【数学】浙江省湖州市安吉县2020-2021学年高一下学期期末考试试卷-(解析版).docx

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浙江省湖州市安吉县2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．如果复数是纯虚数，那么实数m等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1
【答案】D
【解析】∵＝是纯虚数，
∴，解得m＝0或﹣1．故选：D．
2．某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如表所示：
编号
身高
编号
身高
编号
身高
1
173
6
169
11
168
2
179
7
177
12
175
3
175
8
175
13
172
4
173
9
174
14
169
5
170
10
182
15
176
那么这组数据的第80百分位数是（　　）
A．175 B．176 C．176.5 D．170
【解析】这15个数据按照从小到大排列，可得168，169，170，172，173，173，174，175，175，175，176，177，179，182，
因为80%×15＝12，所以第80百分位数是第12项与第13项数据的平均数，
即为．故选：C．
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，则异面直线EF和C1D所成角的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在正方体中连接A1B，CD1，且CD1∩C1D＝O，
∵E，F分别是棱AA1，AB的中点，
∴EF∥A1B，又AB∥CD1，∴EF∥CD1，
∴∠COD即为异面直线EF和C1D所成角的平面角，
∵平面CDD1C1为正方形，∴∠COD＝
∴异面直线EF和C1D所成角的大小．
故选：D．

4．在△ABC中，∠A＝90°，，，则k的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
【答案】A
【解析】△ABC中，∵∠A＝90°，，，
∴＝2（2﹣k）+3×2＝0，求得k＝5，
故选：A．
5．从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④至少有1个黄球与都是白球．
其中互斥而不对立的事件共有（　　）
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
【答案】A
【解析】对于①，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故①中的两个事件不互斥．
对于②，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事件不是互斥事件．
③恰有1个白球与恰有1个黄球，这两件事是同一件事，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球是同一事件．故不是互斥事件．
④″至少有1个黄球″说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是白球”说明白球的个数是2，故这两个事件是互斥事件且是对立事件；
故选：A．
6．已知向量不共线，，，若，则m＝（　　）
A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3
【答案】D
【解析】∵向量不共线，，，，
∴3+＝λm+λ（m+2），
∴，解得λ＝﹣1，m＝﹣3．故选：D．
7．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对应边的边长，若a＝1，b＝，A＝30°是B＝60°的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由正弦定理可知 ＝
∴sinB＝b•＝×＝
∵0°＜B＜180°
∴B＝60°或120°
∴若a＝1，b＝，A＝30°则B＝60°或120°
∠B＝60°能推出A＝30°
故选：B．
8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝1，AC＝5，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（　　）
A．24π B．36π C．72π D．144π
【答案】B
【解析】如图，∵PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，
同理：PA⊥AC，
又∵AB⊥AC，∴该三棱锥是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，
∵长方体的体对角线就是该长方体外接球的直径，
又∵长方体的体对角线为：＝＝，
∴外接球的直径2R＝6，
∴R＝3，∴球的体积V＝＝36π，

故选：B．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．给出如下数据：
第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9．
第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18．
则这两组数据的（　　）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．极差相等 D．方差相等
【答案】CD
【解析】对于A，第一组数据的平均数为，
第二组数据的平均数为，所以两组数据的平均数不相等，故选项A错误；
对于B，第一组数据的中位数是7，第二组数据的中位数是16，所以两组数据的中位数不相等，故选项B错误；
对于C，第一组数据的极差为13﹣2＝11，第二组数据的极差为22﹣11＝11，所以两组数据的极差相等，故选项C正确；
对于D，第一组数据的方差为[（3﹣）2+（11﹣）2+（5﹣）2+（13﹣）2+（7﹣）2+（2﹣）2+（6﹣）2+（8﹣）2+（9﹣）2]
＝4.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892，
第二组数据的方差为[（12﹣）2+（20﹣）2+（14﹣）2+（22﹣）2+（16﹣）2+（11﹣）2+（15﹣）2+（17﹣）2+（18﹣）2]
＝4.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892，
所以两组数据的方差相等．故选：CD．
10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（　　）
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
【答案】AC
【解析】对于A，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的情况是：
前2个路口都遇到绿灯，第3个路口遇到红灯，
其概率为P＝＝，故A正确；
对于B，此密码被破译的对立事件是三个人同时没有破译密码，
∴此密码被破译的概率为P＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，故B错误；
对于C，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为：
P＝＝，故C正确；
对于D，由题意得，
解得P（A）＝P（B）＝，故D错误．
故选：AC．
11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　）

A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点A1和点D到平面AEF的距离相等
【答案】BCD
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系
则A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），G（2，2，1），
对于A，＝（0，0，﹣2），＝（﹣2，2，1），
∵＝﹣2≠0，∴直线D1D与直线AF不垂直，故A错误；
对于B，＝（0，2，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣2，2，1），
设平面AEF的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（2，1，2），
∵＝0，A1G⊄平面AEF，
∴直线A1G与平面AEF平行，故B正确；
对于C，连接AD1，FD1，∵E，F分别是BC，CC1的中点，
∴面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1，
∴面AEF截正方体所得的截面面积为：
S＝＝＝，故C正确；
对于D，由B知平面AEF的法向量＝（2，1，2），
∴点A1到平面AEF的距离h＝＝＝，
点D到平面AEF的距离d＝＝＝，
∴点A1和点D到平面AEF的距离相等，故D正确．
故选：BCD．

12．在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，且BC＝6，AD＝2，则（　　）
A．△ABC面积最大值是12 B．
C．不可能是5 D．
【解析】设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

对于A，
，当AD⊥BC时不等式等号成立，
所以△ABC面积最大值为6，故A错误；
对于B，
在△ABD中，，
当时，不等式等号成立，故B正确；
对于C，
因为，
所以
解得，因为，所以，
故可能是5，故C错误；
对于，，
所以，
又，所以．故选：BD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为　 　．
【答案】
【解析】如图所示，正三角形绕AB旋转一周，所得的几何体为两个同底的圆锥，
圆锥的底面半径为r＝OC＝，
所以几何体的表面积为S＝2×＝＝．
故答案为：．

14．若直线m与不重合的平面α、β所成的角相等为θ，则α与β　 　．
【答案】平行或相交
【解析】直线m与不重合的平面α、β所成的角相等为θ，有可能是两个平面平行，也有可能两个平面相交，故答案为：平行或相交．
15．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC＝　600　m．

【答案】600
【解析】如图在Rt△AMD中，由|MD|＝400，∠DAM＝45°，得|AM|＝|MD|＝400，
在△AMC中，∠AMC＝45°+15°＝60°，∠MAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
∴∠ACM＝180°﹣60°﹣75°＝45°．
由正弦定理得，解得|AC|＝400．
在Rt△ABC中，|BC|＝|AC|•sin60°＝400×＝600（m）．
故山的高度|BC|＝600m．故答案为：600．

16．已知单位向量，，满足，记，则对任意λ∈R，的最小值是　　．
【答案】
【解析】设＝，＝，＝，建立如图所示的直角坐标系，
则A（1，0），B（0，1），C在单位圆上运动，取E（0，），P（﹣，0），
直线AE的方程为x+y﹣＝0，∠AEO＝，
已知＝，设＝（1﹣λ），
则＝﹣＝λ，作DH⊥y轴于点H，则|（1﹣λ）|＝||＝2||，
又|2+|＝|+2|＝2|﹣（﹣）|＝2|﹣|＝2||，
|﹣﹣λ|＝|﹣|＝|+|＝||，
因此，＝2（||+||）+2||≥2（||+||），
作点P关于直线AE的对称点P′，设P′（x0，y0），
则，解得，
连接P′D，则||+||＝||+||≥|x0|＝，
于是，≥2（||+||）＝，
当D（，），对应λ＝，且C为DP于单位圆O的交点时取得最小值，
最小值为．故答案为：．

四．解答题（共6小题）
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．
（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．

【解】（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，因为BC∥AD，，
O是AD的中点，则BC∥AO，BC＝AO，
所以四边形ABCO是平行四边形，所以AB∥OC，
又因为AB⊄平面POC，CO⊂平面POC，
所以AB∥平面POC；
（Ⅱ）连结OB，因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OD，
又因为点O时AD的中点，且，所以BC＝OD，
因为BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD，
所以四边形OBCD是正方形，所以BO⊥AD，
建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
所以，
设平面BAP的法向量为，
则，即，令y＝1，则x＝z＝﹣1，故，
因为OB⊥平面PAD，所以是平面PAD的一个法向量，
所以＝，
由图可知，二面角B﹣AP﹣D为锐角，所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值为．

18．在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲乙两队进行排球比赛：
（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局．接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权．设两队打了x（x≤4）个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P（x）．
【解】（1）依题意，甲队将以3：1或3：2的比分赢得比赛．
若甲队以3：1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，
若甲队以3：2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢．
故甲队最后赢得整场比赛的概率为．
（2）依题意，每次发球，发球队得分的概率为，接发球方得分的概率为．
甲接下来可以以16：14或17：15赢得比赛，故x取值为2或4．
若甲乙比分为16：14，则x取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，
∴，
若甲乙比分为17：15，则x取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，
对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，
∴．
19．统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图[每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）元]．
（1）求月收入在[3000，3500）的频率；
（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的应抽取多少？

【解】（1）月收入在[3000，3500]的频率为：0.0003×（3500﹣3000）＝0.15；
（2）频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），设中位数为x，
则0.0002×500+0.0004×500+0.0005×（x﹣2000）＝0.5，解得x＝2400，
∴根据频率分布直方图估计样本数据的中位数为2400；
（3）居民月收入在[2500，3000]的频率为0.0005×（3000﹣2500）＝0.25，
所以10000人中月收入在[2500，3000]的人数为0.25×10000＝2500（人），
再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500，3000]的这段应抽取100×＝25人．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b﹣csinA）sinC＝c（1﹣cosAcosC）．
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）在①S△ABC＝，②A＝，③a＝2c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若b＝3，_______，求△ABC的周长．
【解】（Ⅰ）因为（b﹣csinA）sinC＝c（1﹣cosAcosC），
可得bsinC+ccos（A+C）﹣c＝0，即sinC（sinB﹣cosB）＝sinC，
因为C∈（0，π），sinC≠0，
所以sinB﹣cosB＝2sin（B﹣）＝1，即sin（B﹣）＝，
因为0＜B＜π，﹣＜B﹣＜，
所以B﹣＝，可得B＝．
（Ⅱ）若选择条件①，
因为S△ABC＝＝acsin，
所以ac＝9，
由余弦定理可得cos＝＝，所以a2+c2＝18，可得（a+c）2＝36，又a+c＞0，解得a+c＝6，
因此△ABC的周长为a+b+c＝9．
若选择条件②A＝，
在△ABC中，由正弦定理可得＝2，
所以a＝2sin＝，c＝2sin（）＝，
所以△ABC的周长为a+b+c＝+3+＝．
若选择条件③a＝2c，由余弦定理可得cos＝＝，
所以4c2+c2﹣9＝2c2，即c2＝3，解得c＝，a＝2，
因此△ABC的周长为a+b+c＝3+3．
21．已知向量＝（1，2），＝（﹣2，1），＝+（t+1），＝﹣+．
（1）写出平面向量基本原理的内容，并由此说明能否成为一组基底；
（2）若对于任意非0实数t，与均不共线，求实数k的取值范围．
【解】（1）平面向量基本定理的内容：如果、是同一平面内两个不共线的向量，
那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使＝λ1+λ2．
因为向量＝（1，2），＝（﹣2，1），所以不共线，
所以可以成为一组基底；
（2）假设，
则由对应系数成比例可得＝0，
即t2+t+k＝0，向量x，y不共线，则对任意非0实数t都无解，所以k＞﹣（t2+t），
而函数﹣（t2+t）＝﹣（t+），当t＝﹣时，﹣（t2+t）的最大值为，
所以，即实数k的取值范围为（）．
22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1所有的棱长为2，，M是棱BC的中点．
（Ⅰ）求证：A1M⊥平面ABC；
（Ⅱ）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC所成角的正弦值为？若存在，求出CP的值；若不存在，请说明理由．

【解】（1）证明：连接AM，
∵，BC＝2，M是BC中点，
∴A1M⊥BC，A1M＝1
又，∴，∴A1M⊥AM，
∵AM∩BC＝M，AM，BC⊂平面ABC，
∴A1A⊥平面ABC．
（2）由（1）知MA，MB，MA1两两垂直，
以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，MA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，1，0），C（0，﹣1，0），A1（0，0，1），B1（﹣，1，1），
＝（﹣，2，1），
假设＝（﹣），λ∈（0，1），
＝＝（﹣），
取平面A1BC的法向量＝（1，0，0），直线BP与平面A1BC所成角为θ，
∵直线BP与平面A1BC所成角的正弦值为，
∴sinθ＝＝＝，
整理得8λ2﹣18λ+9＝0，
由λ∈（0，1），解得CP＝＝．

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