资源描述
2019-2020 学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．二次函数 y＝x﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于 x轴的下方；当 8＜x＜9
2
时，它的图象位于 x轴的上方，则 m的值为（
）
A.27 B.9 C.﹣7
D.﹣16
2．下列计算正确的是（
A．b•b ＝b
）
B．（﹣a） ＝a
6
2
3
6
2
3
C．（ab） ＝ab2
2
D．（﹣a） ÷（﹣a） ＝﹣a
6 3 3
3．将函数 y＝x﹣2x（x≥0）的图象沿 y轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函数 y＝x﹣
2
2
2|x|的图象，关于 x的方程 x﹣2|x|＝a，在﹣2＜x＜2的范围内恰有两个实数根时，a的值为（
2
）
A.1
B.0
C.
D.﹣1
4．下列计算正确的是（ ）
A.
B.
D.
C.
5．计算(-2)3 的结果是（
）
1
D．
9
A．-8
B．-6
C．8
6．菱形 ABCD中，ÐB = 60°，AB = 5，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为（
）
A．15
7．下列计算正确的是( )
A.a³+a²＝a, B.a³a²＝a,
B．16
C．17
D．20
C.(-2a²)³＝-6a , D.a÷a ＝a.
3
5
5
6
-2
8．如图，在边长为 2的等边三角形 ABC中，以 B为圆心，AB为半径作 AC ，在扇形 BAC内作⊙O与
AB、BC、 AC 都相切，则⊙O的周长等于（
）
2
4
4
p
p
A． p
B．
C．
D．π
3
3
9
9．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边 BC的中点，BC的延长线上的点 N满足 AM⊥AN．△ABC的内切
PN
圆与边 AB、AC的切点分别为 E、F，延长 EF分别与 AN、BC的延长线交于 P、Q，则
＝（
）
QN
A．1
B．0.5
C．2
D．1.5
10．在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
1
1
=1-
11．分式方程
A．x＝1
的解为(
)
x - 2
2 - x
B．x＝2
C．无解
D．x＝4
12．若数组 2，2，x，3，4 的平均数为 3，则这组数中的（
）
A．x=3
B．中位数为 3
C．众数为 3
D．中位数为 x
二、填空题
3
13．如图，在△ABC 中，AD 是高，BD＝6，CD＝4，tan∠BAD＝ ，P 是线段 AD 上一动点，一机器人从点
4
5
A 出发沿 AD 以 个单位/秒的速度走到 P 点，然后以 1 个单位/秒的速度沿 PC 走到 C 点，共用了 t 秒，
3
则 t 的最小值为_____．
14．如图，在 3×3 的方格中（共有 9 个小格），每个小方格都是边长为 1 的正方形，O、B、C 是格点，
则扇形 OBC 的面积等于___（结果保留 π）
ì2x + 9 > 6x +1
< 2
，则 k 的取值范围为_____．
15．不等式组 í
的解集为 x
îx - k <1
16．如果 a、b、c 为互不相等的实数，且满足关系式 b +c ＝2a +16a+14 与 bc＝a ﹣4a﹣5，那么 a 的取
2
2
2
2
值范围是_____．
^ OB
，则ÐABC =
________度.
17．如图，点 A,B,C 都在圆O上，OC
，点 在劣弧上，且
A
=
OA AB
k ( )
x
= k ¹ 0
18．如图，点 在反比例函数 y
的第二象限内的图像上，点 B 在 x 轴的负半轴上，
A
AB = AO ， ABO 的面积为6 ，则 k 的值为______
三、解答题
19．某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了 20 名工人某天每人加工零
件的个数，数据如下：整理上面数据，得到条形统计图；样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：
统计量
数值
平均数
众数
中位数
19.2
m
n
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中 m、n 的值分别为
，
；
（2）为调动积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达 到或超过这个标准的
工人将获得奖励．如果想让 60%左右的工人能获奖，应根据
来确定奖励标准比较合适（填“平均
数”、“众数”或“中位数”）；
（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过 21 个的工人为生产能手若该部门有 300 名工人，试
估计该部门生产能手的人数；
（4）现决定从小王、小张、小李、小刘中选两人参加业务能手比赛，直接写出恰好选中小张、小李两人
的概率．
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点的坐标为
（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与 y 轴交于点 C（0，3），点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接 PO、PC，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP′C（如图 1 所示），那么是否存在点 P，使
四边形 POP′C 为菱形？若存在，请此时点 P 的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABCP 的面积最大，并求出其最大值．
21．已知：如图①，将∠D＝60°的菱形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，将△ADC 沿射线 DC 方向平移，得到△
BCE，点 M 为边 BC 上一点(点 M 不与点 B、点 C 重合)，将射线 AM 绕点 A 逆时针旋转 60°，与 EB 的延长
线交于点 N，连接 MN．
(1)①求证：∠ANB＝∠AMC；
②探究△AMN 的形状；
(2)如图②，若菱形 ABCD 变为正方形 ABCD，将射线 AM 绕点 A 逆时针旋转 45°，原题其他条件不变，(1)
中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证
明．
22．计算或化简
æ ö-2
1
-
﹣3tan30
（1）
ç ÷
12
è 2 ø
（2）（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣2）2
-1 + ( 5 - ) + 3tan 30 - |1 - 3 |
．
23．（1）计算：
p
2
0
°
ì3 -( - 2) > 4
x x
ï
（2）解不等式组： í2x +1
．
> x -1
ï
î
3
24．如图，AB，CD 是圆 O 的直径，AE 是圆 O 的弦，且 AE∥CD，过点 C 的圆 O 切线与 EA 的延长线交于点
P，连接 AC．
（1）求证：AC 平分∠BAP；
（2）求证：PC =PA•PE；
2
（3）若 AE-AP=PC=4，求圆 O 的半径．
25．菱形 ABCD 中，对角线 AC=6cm，BD=8cm，动点 P、Q 分别从点 C、O 同时出发，运动速度都是 1cm/s，
点 P 由 C 向 D 运动；点 Q 由 O 向 B 运动，当 Q 到达 B 时，P、Q 两点运动停止，设时间为 t 妙（0＜t＜
4）．连接 AP，AQ，PQ．
（1）当 t 为何值时，PQ⊥AB；
（2）设△APQ 的面积为 y（cm ），请写出 y 与 t 的函数关系式；
2
2
（3）当 t 为何值时，△APQ 的面积是四边形 AQPD 面积的 ？
3
（4）是否存在 t 值，使得线段 PQ 经过 CO 的中点 M？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D D C A D B C A C
C
B
二、填空题
13．8
5p
14．
4
15．k≥1
5
16．a＞﹣1 且 a≠﹣ 且 a≠
1 21
±
7
8
且 a≠﹣
6
4
17．15 °
18．-6
三、解答题
1
6
19．（1）18，19；（2）中位数；（3）90（人）；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据条形统计图中的数据，结合众数和中位数的概念可以得到 m、n 的值；
（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；
（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．
（4）根据题意先画出树状图，得出所有等可能性的结果，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
（1）由条形图知，数据 18 出现的次数最多，
所以众数 m＝18；
中位数是第 10、11 个数据的平均数，而第 10、11 个数据都是 19，
19+19
所以中位数 n＝
故答案为：18，19；
＝19，
2
（2）由题意可得，如果想让 60%左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标 准比较合适，
故答案为：中位数；
2+4
（3）若该部门有 300 名工人，估计该部门生产能手的人数为 300×
＝90（人）；
20
（4）将小王、小张、 小李、小刘分别记为甲、乙、丙、丁，
画树状图如下：
∵共有 12 种等可能性的结果，恰好选中乙、丙两位同学的有 2 种，
2 1
=
12 6
∴恰好选中小张、小李两人的概率为
．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两
步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实
验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3
3
， ）；（3）P 点的坐标为（﹣ ，
2+ 10
2
20．（1）y＝﹣x ﹣2x+3；（2）存在．P 点的坐标为（﹣
2
2
2
15
4
75
8
），四边形 ABPC 的面积的最大值为
．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法直接将 B、C 两点直接代入 y＝x +bx+c 求解 b，c 的值即可得抛物线解析式；
2
3
3
（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断 P 点的纵坐标为﹣ ，令 y＝﹣ 即可得 x ﹣2x﹣3
2
2
2
3
＝﹣ ，解该方程即可确定 P 点坐标；
2
（3）由于△ABC 的面积为定值，当四边形 ABCP 的面积最大时，△BPC 的面积最大；过 P 作 y 轴的平行
线，交直线 BC 于 Q，交 x 轴于 F，易求得直线 AC 的解析式，可设出 P 点的横坐标，然后根据抛物线和直
线 BC 的解析式求出 Q、P 的纵坐标，即可得到 PQ 的长，以 PQ 为底，B 点横坐标的绝对值为高即可求得
△BPC 的面积，由此可得到关于四边形 ABCP 的面积与 P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求
出四边形 ABCP 的最大面积及对应的 P 点坐标．
【详解】
（1）∵C 点坐标为（0，3），
∴y＝﹣x +bx+3，
2
把 A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，
解得，b＝﹣2，
∴该二次函数解析式为：y＝﹣x ﹣2x+3；
2
（2）存在．如图 1，
设 P 点的坐标为（x，﹣x ﹣2x+3），PP′交 CO 于 E，
2
当四边形 POP'C 为菱形时，则有 PC＝PO，连接 PP′，则 PE⊥CO 于 E，
3
∴OE＝CE＝ ，
2
3
令﹣x ﹣2x+3＝ ，
2
2
-2 + 10
2 + 10
解得，x ＝﹣
1
，x ＝
2
（不合题意，舍去）．
2
2
3
， ）．
2 + 10
∴P 点的坐标为（﹣
2
2
（3）如图 2，过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OA 交于点 F，
设 P（x，﹣x ﹣2x+3），设直线 AC 的解析式为：y＝kx+t，
2
ì-3k + t = 0
则 í
，
ît = 3
ìk =1
解得： í
，
ît = 3
∴直线 AC 的解析式为 y＝x+3，
则 Q 点的坐标为（x，x+3），
当 0＝﹣x ﹣2x+3，
2
解得：x ＝1，x ＝﹣3，
2
1
∴AO＝3，OB＝1，则 AB＝4，
S
＝S +S +S
△APQ
四边形 ABCP
△ABC
△CPQ
1
1
1
＝ AB•OC+ QP•OF+ QP•AF
2
2
2
1
1
＝ ×4×3+ [（﹣x ﹣2x+3）﹣（x+3）]×3
2
2
2
3
3
＝﹣ （x+ ） +
75
8
．
2
2
2
3
当 x＝﹣ 时，四边形 ABCP 的面积最大，
2
3 15
此时 P 点的坐标为（﹣ ， ），四边形 ABPC 的面积的最大值为
2 4
75
8
．
【点睛】
此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法
等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．
21．(1)①证明见解析；②△AMN 是等边三角形，理由见解析；(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)①先由菱形可知四边相等,再由∠D=60°得等边△ADC 和等边△ABC,则对角线 AC 与四边都相等,利用
ASA 证明△ANB≌△AMC,得结论;
②根据有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形得出:△AMN 是等边三角形
(2)①成立,根据正方形得 45°角和射线 AM 绕点 A 逆时针旋转 45°,证明△ANB∽△AMC,得∠ANB=∠AMC;
②不成立,△AMN 是等腰直角三角形,利用①中的△ANB∽△AMC,得比例式进行变形后,再证明△NAM∽△
BAD,则△AMN 是等腰直角三角形
【详解】
(1)如图 1，①∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠D＝60°，
∴△ADC 和△ABC 是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠NAM＝60°，
∴∠NAB＝∠CAM，
由△ADC 沿射线 DC 方向平移得到△BCE，可知∠CBE＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABN＝60°，
∴∠ABN＝∠ACB＝60°，
∴△ANB≌△AMC，
∴∠ANB＝∠AMC；
②如图 1，△AMN 是等边三角形，理由是：
由∴△ANB≌△AMC，
∴AM＝AN，
∵∠NAM＝60°，
∴△AMN 是等边三角形；
(2)①如图 2，∠ANB＝∠AMC 成立，理由是：
在正方形 ABCD 中，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝45°，
∵∠NAM＝45°，
∴∠NAB＝∠MAC，
由平移得：∠EBC＝∠CAD＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠ABN＝∠ACM＝45°，
∴△ANB∽△AMC，
∴∠ANB＝∠AMC；
②如图 2，不成立，
△AMN 是等腰直角三角形，理由是：
∵△ANB∽△AMC，
AN
AB
∴
∴
=
AM AC
，
AN AM
=
AB AC
，
∵∠NAM＝∠BAC＝45°，
∴△NAM∽△BAC，
∴∠ANM＝∠ABC＝90°，
∴△AMN 是等腰直角三角形．
【点睛】
此题考查四边形综合题，运用了菱形的性质，三角形全等，三角形相似，解题关键在于合理运用各种性
质进行证明和计算
22．（1） 3 - 4 ；（2）4x﹣13
【解析】
【分析】
（1）先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算，再求出即可；
（2）先算乘法，再换上同类项即可．
【详解】
3
解：（1）原式＝ 2 3 ﹣3×
﹣4
3
＝ 2 3 ﹣ 3 ﹣4
＝ 3 ﹣4；
（2）原式＝x﹣9﹣x +4x﹣4＝4x﹣13．
2
2
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数，整式的混合运算等知识点，能求出每
一部分的值是解（1）的关键，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
23．(1)1;(2) 1＜x＜4．
【解析】
【分析】
（1）先根据零指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实
数混合运算的法则进行计算即可．
（2）分别求出不等式的解集，即可解答
【详解】
3
解：（1）原式＝﹣1+1+3×
﹣ 3 +1＝1；
3
ì - - > ①
3x (x 2) 4
ï
（2） í +
，
2x 1
> x -1②
ï
î
3
由①得：x＞1，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为 1＜x＜4．
【点睛】
此题考查负整数指数幂，零指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，掌握运
算法则是解题关键
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5.
【解析】
【分析】
（1）OA=OC，则∠OCA=∠OAC，CD∥AP，则∠OCA=∠PAC，即可求解；
（2）证明△PAC∽△PCE，即可求解；
（3）利用△PAC∽△CAB、PC =AC PA，AC =AB -BC，即可求解．
2
2-
2
2
2
2
【详解】
解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，
∵CD∥AP，
∴∠OCA=∠PAC，
∴∠OAC=∠PAC，
∴AC平分∠BAP；
（2）连接 AD，
∵CD为圆的直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠DCA+∠D=90°，
∵CD∥PA，
∴∠DCA=∠PAC，
又∠PAC+∠PCA=90°，
∴∠PAC=∠D=∠E，
∴△PAC∽△PCE，
PA PC
=
∴
，
PC PE
∴PC=PA•PE；
2
（3）AE=AP+PC=AP+4，
由（2）得 16=PA（PA+PA+4），
PA +2PA-8=0，解得，PA=2，
2
连接 BC，
∵CP是切线，则∠PCA=∠CBA，
Rt△PAC∽Rt△CAB，
AP AC PC
=
=
AC AB BC
，而 PC =AC PA，AC =AB -BC，
2
2
2-
2
2
2
其中 PA=2，
解得：AB=10，
则圆 O的半径为 5．
【点睛】
此题属于圆的综合题，涉及了三角形相似、勾股定理运用的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练
各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
3
21
25．（1）t=1s时，PQ⊥AB；（2）y=- t+ t（0＜t≤4）;(3) t=15-
时，△APQ的面积是四
145
2
10
5
2
1
边形 AQPD 面积的 ; (4)存在，t= 时，PQ 经过线段 OC 的中点 N，理由见解析
3
2
【解析】
【分析】
DQ DP
=
DM DC
（1）如图 3 中，作 CH⊥AB 于 H 交 BD 于 M．由 PQ∥CM，可得
，由此构建方程即可解决问
题；
（2）如图 1 中，作 AM⊥CD 于 M，PH⊥BD 于 H．根据 y=S +S -S ，计算即可解决问题；
△ADP
△ADQ
△PDQ
2
3
（3）由△APQ 的面积是四边形 AQPD 面积的
，推出 S =2S ，由此构建方程即可解决问题；
△APQ △APD
3
2
OQ ON
（4）如图 4 中，作 PH⊥AC 于 H．由 OQ∥PH，ON=NC=
，可得
=
PH NH
，由此构建方程即可解决问
题；
【详解】
解：（1）如图 3 中，作 CH⊥AB 于 H 交 BD 于 M．
24
5
18
5
易知 CH=
，AH=
AC CH
-
=
2
，
2
∵∠MCO=∠ACH，∠COM=∠CHA=90°，
∴△COM∽△CHA，
OM OC
=
AH CH
∴
，
OM 3
∴ 18 = 24 ，
5
5
9
∴OM= ，
4
∵PQ⊥AB，CH⊥AB，
∴PQ∥CM，
DQ DP
=
DM DC
∴
，
4 + t
5-t
∴ 9
=
，
+ 4
5
4
∴t=1，
∴t=1s 时，PQ⊥AB．
（2）如图 1 中，作 AM⊥CD 于 M，PH⊥BD 于 H．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，
∴∠COD=90°，
∴CD=
+ =5，
3 4
2
2
1
1
∵ •AC•OD= •CD•AM，
2
2
24
5
∴AM=
，
∵OQ=CP=t，
∴DQ=4+t．PD=5-t．
∵PH∥OC，
PH PD
=
OC CD
∴
∴
，
PH 5-t
=
，
3
5
3
∴PH= （5-t），
5
1
1
3
1
∴y=S +S -S = •（4+t）•3+ •（4+t）• （5-t）- •（5-t）•
24
3
=- t +
21
5
t（0＜
2
△ADQ
△PDQ
△ADP
2
2
5
2
5 10
t≤4）．
（3）如图 2 中，
2
∵△APQ 的面积是四边形 AQPD 面积的 ，
3
∴S =2S ，
△APQ △APD
3
∴- t +
21
1
t=2• •（5-t）•
24
5
，
2
10
5
2
解得 t=15- 145 或 15+ 145 （舍弃），
2
∴t=15- 145 时，△APQ 的面积是四边形 AQPD 面积的 ．
3
（4）如图 4 中，作 PH⊥AC 于 H．
3
∵OQ∥PH，ON=NC= ，
2
OQ ON
=
PH NH
∴
，
3
t
2
∴ 4 =
，
t 3 3
t
5
2 5
1
∴t= ，
2
1
∴t= 时，PQ 经过线段 OC 的中点 N．
2
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，平行线分线段成本定理定理，勾股定理，三角形的面积等
知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题．
2019-2020 学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．点 P（﹣3，m+1）在第二象限，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是（
）
A.
C.
B.
D.
2．如图，A，B，C，D 四个点均在⊙O 上，∠AOB＝40°，弦 BC 的长等于半径，则∠ADC 的度数等于
（
）
A.50°
B.49°
C.48°
D.47°
3．如图，在 ABCD 中，AB＝6，AD＝9，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BG⊥AE，垂
足为 G，BG＝4 ，则△CEF 的周长为（
）
A.8
B.9.5
C.10
D.11.5
4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC 交于点 P，OP＝4 3 ，则⊙O 的半径为(
)
A．8
B．12 3
C．8 3
D．12
5 1
5．我们知道，如果一个矩形的宽与长之比为
，那么这个矩形就称为黄金矩形．如图，已知 A、B
2
k
两点都在反比例函数 y＝ （k＞0）位于第一象限内的图像上，过 A、B 两点分别作坐标轴的垂线，垂足
x
分别为 C、D 和 E、F，设 AC 与 BF 交于点 G，已知四边形 OCAD 和 CEBG 都是正方形．设 FG、OC 的中点分
别为 P、Q，连接 PQ．给出以下结论：①四边形 ADFG 为黄金矩形；②四边形 OCGF 为黄金矩形；③四边形
OQPF 为黄金矩形．以上结论中，正确的是 （ ）
A．①
B．②
C．②③
D．①②③
6．直线 y=2x关于 x轴对称的直线是（
）
1
= x
2
1
y = - x
2
=
C． y 2x
D． y = -2x
A． y
B．
7．如图，PA切⊙O于点 A，割线 PBC经过圆心 O，OB＝PB＝1，OA绕点 O逆时针方向旋转 60°到 OD，则
PD的长为（
）
31
2
A． 7
B．
C． 5
D．2
2
8．如图，正方形 ABCD的边长为
，对角线 AC和 BD交于点 E，点 F是 BC边上一动点（不与点 B，C重
2
合），过点 E作 EF的垂线交 CD于点 G，连接 FG交 EC于点 H．设 BF＝x，CH＝y，则 y与 x的函数关系
的图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
9．如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（0，1），点 B是 x轴正半轴上一点，以 AB为边作等腰
3
直角三角形 ABC，使∠BAC＝90°，点 C在第一象限，若点 C在函数 y= （x＞0）的图象上，则△ABC的
x
面积为（
）
5
2
A．1
B．2
C．
D．3．
10．天津西站在 2019年春运的首日运输旅客达 42000人次.将 42000用科学记数法表示应为( )
A． 42´103
B． 4.2´104
C． 4.2´103
D．0.42´105
11．如图，已知⊙O的半径为 6cm，两弦 AB与 CD垂直相交于点 E，若 CE＝3cm，DE＝9cm，则 AB＝
（
）
A. 3 cm
B.3 3 cm
C.5 3 cm
D.6 3 cm
12．若两个连续整数x，y满足x＜ 19 ﹣1＜y，则这两个整数是（ ）
A．1和2
B．2和3
C．3和4
D．4和5
二、填空题
13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，点E在AB上，若AD：BC＝1：3， ＝a ，
AD
则用a表示 是： ＝_____．
FE
FE
14．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳的平均距离，即
149600000千米，用科学记数法表示1个天文单位是_____千米．
15．如图，直线l，l，l 相交于点A、B、C，得到△ABC，其中∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点O在线段
3
1
2
AC上，且OA=2OC，将△ABC绕点O旋转得到△ABC，当点A 落在这三条直线上时，线段AA 长是
1
1 1 1
1
_______.
16．对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当−1≤x≤1 时，−1≤y≤1，则称这个函数为
“闭 函数”.例如：y=x，y=−x 均是“闭函数”. 已知 y = ax+ bx + c(a¹0) 是“闭函数”，且抛物
2
线经过点 A(1，−1)和点 B(−1，1)，则 a 的取值范围是______________.
17．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，联结AE、BD交于点F，若 = ， = ，
BC a b
BA
用a、 表示 =______．
b
DF
18．若x＝2是关于x的方程2x﹣m+1＝0的解，则m＝_____．
三、解答题
19．如图，AC为∠BAM平分线，AB＝10，以AB的长为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AM于点
E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若DE＝4，求AD的长．
20．电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两
家分店，均销售 A、B、C、D 四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表 1 所示．现从甲、乙两店每月售
出的电脑中各随机抽取所记录的 50 台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表 2 所示．
表 1：四种款式电脑的利润
电脑款式
A
B
C
D
利润（元/台）
160
200
240
320
表 2：甲、乙两店电脑销售情况
电脑款式
A
B
C
D
甲店销售数量（台）
20
8
15
10
10
14
5
乙店销售数量（台）8
18
试运用统计与概率知识，解决下列问题：
（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于 240 元的概率为
；
（2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂
停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说
明理由．
21．射击爱好者甲、乙的近 8 次比赛成绩的分析如下表（成绩单位：环）：
次序
甲
一
9
二
6
三
6
四
8
五
7
六
6
七
6
八
8
平均数 方差
a
7
1.25
b
乙
7
7
4
5
8
7
10
8
（1）求 a、b 的值；
（2）从两个不同角度评价两人的射击水平．
22．如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接 AC 交 EF 于点 G．
（1）求证：CE=CF；
（2）若 AE=4cm，求 AC 的长度．（结果精确到 0.1cm，参考数据：
≈1．732）
3
1
a + 3a
a + 3
2
-
¸
23．先化简，再求值：
，其中 a 为 sin30°的值．
a +1 a + 2a +1 a +1
2
24．图 1 是某酒店的推拉门，已知门的宽度 AD=2 米，两扇门的大小相同（即 AB=CD)，且 AB+CD=AD，现
将右边的门 CDD C 绕门轴 DD1 向外面旋转 67°（如图 2 所示）．
1
1
参考数据：(sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan29.6°≈0．57,tan19.6°≈0.36，
sin29.6°≈0.49）
（1）求点 C 到直线 AD 的距离．
（2）将左边的门 ABB A 绕门轴 AA 向外面旋转，设旋转角为 a（如图 3 所示），问当 a 为多少度时，点
1
1
1
B，C 之间的距离最短．
25．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一点 A（1，2），AB∥x 轴且 AB＝6，点 C 在线段 AB 的
垂直平分线上，且 AC＝5，将抛物线 y＝ax （a＞0）的对称轴右侧的图象记作 G．
2
（1）若 G 经过 C 点，求抛物线的解析式；
（2）若 G 与△ABC 有交点．
k
y =
①求 a 的取值范围；②当 0＜y≤8 时，双曲线
经过 G 上一点，求 k 的最大值．
x
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A C B D A A C B
D
C
二、填空题
13．﹣2
a
14．496×108
15．8 或 8 或 4
1
3
1
- £ a < 0
16． < £ 或
0 a
2
2
1
1
- a - b.
17．
3
3
18．5
三、解答题
19．（1）见解析；（2）AD=4 5 .
【解析】
【分析】
（1）连接 OD，欲证明 DE 是⊙O 的切线，只要证明 OD⊥DE 即可．
（2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，即可证得 DE＝DF＝4，在 RT△ADF 中利用射影定理求得 AF，然后利用勾
股定理求出 AD．
【详解】
解：（1）证明：连接 OD，
∵AC 为∠BAM 平分线，
∴∠BAC＝∠MAC，
∵OA＝OD，
∴∠BAC＝∠ADO，
∴∠MAC＝∠ADO
∴AE∥OD，
∵DE⊥AM，
∴OD⊥DE，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）连接 BD，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，
∵AC 为∠BAM 平分线，DE⊥AM，
∴DF＝DE＝4，
∵AB 是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴DF ＝AF•BF，即 4 ＝AF（10﹣AF），
2
2
∴AF＝8 或 AF＝2（舍去）
∴
AD 4 8 4 5
+ = ．
=
2
2
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、射影定理以及勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判
定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．
3
20．（1）
（2）应对甲店作出暂停营业的决定
10
【解析】
【分析】
（1）用利润不少于 240 元的数量除以总数量即可得；
（2）先计算出每售出一台电脑的平均利润值，比较大小即可得．
【详解】
解：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于 240 元的概率为
10 + 5
3
=
，
20 +15+10 + 5 10
3
故答案为： ；
10
160´20 + 200´15+ 240´10 + 320´5
（2）甲店每售出一台电脑的平均利润值为
＝204（元），
50
160´8+ 200´10 + 240´14 + 320´18
乙店每售出一台电脑的平均利润值为
＝248（元），
50
∵248＞204，
∴乙店每售出一台电脑的平均利润值大于甲店；
又两店每月的总销量相当，
∴应对甲店作出暂停营业的决定．
【点睛】
本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比及加权平均数
的定义．
21．(1)a=7,b=3 (2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平均数和方差的计算公式分别求出a和b即可；
（2）从平均数上来看，甲和乙的发挥水平相当，再从方差上进行分析，甲的方差小，发挥稳定，从而得
出答案．
【详解】
9 + 6 + 6 +8+ 7 + 6 + 6 +8
（1）解：a =
= 7
8
0 + 0 + 3 + 2 +1 + 0 + 3 +1
2
2
2
2
2
2
2
b =
= 3
8
（2）评价角度不唯一，以下答案供参考：
两人平均数都是7环，说明两人平均水平相当；
甲的方差小于乙的方差，说明乙的成绩不如甲稳定．
【点睛】
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x，x，…x 的平均数为x ，则方差
n
1
2
é
ù
1 æ
ö
æ
ö
æ
ö
2
2
2
S = êç x - x÷ + ç x - x÷ +¼+ ç x - x÷ ú
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越
2
n êè
ø è
ø
è
ø ú
û
1
2
n
ë
大，反之也成立．
22．（1）证明见解析；（2）5.5cm
【解析】
【分析】
（1）利用正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠D=90°，由等边三角形的性质可得 AE=AF，∠AEF=∠AFE=∠
FAE= 60°．根据“HL”可证Rt△ABE≌Rt△ ADF，利用全等三角形的对角相等可得∠AEB=∠AFD，利用
等角对等边即证CE=CF.
（2）根据
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