人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案.docx

2015～2016 学年度第一学期期末考试试卷
2.15m
2.25m
C．
D．
1
高二（理） 数学
a >1是 <1
10、设aÎ R
，则
的（
）
a
座位号
A．充分但不必要条件
C．充要条件
B．必要但不充分条件
第I 卷（选择题 共60 分）
D．既不充分也不必要条件
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1
= - x2
1、向量a = (1,2,-2),b = (-2,-4, 4)
与
，则a b
11.抛物线y
的准线方程是
(
)
（
（
）
）
8
1
1
A、相交
B、垂直
C、平行
D、以上都不对
=
y = 2
y =
y = -2
D．
A． x
B．
C．
32
32
2、如果双曲线的半实轴长为 2，焦距为 6，那么该双曲线的离心率是
12. 若A(1,-2 ,1) ，B(4,2,3) ，C(6,-1,4) ，则△ABC 的形状是（
）
3
6
3
A、
B、
C、2
D、2
2
2
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
3、已知命题p
则
:"xÎ R,sin x £1, Øp 是
（
）
A、$xÎ R,sin x ³1
C、$xÎ R,sin x >1
B、"xÎ R,sin x ³1
D、"xÎ R,sin x >1
第 II 卷（非选择题共 90 分）
= (1, 2,0) b = (-2, 0,1)
，
4、若向量a
，则（
）
cos < a,b >=1200
^
B a b
/ /
C a b
| a |=| b |
D
A
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13、经过点A(-1,3) ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为
。
5、若原命题“若a > 0,b > 0,则ab > 0 ”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（
14、若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是____________。
）
15、已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时，量得水面宽 8 米。当水面升高 1 米后，水面
宽度是___________米。
A、都真
B、都假
C、否命题真
D、逆否命题真
6、 “x2 -3x + 2 ¹ 0 ”是“x ¹1” 的（
）条件
C、充要
（
）
16、如图，在 60°的二面角的棱上，有A，B两点，线段AC，BD分别
在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，
则CD的长度__________。
A、充分不必要
x2
B、必要不充分
D、既不充分也不必要
y2
7、若方程
＋
＝1 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(
)
25－m m＋9
A、－9＜m＜25
C、16＜m＜25
B、8＜m＜25
D、m＞8
8、已知△ABC 的周长为 20，且顶点 B (0，－4)，C (0，4)，则顶点 A 的轨迹方程是（
）
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
17、（本小题满分 10 分）
x2
y2
x2
y2
A．
C．
+
=1（x≠0）
=1（x≠0）
B．
D．
+
=1（x≠0）
=1（x≠0）
36 20
20 36
x2
y2
x2
y2
ABCD ABCD
中，已知AB＝4， ＝3， ＝2， ， 分别是线段 、 上的点，且E B＝BF
AD
AA
E F
AB BC
在长方体
－
+
+
1
1
1
1
1
6
20
20
6
＝1，求直线EC 与FD 所成角的余弦值。
1
1
9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是
6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅
球出手时距地面的高度是（
）
1.75m
1.85m
B．
A．
1

21、（本小题满分 12 分）
+ y = 25
上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，
如图，设 P 是圆 x2
2
18、（本小题满分 12 分）
已知双曲线经过点 A(4 2，3)，且 a＝4；
4
| MD |= | PD |
且
。
5
(1) 求双曲线的标准方程;
(2) 求双曲线的渐近线方程;
(3) 画出双曲线的简图。
（1）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；
4
（2）求过点（3，0）且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度。
5
22、（本小题满分 10 分）
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)
(1)求椭圆的标准方程;
→ →
(2) 焦点为 F ，F ，P 为椭圆上的一点，且PF ·PF ＝0，求△F PF 的面积。
1
2
1
2
1
2
19（本小题满分 12 分）
1
1
(0, )
y = -
已知一条曲线 C 上每一点到点 F
的距离与到直线
的距离都相等。
16
16
（1）求曲线 C 的方程；
（2）求曲线 C 上一点，使这点到直线 y＝4x－5 的距离最短。
20.（本题满分 12 分）
如图,在正方体ABCD-A B C D 中,E、F分别是BB 、CD的中点.
1 1 1 1 1
(Ⅰ)证明：AD⊥D F;
1
(Ⅱ)求AE与D F所成的角;
1
(Ⅲ)证明：面AED⊥面A FD .
1 1
2

期末考试高二数学(理)试卷
参考答案
二、填空题（共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）
- x = 8
4 2
4√2
13、 y
Y /8-X /8=1
14、-2
15、
2
2
2
2
2 17
16、
2√17
一、选择题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
三、解答题（
17
、（本小题满分 10 分）
→ →
→
，DC，DD 分别为 x 轴、y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐
解析： 以 D 为坐标原点，DA
1
标系．
则有 D
_______________
(0,0,2)，E(3,3,0)，F(2,4,0)，C (0,4,2)，
1
1
→
→
于是EC ＝(－3,1,2)，FD ＝(－2，－4,2)，
1
1
→
→
设EC 与FD 所成的角为 β，
密
______________
1
1
→ →
1
|EC ·FD |
→ →
21，
14
则 cos β＝
＝
1
|EC ||FD |
1
1
21
14
所以直线 EC
与 FD 所成的角的余弦值为
.
1
1
封
_____________
18.
x2 y
2
－ ＝1(a>0，b>0)，
解析： (1)若所求双曲线方程为
a2 b2
x2 y2
则将 a＝4 代入，得 － ＝1，
16 b2
线
________________
又点 A
(4 2，3)在双曲线上，
32 9
∴ － ＝1.
16 b2
x2 y2
16 9
解得 b ＝9，则 － ＝1，
2
y2 x2
若所求双曲线方程为 － ＝1(a>0，b>0)．
a2 b2
同上，解得 b2<0，不合题意，
x2 y2
∴双曲线的方程为 － ＝1.
16 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
题号
答案
11
3
C
12
C
C
C
D
D
A
B
B
A
= ±
x Y=3X/4 Y=-3X/4
（２）渐进线方程 y
（３）略
4
B
3

x y
2 2
所以可设它的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，
a b
2
2
解析：(1) y＝4x2
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
(2)设点 P(t,4t )，距离为 d，
2
ì
22
0
＋ ＝1
ì ＝4
ïa
|4t－4t －5| 4t －4t＋5
1
æ1 ö
ía b
2
2
2
2
2
则 d＝
.当 t＝ 时，d 取得最小值，此时 Pç ，1÷为所求的点．
∴
，∴í
ï ＝
，
è
ø
2
2
17
î0 1
1
îb
＋ ＝1
2
a b
2
2
x
2
4
故所求椭圆的标准方程为 ＋y ＝1.
20.(1)略，（2）90 度，（3）略
2
→ →
1
＝0，∴PF
(2) 解析： ∵PF ·PF
⊥PF .
2
1
2
21、（本小题满分 13 分）
∴|PF ＋|PF ＝|F
|
|
F | ① 且|PF |＋|PF |＝2a ②
2
2
1
2
1
2
1
2
3
解：（Ⅰ）设 M 的坐标为（x,y）P 的坐标为（xp,yp）
又 a＝2，b＝1，∴ ＝
c
，
xp = x,
ì
ï
í
② －①，得 2|PF
|· |PF |＝4，
2
5
1
2
yp = y,
ï
î
4
∴|PF
|· |PF |＝2，
由已知得
1
2
5
∴△F
æ
ö
2
x y
PF 的面积为 1.
2
2
x + y = 25
+ =1
25 16
1
2
2
ç
÷
4
è
ø
∵P 在圆上， ∴
，即 C 的方程为
解法 2:设 P(x,y),又∴PF
x + y = 3
①
⊥PF .; ∴点 P 是在原点为圆心,以 F F 为直径的圆上,即
2
2
1
2
1 2
4
( )
y = x -3
4
x2
4
5
＋y ＝1. ②
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为
，
2
5
( ) ( )
3
1
A x , y ,B x , y
由①②解得 y = ±
S = | F F | • | y |= 1
.
∴△F PF 的面积为
设直线与 C 的交点为
1
1
2
2
3
1
2
2
D
1 2
4
( )
y = x -3
5
将直线方程
代入 C 的方程，得
( )
x -3
x2
2
+
=1
25
25
x2 - 3x -8 = 0
即
3- 41
3+ 41
x =
1
, x =
2
2
2
∴
∴ 线段 AB 的长度为
16
25
x - x = 41´41 =
41
æ
ö
÷
ø
( ) ( )
( )
AB = x - x + y - y
= 1+
2
2
2
ç
25
5
1
2
1
2
è
1
2
注：求 AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。
22
、（本小题满分 12 分）
解析： (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，
4

期末考试高二数学(理)试卷
参考答案
二、填空题（共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）
- x = 8
4 2
4√2
13、 y
Y /8-X /8=1
14、-2
15、
2
2
2
2
2 17
16、
2√17
一、选择题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
三、解答题（
17
、（本小题满分 10 分）
→ →
→
，DC，DD 分别为 x 轴、y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐
解析： 以 D 为坐标原点，DA
1
标系．
则有 D
_______________
(0,0,2)，E(3,3,0)，F(2,4,0)，C (0,4,2)，
1
1
→
→
于是EC ＝(－3,1,2)，FD ＝(－2，－4,2)，
1
1
→
→
设EC 与FD 所成的角为 β，
密
______________
1
1
→ →
1
|EC ·FD |
→ →
21，
14
则 cos β＝
＝
1
|EC ||FD |
1
1
21
14
所以直线 EC
与 FD 所成的角的余弦值为
.
1
1
封
_____________
18.
x2 y
2
－ ＝1(a>0，b>0)，
解析： (1)若所求双曲线方程为
a2 b2
x2 y2
则将 a＝4 代入，得 － ＝1，
16 b2
线
________________
又点 A
(4 2，3)在双曲线上，
32 9
∴ － ＝1.
16 b2
x2 y2
16 9
解得 b ＝9，则 － ＝1，
2
y2 x2
若所求双曲线方程为 － ＝1(a>0，b>0)．
a2 b2
同上，解得 b2<0，不合题意，
x2 y2
∴双曲线的方程为 － ＝1.
16 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
题号
答案
11
3
C
12
C
C
C
D
D
A
B
B
A
= ±
x Y=3X/4 Y=-3X/4
（２）渐进线方程 y
（３）略
4
B
3

x y
2 2
所以可设它的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，
a b
2
2
解析：(1) y＝4x2
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
(2)设点 P(t,4t )，距离为 d，
2
ì
22
0
＋ ＝1
ì ＝4
ïa
|4t－4t －5| 4t －4t＋5
1
æ1 ö
ía b
2
2
2
2
2
则 d＝
.当 t＝ 时，d 取得最小值，此时 Pç ，1÷为所求的点．
∴
，∴í
ï ＝
，
è
ø
2
2
17
î0 1
1
îb
＋ ＝1
2
a b
2
2
x
2
4
故所求椭圆的标准方程为 ＋y ＝1.
20.(1)略，（2）90 度，（3）略
2
→ →
1
＝0，∴PF
(2) 解析： ∵PF ·PF
⊥PF .
2
1
2
21、（本小题满分 13 分）
∴|PF ＋|PF ＝|F
|
|
F | ① 且|PF |＋|PF |＝2a ②
2
2
1
2
1
2
1
2
3
解：（Ⅰ）设 M 的坐标为（x,y）P 的坐标为（xp,yp）
又 a＝2，b＝1，∴ ＝
c
，
xp = x,
ì
ï
í
② －①，得 2|PF
|· |PF |＝4，
2
5
1
2
yp = y,
ï
î
4
∴|PF
|· |PF |＝2，
由已知得
1
2
5
∴△F
æ
ö
2
x y
PF 的面积为 1.
2
2
x + y = 25
+ =1
25 16
1
2
2
ç
÷
4
è
ø
∵P 在圆上， ∴
，即 C 的方程为
解法 2:设 P(x,y),又∴PF
x + y = 3
①
⊥PF .; ∴点 P 是在原点为圆心,以 F F 为直径的圆上,即
2
2
1
2
1 2
4
( )
y = x -3
4
x2
4
5
＋y ＝1. ②
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为
，
2
5
( ) ( )
3
1
A x , y ,B x , y
由①②解得 y = ±
S = | F F | • | y |= 1
.
∴△F PF 的面积为
设直线与 C 的交点为
1
1
2
2
3
1
2
2
D
1 2
4
( )
y = x -3
5
将直线方程
代入 C 的方程，得
( )
x -3
x2
2
+
=1
25
25
x2 - 3x -8 = 0
即
3- 41
3+ 41
x =
1
, x =
2
2
2
∴
∴ 线段 AB 的长度为
16
25
x - x = 41´41 =
41
æ
ö
÷
ø
( ) ( )
( )
AB = x - x + y - y
= 1+
2
2
2
ç
25
5
1
2
1
2
è
1
2
注：求 AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。
22
、（本小题满分 12 分）
解析： (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，
4