF ＝ x －2，且 x ∈[0，4]，
2
2
2
0
0
0
1
2
4
0
0
→ →
所以TF ·TF 的取值范围是[－2，1]．
………………………… 4 分
1
2
（2）因为直线 l 与坐标轴不垂直，故设直线 l 方程 y＝kx＋m (m≠－1，k≠0)．
设 B(x ，y )，Ｄ(x ，y )．
1
1
2
2
ìy＝kx＋m，
ï
í
2
由 x
得(1＋4k )x ＋8kmx＋4m －4＝0，
2 2 2
＋ y ＝ 1．
ï
î
2
4
8km
1＋4k2
4(m －1)
2
所以 x ＋x ＝－
，x x ＝
．
………………………… 6 分
1
2
1 2
1＋4k2
→ →
因为△ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB⊥AD，即 AB· AD＝0，
因此 (y ＋1)( y ＋1)＋x x ＝0，即(kx ＋m＋1)( kx ＋m＋1)＋x x ＝0，
1
2
1 2
1
2
1 2
从而 (1＋k ) x x ＋k(m＋1)( x ＋x )＋(m＋1) ＝0，
2
2
1 2
1
2
4(m －1)
8km
1＋4k2
2
即 (1＋k )×
－k(m＋1)×
＋(m＋1) ＝0，
2
2
1＋4k2
也即 4(1＋k )( m－1)－8k m＋(1＋4k ) (m＋1)＝0，
2
2
2
3
5
解得 m＝ ．
………………………… 9 分
4km
m
又线段 BD 的中点 M(－
，
)，且 AM⊥BD，
1＋4k2 1＋4k2
m
1＋4k2
＋1
1
k
5
5
所以
＝－ ，即 3m＝1＋4k ，解得 k＝±
．
2
4km
1＋4k2
－
5
5
3
5
576
25
又当 k＝± ，m＝ 时，△＝64k m －4(1＋4k )( 4m －4)＝ ＞0，
2
2
2
2
5
3
所以满足条件的直线 l 的方程为 y＝± x＋ . ……………………… 12 分
5
5
22．（本小题满分 12 分）
解 ：（1）当 k＝2 时，f (x)＝2x－xlnx，f′(x)＝1－lnx，
由 f′(x)＞0，解得 0＜x＜e；由 f′(x)＜0，解得 x＞e，
因此函数 f (x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．……… 2 分
（2）f (x)＝kx－xlnx，故 f′(x)＝k－1－lnx．
当 k≥1 时，因为 0＜x≤1，所以 k－1≥0≥lnx，
因此 f′(x)≥0 恒成立，即 f (x)在(0，1]上单调递增，

所以 f (x)≤f (1)＝k 恒成立．
…………………………… 4 分
当 k＜1 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝e ∈(0，1)．
k－1
当 x∈(0，e )，f′(x)＞0，f (x)单调递增；当 x∈(e ，1)，f′(x)＜0，f (x)单调递减；
k－1
k－1
于是 f (e )＞f (1)＝k，与 f (x)≤k 恒成立相矛盾．
k－1
综上，k 的取值范围为[1，＋∞)．
…………………………… 7 分
（3）由（2）知，当 0＜x≤1 时，x－xlnx≤1．
1
1 2
令 x＝ (n∈N )，则 ＋ lnn≤1，即 2lnn≤n －1，
*
2
n2
n2 n2
lnn
－1
2
因此n＋1
≤n
．
……………………………………10 分
n－1 n(n－1)
ln1 ln2
所以 ＋ ＋…＋
lnn 0 1
≤ ＋ ＋…＋
＝
．
…………………12 分
2
3
1 2 2
2
4
n＋