北京市人大附中2021届高三上学期10月月考数学试题含答案.docx

人大附中 2021 届高三第一学期 10 月月考
数学试卷
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
{
}
A ={-1,0,1}, B = xÎ N x <1
A B =
01.已知集合
，则
A. {-1，0}
B. {0，1}
C. {0}
D. Φ
P :$xÎ(0,+¥),ln x + x < 0
P
Ø
02.已知命题
，则
为
"xÎ(0,+¥),ln x + x < 0
"xÎ(0,+¥),ln x + x ³ 0
$xÏ(0,+¥),ln x + x ³ 0
"xÏ(0,+¥),ln x + x ³ 0
A.
C.
B.
D.
5
p
P(2cos ，1)
6
03.已知点
是角 α 终边上一点，则 sinα=
1
2
2
2
A.
B.
1
2
-
-
2
2
C.
D.
04.已知向量 a=(1,1),b(2,-1),若（λa+2b）∥(a-b)，则实数 λ=
A. 8
C. 2
B. -8
D. -2
log 2 > log 2
05.以下选项中，满足
A. a=2,b=4
a
b 的是
B. a=8,b=4
- 1 -

1
1
a = ,b =
2
1
4
a = ,b = 8
4
C.
D.
06.下列函数中，既是奇函数又在区间（-1，1）内是增函数的是
( )
f x = x
3 -3x
A.
C.
B. f(x)=sinx
f (x) = ln1- x
1+ x
( )
f x = e +e
x
-x
D.
x + ax -1= 0
2
07.已知方程
在区间[0,1]上有解，则实数 a 的取值范围是
A. [0,+∞)
B.（-∞，0]
D. [-2,0]
a = m
C. （-∞，-2]
a = m2
2
08.已知 a 是非零向量，m 为实数，则“
”是“
”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件
ì - , £1
ïax x x
3
f (x) = í
ïa
-1,x >1
î
x-1
09.已知 a>0,若函数
A. （1，+∞）
1
有最小值，则实数 a 的取值范围是
B. [1，+∞）
1
2
2
C. （ ，+∞）
D. [ ，+∞）
10.定义在[1，+∞）上的函数 f(x)满足，当 0≤x≤π 时，f(x)=sinx;当 x≥π 时，f(x)=2f(x-π)若方程
f(x)-x+m=0 在区间[0,5π]上恰有 3 个不同的实根，则 m 的所有可能取值集合是
4p
3
4p
3
[0,
- 3)
(0,
- 3)
A.
C.
B.
4p
4p
[0,
- 3) [ 3p，4p）
[0,
- 3) (3p，4p）
3
3
D.
二、填空题共 5 小题每小题 5 分，共 25 分。请将答案全部填写在答题卡上。
- 1 -

p 1
cos(a + ) =
2 3
11.已知
，则 sinα=
.
a
b
c
a = 2,
=
=
,
cos A cos B cosC
12.在△ABC 中，已知
则△ABC 的面积为
.
13.已知点 P(1,1),O 为坐标原点，点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴上，且满足 PA⊥PB，则
PA+ PB
(PA + PB)× PO =
，
的最小值为
.
f (x) = ex + a(1- x)
14.已知函数
，若 f(x)≥0恒成立，则实数 a 的取值范围是
.
1
p
(w > 0)
15.将函数 y=sinx 图象上各点横坐标变为原来的w
5
倍，再向左平移 个单位，得到函
数 f(x)的图象，已知 f(x)在[0,2π]上有且只有 5 个零点，在下列命题中：
p
(- ,0)
5
①f(x)的图象关于点
对称；
②f(x)在(0,2π)内恰有 5 个极值点；
p
(0, )
5
③f(x)在区间
内单调递减；
25 30
[ , )
11 11
④ω 的取值范围是
，
所有真命题的序号是
.
三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，每小题均包含
1 分的卷面分，请注意答题卡卷面的工整和整洁。
16（本题 13 分）
在△ABC 中，已知 a+2b=2ccosA.
（1）求 C；
（2）若 a=5,c=7,求 b.
- 1 -

17（本题 13 分）
已知函数
( )
( )
f x = 2cos x +sin xw w > 0
2
,若
，写出 f(x)的最小正周期，并求函
p 5p
( , ]
6 6
数 f(x)在区间
内的最小值.
请从①ω=1，②ω=2 这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.若选择多个
条件分别作答，按第一个判分.
- 1 -

18.（本题 14 分）
1
f (x) =
, g(x) = x -1
x Î 0,a
x +1
已知函数
（1）任意
（2）存在
.求正实数 a 的取值范围；
( )
x Î 0,a
( )
f
(x ) = g(x )
,存在
，使得
1
2 成立；
1
2
[ ]
x x Î a,a +1
f
(x ) < g(x )
，使得
1
2 成立
1 2
19（本题 15 分）
研究表明：在一节 40 分钟的数学课中，学生的注意力指数f(x)与听课时间 x（单位：
分钟）之间的变化曲线如图所示.
当 x∈(0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数
y = log (x + a) +80
0.8
图象的一部分.
（1）求函数 f(x)的解析式；
（2）如果学生的注意力指数低于 75，称为“欠佳听课状态”，则在一节 40 分钟的数学课中，
学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？（精确到 2 分钟，参考数据：
4 =1024，5 = 3125
5
5
）
- 1 -

- 1 -

20.（本题 15 分）
已知函数 f(x)=(x+a)lnx-(a+1)(x-1)
（1）求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（2）是否存在实数 a，使得 f(x)在(0,+∞具)有单调性？若存在，求所有 a 的取值构成的集
合；若不存在，请说明理由.
21.（本题 15 分）
{
}
A- B = x - y xÎ A, yÎ B
T
对非空数集 A，B，定义
，记有限集 T 的元素个数为 .
A- A , B - B , A- B .
（1）A={1,3,5},B={1,2,4}，求
A = 4A Í N*,B ={1,2,3,4},
A- B
（2）若
（3）若
当
最大时，求 A 中最大元素的最小值.
A = B = 5, A- A = B - B = 21, A- B
求
的最小值.
- 1 -

参考答案
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
C
A
D
A
B
A
A
B
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
1
-
3
3
2
11.
12.
13.2,
14.[0,e2]
15.①④
三、解答题共 6 小题，共 85 分，每小题均包含 1 分的卷面分.
16.（本题 13 分）
解：（1）法 1：因为 a+2b=2ccosA,
由正弦定理，得 sinA+2sinB=2sinCcosA,················2 分
又 sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
所以，sinA+2sinAcosC+2cosAsinC=2sinCcosA，
整理得：sinA·（1+2cosC）=0················4 分
又 A,B,C∈(0,π)，故 sinA>0,
1
2p
3
cosC = - ，C =
2
所以
···············7 分
法 2：因为 a+2b=2ccosA,
b + c - a
2
2
2
cos A =
2bc
由余弦定理，知
，
b + c - a
2
2
2
a + 2b = 2c ×
2bc
所以
，··············2 分
- 1 -

a +b -c = -ab
2
2
2
整理得：
，
a + b - c
1
2
2
2
cosC =
= -
2ab
2
所以
·············5 分
又 A，B，C∈(0,π)，
2p
C =
3
所以
···············7 分
a
c
=
sin A sinC
（II）法 1：由正弦定理，知
，
5
7
=
2p
sin A
sin
3
即：
，
5 3
14
sin A =
所以，
··············8 分
11
cos A =
14
因为 C 为钝角所以
，··············9 分
所以 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
5 3
14
1 11 3 3 3
´(- ) + ´
2 14 2
=
=
14
··············11 分
3 3
7´
csin B
sin C
14
3
b =
=
= 3
2
由正弦定理，得
·············12 分
c = a + b - 2abcosC
2
2
2
法 2：由余弦定理，知
,
2p
3
49 = 25+ b -10b×cos
2
即：
，·············10 分
b + 5b - 24 = 0
2
整理得：
解得：b=3 或-8（舍）·············12 分
- 1 -

17.（本题 13 分）
解：选择①：
( )
f x = 2cos x
2 +
sin x
，最小正周期为 2π·············4 分
1
t Î[ ,1]
2
令 t=sinx,则
，·············6 分
1
17
8
f (x) = 2(1-t
) +t = -2(t - )
+
2
2
4
，·············9 分
1
[ ,1]
2
由于上述关于 t 的二次函数在区间
上单调递减，
p
x =
2
因此，当 t=1,即
选择②：
( )
时，f（x）取得最小值 1·············12 分
f x = 2cos x
2 +
sin 2x
，最小正周期为 π·············4 分
因为 f(x)=1+cos2x+sin2x·············6 分
p
= 2 sin(2x + ) +1
4
·············8 分
p 5p
xÎ( , ]
6 6
p 7p 2 3p
2x + Î( ,
4 12 12
]
当
时，
，·············9 分
7p 3p
( , ]
12 2
3p 2 3p
[ ,
]
2 12
又函数 y=sinx 在
上单调递减，在
上单调递增，
p 3p
2x + =
4 2
5p
x =
8
所以，当
，即
时，
f(x)取得最小值1- 2
18.（本题 14 分）
·············12 分
解：（1）因为 f(x)在区间（0，+∞）单调递减，
- 1 -

1
f (x )Î(
,1)
x Î（0，a）
1
a
+1
所以 1
时，
············1 分
因为 g(x)在区间（0，+∞）内单调递增，
x Î（0，a）
g(x )Î(-1,a -1)
所以 2
时，
2
············2 分
1
(
,1) Í (-1,a -1)
a +1
依题意，
，
1
-1£
<1£ a -1
a +1
所以
············5 分
因为 a>0,所以 a≥2
即正实数 a 的取值范围为[2,+∞) ············7 分
[ ]( )
x , x Î a,a +1 a > 0
（II）当
时
1
2
1
1
f (x )Î[
,
], g(x )Î[a -1,a]
1
a
+ 2 a +1
2
············9 分
1
< a
a + 2
依题意，
因为 a>0,所以
a > 2 -1，
即正实数 a 的取值范围为( 2 -1,+¥)
19.（本题 15 分）
············13 分
f (x) = b(x -12) +84(b < 0)
2
解：（1）当 x∈(0,16]时，设
，
f (16) = b(16-12) +84 = 80
2
因为
所以
，
1
4
1
b = -
f (x) = - (x -12) +84
2
4
，故
············3 分
f (x) = log (x + a) +80
当 x∈[16,40]时，
0.8
，
- 1 -

f (16) = log (16+ a) +80 = 80
由
0.8
，
f (x) = log (x -15) +80
解得 a=-15,故
0.8
············5 分
1
ì
- (x -12) +84, xÎ(0,16],
ï
2
f (x) = í
4
ï
log (x -15)+80, xÎ(16,40].
î
所以
············6 分
0.8
1
f (x) = - (x -12)
+84 < 75
2
4
（II）x∈(0,16]时，令
解得，x∈(0,6) ············9 分
f (x) = log (x -15) +80 < 75
当 x∈[16,40]时，令
0.8
5 3125
5
x -15 > 0.8-
= =
» 3
5
4 1024
5
所以
所以 x∈(18,40] ············12 分
因为，在一节 40 分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有
（6-0）+（40-18）=28 分钟············14 分
20.（本题 15 分）
解：（1）因为 f(x)=(x+a)lnx-(a+1)(x-1),
所以 f(1)=0············1 分
x
+ a
a
( )
f ’ x = ln x +
(a +1) = ln x + - a
x
x
············3 分
所以 f’(1)=0············4 分
所以所求切线方程为 y=0············5 分
1 a x - a
g '(x) = - =
g(x) = f '(x)(x > 0)
x x
2
x2
（II）令
，则
············6 分
（1）当 a≤0 时，g’(x)>0
- 1 -

所以 g(x)=f’(x)在(0,+∞)单调递增 ············7 分
又因为 f’(1)=0·，
所以当 x∈（0，1）时，f’(x)<0, f(x)单调递减；
当 x∈（1，+∞）时，f’(x)>0, f(x)单调递增············8 分
（2）当 a>0 时，令 g’(x)=0,得 x=a.
x,g’(x),g(x)的变化情况列表如下：
x
（0，a）
a
（a，+∞）
g’(x)
-
0
+
g(x)=f’(x)
f’(a)
①a=1 时，f’(x)≥f’(1)=0（当且仅当 x=1 时取等号）
所以 f(x)在（0，+∞）内单调递增，具有单调性
②当 0<a<1 时，x,f’(x),f(x)的变化情况列表如下：
x
（a，1）
1
（1，+∞）
f’(x)
f(x)
-
0
0
+
所以 f(x)在（a，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增
③当 a>1 时，x,f’(x),f(x)的变化情况列表如下：
x
（0，1）
1
（1，a）
f’(x)
f(x)
+
0
0
-
所以 f(x)在（0，1）内单调递减，在（1，a）内单调递增············13 分
综上所述，存在实数 a 使得 f(x)在（0，+∞）具有单调性，所有 a 的取值所构成的集合为
{1}············14 分
21.（本题 15 分）
解：（I）因为 A={1，3，5}，B={1，2，4}
所以 A-A={-4，-2，0，2，4}，A-A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，A-B={-3，-1，0，1，2，3，
4}
- 1 -

A- A = 5, B - B = 7, A- B = 7,
所以
············6 分
A ={a,b,c,d}Í N*,a < b < c < d
（II）设
A = B = 4
①因为
，
A- B £ 42 =16
所以
当 A={1，5，9，13}时，因为 B={1，2，3，4}
A- B ={-3,-2,-1,0,1,2, ×××,11，12}，A- B =16
所以
A- B
所以
②当
最大为 16.
A- B =16
时，A 中元素与 B 中元素的差均不相同.
所以(A- A) (B - B) ={0}
又因为 B-B={-3,-2,-1,0,1,2,3}
所以 b-a,c-b,d-c≥4
所以 d-a≥12,d≥13
A- B
综上，当
最大时，A 中最大元素的最小值为 13···········10 分
{
}
T = x - y x, y ÎT, x ¹ y
*
（III）对非空数集 T，定义运算
A = 5
①因为
，
A = 5´(5-1)= 20
A- A £ 5´(5-1)+1= 21
*
所以
，当且仅当
时取等号
A- A = 21
又因为
所以 A 中不同元素的差均不相同
同理，B 中不同元素的差均不相同
- 1 -

a -b = a'-b' Û a - a' = b -b' Û a'- a = b'-b
又因为
1
1
A- B ³ A × B - × A B ³ 5´5- ´20 =15
*
*
2
2
所以
②令 A={1,2,4,8,16},B={-1,-2,-4,-8,-16}
A = B = 5, A
所以
中不同元素的差均不相同，B 中不同元素的差均不相同
A- A = B - B = 21
所以
A- B =15
经检验，
，符合题意
A- B
综上，
的最小值为 15···········14 分
- 1 -

A- A = 5, B - B = 7, A- B = 7,
所以
············6 分
A ={a,b,c,d}Í N*,a < b < c < d
（II）设
A = B = 4
①因为
，
A- B £ 42 =16
所以
当 A={1，5，9，13}时，因为 B={1，2，3，4}
A- B ={-3,-2,-1,0,1,2, ×××,11，12}，A- B =16
所以
A- B
所以
②当
最大为 16.
A- B =16
时，A 中元素与 B 中元素的差均不相同.
所以(A- A) (B - B) ={0}
又因为 B-B={-3,-2,-1,0,1,2,3}
所以 b-a,c-b,d-c≥4
所以 d-a≥12,d≥13
A- B
综上，当
最大时，A 中最大元素的最小值为 13···········10 分
{
}
T = x - y x, y ÎT, x ¹ y
*
（III）对非空数集 T，定义运算
A = 5
①因为
，
A = 5´(5-1)= 20
A- A £ 5´(5-1)+1= 21
*
所以
，当且仅当
时取等号
A- A = 21
又因为
所以 A 中不同元素的差均不相同
同理，B 中不同元素的差均不相同
- 1 -

a -b = a'-b' Û a - a' = b -b' Û a'- a = b'-b
又因为
1
1
A- B ³ A × B - × A B ³ 5´5- ´20 =15
*
*
2
2
所以
②令 A={1,2,4,8,16},B={-1,-2,-4,-8,-16}
A = B = 5, A
所以
中不同元素的差均不相同，B 中不同元素的差均不相同
A- A = B - B = 21
所以
A- B =15
经检验，
，符合题意
A- B
综上，
的最小值为 15···········14 分
- 1 -