湖南省益阳市2018届高三4月调研考试数学(文)试题-含解析.doc

益阳市2018届高三4月调研考试
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知，得，，根据集合补集的定义可得，由集合交集的运算法则可得.故选C.
2. 设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，根据复数的乘除运算法则，可得，由共轭复数的定义，得，所以.故选C.
3. 已知命题“，”，则命题为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由已知，命题为全称命题，其否定需由特称命题来完成，并将其结论否定，即.故正确答案为D.
4. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知，根据向量坐标表示，及其加减运算公式、平行关系，得，
又∥，所以，解之得.故选B.
5. 如图所示的程序框图，若输出的，则输入的值为（ ）

A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】由题意，根据程序框图可得分段函数，当时，由，解得；当时，由，解得.故正确答案为D.
点睛：此题主要考查程序框图的识别执行能力，以及分段函数中求函数值的计算能力等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是最近几年来的必考题型.一般程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框图（起止框、输入输出框、赋值框、判断框）；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字.
6. 现有张牌面分别是，，，，，的扑克牌，从中取出张，记下牌面上的数字后放回，再取一张记下牌面上的数字，则两次所记数字之和能整除的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，试验的情况总数有，又，即两次所记数字之和能整除的有：，，，两次交换顺序共8种，还有，即所求事件个数共有，所以所求概率为.故选D.
7. 已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三视图，可知该几何体是由一边长为的正方体和一正四棱锥组合在一起的简单组合体，所该几何体的体积为.故正确答案为B.
8. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为，则（ ）

A. 无限大 B.
C. D. 可以取
【答案】B
【解析】由题意，从外到内正方形的边长依次为，，，…，则数列是以首项为，公比为的等比数列，所以，当时，则.故选B.
9. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，，令，即函数的对称轴为，又，当时，有，解得.故选A.
点睛：此题主要考查三角函数图象的平移变换、对称性等性质有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型.一般此类问题常涉及三角函数的知识点两个或两个以上，要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上，要对三角函数的性质灵活运用，有时还需要用数形结合的思想来求解.
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，根据三角形面积公式，得，即，解得，根据余弦定理得，即，，所以的周长为.故选B.
11. 设双曲线的左焦点，直线与双曲线在第二象限交于点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，双曲线右焦点，又，所以，则为直角三角形，即，则，，由双曲线定义得，即，则，所以双曲线的渐近线方程为.故选C.
点睛：此题主要考查双曲线的定义及方程、渐近线方程、焦点，以及直线与双曲线位置关系、勾股定理的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.解决此类问题过程中，常采用数形结合法来求解，数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题.
12. 已知函数其中为自然对数的底数.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】（有待研究）
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数的图象关于点对称，则__________．
【答案】1
【解析】由已知，得，，
整理得，所以当时，等式成立，即.
14. 已知，满足约束条件则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】由题意，根据约束条件作出可行域图，如图所示，将目标函数转化为，作出其平行直线，并将其在可行域内平行上下移动，当移到顶点时，在轴上的截距最小，即.

15. 已知斜率为，且在轴上的截距为正的直线与圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，则__________．
【答案】或
【解析】由题意，可知真线的方程为，圆的圆心为，半径为，由点到直线的距离公式，知圆心到真线的距离为，则，所以，又，解得或.
16. 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由，得，令，即，，则曲线上与直线平行的切线的切点坐标为，由点到直线的距离公式得，即.
点睛：此题主要考查求曲线上动点到直线距离最值的计算，以及导数几何意义在解决几何问题中的应用等有关方面的知识与运算能力，属于中档题型，也是常考考点.在此类问题中，常将距离的最值转化为切线问题，利用导数的几何意义，求出切点，再将问题转化为点到直线的距离问题，从而问题得解.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知等差数列的公差为，且方程的两个根分别为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析：（1）由题意，根据根与系数关系可求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项公式，从而问题可得解决；（2）由（1）可得数列的通项，观察其特点，可采用分组求和法进行计算，即将数列分为等比数列与等差数列两种特殊数列，再根据各自前项和公式进行运算，从而问题可得解.
试题解析：（1）由题知，
解得
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则

.
18. 在三棱锥中，底面，，，是的中点，是线段上的一点，且，连接，，.

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析：（1）由题意，根据勾股定理可计算出，又，易知为的中点，由三角形中位线性质可知，与平行，再根据线面平行的判定定理，从而问题可得解；
（2）由题意，可采用等体积法进行求解运算.即由，又其底面与均为直角三角形，从而问题可得解.
试题解析：（1）因为，所以.
又，，
所以在中，由勾股定理，
得.
因为，
所以是的斜边上的中线.
所以是的中点.
又因为是的中点，
所以直线是的中位线，
所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，.
又因为，.
所以.
又因为，
所以.
易知，且，
所以.
设点到平面的距离为，
则由，
得，
即，
解得.
即点到平面的距离为.
19. 某校高一年级共有名学生，其中男生名，女生名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为分）.为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取名学生的成绩，按从低到高分成，，，，，，七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知的频率等于的频率，的频率与的频率之比为，成绩高于分的为“高分”.

（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数；
（2）请你根据已知条件将下列列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格（分以上（含分）为及格）与性别有关”？

口语成绩及格
口语成绩不及格
合计
男生

女生

合计

附临界值表：

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）根据题意，可设的频率为，由频率性质，即各组频率之和为1，建立关于的方程，求出未知数的值，从而算出的频率，由此问题可得解；（2）由（1），根据已知条件，结合男女生的人数比，即可完成列联表，再根据所提供的观测值的计算公式，算出观测值，再比对临界值表，从而可问题可得解.
试题解析：（1）设的频率为，
则的频率为，的频率为.
则，
解得.
故的频率为，的频率为.
故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的频率为.
故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数为.
（2）根据已知条件得列联表如下：

口语成绩及格
口语成绩不及格
合计
男生

40
女生

60
合计
70
30

因为，
所以有的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格与性别有关”.
20. 已知抛物线的方程为，过点（为常数）作抛物线的两条切线，切点分别为，.
（1）过焦点且在轴上截距为的直线与抛物线交于，两点，，两点在轴上的射影分别为，，且，求抛物线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，.求证：为定值.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）由抛物线方程可知其焦点坐标，则可得直线的方程，联立直线与抛物线方程，消去，根据根与系数关系可得点的横坐标关系式，再由，从而问题可得解；（2）由题意，根据导数几何意义，通过两切点计算两条切线方程，从而得到两切线斜率与抛物线参数的关系式，从而可证明，两斜率的乘值为定值.
试题解析：（1）因为抛物线的焦点坐标是，
所以过焦点且在轴上截距为的直线方程是 ，即.
联立消去并整理，得，
设点，，
则，.
则
，
解得.
所以抛物线的方程为.
（2）设点， .
依题意，由，得，
则.
所以切线的方程是，
即.
又点在直线上，
于是有，
即.
同理，有，
因此，，是方程的两根，
则，.
所以，
故为定值得证.
21. 已知函数（，为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是.(2)-e.
【解析】试题分析：（1）由题意，利用导数法进行讨论，由可求出函数的增区间，可求出函数的减区间，同时对参数进行分段讨论，从而问题即可得解；（2）由题意，可构造函数，由此可将问题转化为计算，再根据导数进行运算求解，从而问题可得解.
试题解析：（1）由题知，函数的定义域是.
，
当时，对任意恒成立，
所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，令，得；
令，得；
所以函数的单调递增区间是，
单调递减区间是.
（2）当时，恒成立，
即为恒成立，
即为恒成立.
设，
则.
显然在区间上单调递增，且，
所以当时，；当时，；
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以，
解得.
即实数的最小值是.
点睛：此题主要考查函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，以及导数在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是必考题型.利用导数求函数单调区间的一般步骤为：1.确定函数的定义域；2.求函数的导数；3.在函数的定义域内解不等式和；4.写出函数的单调区间.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆以极坐标系中的点为圆心，为半径.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）判断直线与圆之间的位置关系.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）由题意，选将圆的极坐标转化为直角坐标，可得圆的标准方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，将圆的标准方程转化为极坐标方程，从面问题可得解；
（2）由可将直线的参数方程转化为一般方程，通计算圆心到直线的距离，将距离与半径进行比较，从而可得直线与圆的位置关系.
试题解析：（1）点化为直角坐标是，
故以点为圆心，为半径的圆的直角坐标方程是，
将，代入上式，
可得圆的极坐标方程是.
（2）由得，得，
故直线的直角坐标方程为.
因为圆心到直线的距离
，
所以直线与圆相交.
点睛：此题主要考查直线的参数方程与直角坐标方程的互化，圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是必考点.参数方程与直角坐标方程的互化，只消参即可，而及极坐标方程与直角坐标方程的互化，需要转化换公式来进行换算，从而问题可得解.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析：（1）由题意，可将含绝对值的函数转化为分段函数，再逐段进行求解，汇总所得解，从而问题可得解；（2）由题意，可构造函数，将其转化为分段函数，并作出其图象，结合其图象，对参数的取值范围，进行分段讨论，汇总所有解，从而问题可得解.........................
试题解析：（1）当时，.
当时，由，得；
当时，由，得；
当时，由，得.
综上所述，不等式的解集为.
（2）由，得.
令
作出的图象如图所示，

由题意知的图象恒在函数的图象的下方.
由图象可知，当经过点时，解得或.
当时，的图象经过点，显然不成立；
当时，的图象经过点，成立，
所以，
即实数的取值范围为.