四川省成都经开区实验中学2018届高三模拟考试(一)数学(理)试卷(含答案).docx

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成都经开区实验中学2018届高考模拟考试试题（一）
数学（理工类）
（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）
注意事项：
1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将答题卡上交；
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，则
A B C D
2.在复平面内，复数对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
3.在矩形中，，在边上任取一点，的最大边是的概率是
A． B． C． D．
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球的表面积为

A． B． C． D．
5.设实数满足，则的取值范围是
A. B. C. D.
6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值等于
A.1 B. C. D.

7．已知数列{}满足，且，
则的值是
A B C 5 D
8.下列命题中，真命题是
A．，有 B．
C．函数有两个零点 D．，是的充分不必要条件
9.已知的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为
A. B. C. D.
10.对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为优函数，① 对任意，恒有；② 当时，总有成立，则下列函数不是优函数的是
A． B．
C． D．
11．将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为
A． B． C． D．
12．已知是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与的左支交于两点，若，且，则的离心率是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分
13.在直角三角形中，，若，则 ．
14.已知双曲线的离心率为，则实数的值为 ．
15．设为数列的前项之积，即，若，当时，的值为 .
16．对于函数，有如下三个命题：
①的单调递减区间为
②的值域为
③若，则方程在区间内有3个不相等的实根
其中，真命题是　　　　．（将真命题的序号填写在横线上）
三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
在中，角、、的对边分别为、、，.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值．

18.(本题满分12分)
大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：

（Ⅰ）设表示在这块地种植此水果一季的利润，求的分布列及期望；
（Ⅱ）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．

19.(本题满分12分)
如图，在梯形ABCD中， AB∥CD, AD＝DC＝CB＝1, ∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD, BF＝1.

(Ⅰ)求证：AD⊥平面BFED；
(Ⅱ)点P在线段FE上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．

20.（本小题满分12分）
给定椭圆：，称圆为椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于、两点，与其“伴随圆”交于、两点，
当时，求面积的最大值．

21.（本小题满分12分）
已知函数其中是自然对数的底数，.
（1）当时，解不等式；
（2）若在[－1,1]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当时，求整数的所有可能的值，使方程在上有解．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：．
（Ⅰ）求曲线C1和C2的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型；
（Ⅱ）试判断：曲线C1和C2是否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没有，请说明理由；
（Ⅲ）设是曲线C1上任意一点，请直接写出a + 2b的取值范围．

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集是，求正整数的最小值.

成都经开区实验中学2018届高考模拟考试试题（一）
数学（理工类）参考答案
1—5 BBDBC 6—10 CBDBD 11—12 AD
13.18 14. 2 15．10 16.①②
17. 解：（Ⅰ）由，得. …3分
∴.
∵， ∴. ……6分
（Ⅱ）由正弦定理,得. ……9分
∵, ,
∴. ∴. ……11分
∴. ……12分
18.解：（Ⅰ）设表示事件“水果产量为”，表示事件“水果市场价格为元/”，则，．
∵利润产量市场价格成本，
∴的所有可能取值为：，，，．
；；
；．　
∴的分布列为：

28000
40000
44000
60000

0.2
0.2
0.3
0.3
（万元）．
（Ⅱ）设表示事件“在销售收入超过5万元的情况下利润超过5万元”，则．
19.解析：(Ⅰ)在梯形ABCD中，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∠BDC＝∠CBD＝30°，
∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝90°，即AD⊥BD.
又平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD,
∴AD⊥平面BFED. (5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可建立分别以直线DA、DB、DE为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示．
易知BD＝＝，
令EP＝λ(0≤λ≤)，则D，A，B，P，
∴＝， ＝.
设n1＝为平面PAB的一个法向量，由得
取y＝1，得n1＝，(9分)

∵n2＝是平面ADE的一个法向量，
∴cos θ＝＝ ＝.(11分)
∵0≤λ≤， ∴当λ＝时， cos θ有最大值， ∴θ的最小值为. (12分)
20．解：（Ⅰ）由题意得，，又∵b=1，∴a2=3，
∴椭圆C的方程为 ．．．．．．．．4分
（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，
①当CD⊥x轴时，由，得|AB|=．
②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．．．6分
设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0．
∴x1+x2=，x1x2=．
当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2，
=（1+k2）[﹣]，=，．．．．．．8分
=3+，=3+，≤3+=4，
当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．．．．．．．．．10分
当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，
此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．．．．．．．．．．．．．12分
21. 解(1)因为ex>0，所以不等式f(x)>0， 即ax2＋x>0.
又因为a<0，所以不等式可化为x<0. 所以不等式f(x)>0的解集为.……2分
(2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x)ex ＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]ex，
①当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)≥0在[－1,1]上恒成立，当且仅当x＝－1时取等号，故a＝0符合要求；…………4分
②当a≠0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1，
因为Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1>0，
所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
不妨设x1>x2， 因此f(x)有极大值又有极小值．
若a>0，因为g(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1,1)内有极值点，故f(x)在[－1,1]上不单调．…6分
若a<0，可知x1>0>x2.
因为g(0)＝1>0，且g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1,1]上单调，则必须满足 ……8分
(3)当a＝0时， 方程为xex＝x＋2，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解．
所以原方程等价于ex－－1＝0，令h(x)＝ex－－1，因为h′(x)＝ex＋>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，[所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，
又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e－3－<0，h(－2)＝e－2>0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上．所以整数k的所有值为－3,1. ……………12分
22.（本小题满分10分）
解析：（Ⅰ）由题设知曲线C1的方程是．
所以曲线C1表示以为焦点，中心为原点的椭圆．…………………… 3分
同理曲线C2的方程是．
所以曲线C2表示以为圆心，半径是1的圆． ……………………… 5分
（Ⅱ）联立曲线C1和C2的直角坐标方程，得．
消去x，得，解得或．
由图形对称性知公共点的个数为2． ……………………………………… 8分
（Ⅲ）a + 2b的取值范围是． ……………………… 10分
23.（本小题满分10分）
解析：（1）不等式，解得，所以解集是.
（2），注意到是正整数，有，
所以，令，解得，所以正整数的最小值是.

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