高三集体备课函数性质教案.doc

郫县二中高三（2012届）数学集体备课材料之五（活动时间：2012年3月12日）课题：函数性质（需4个课时）主讲人：徐建文 一、 知识要点和能力要求：现行教材对函数的考试要求： （1） 了解映射的概念，理解函数的概念。（2） 了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。（3） 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。（4） 理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质。（5） 理解对数的概念，掌握对数的运算性质。掌握对数函数的概念、图像和性质。（6） 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。新课标对函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的要求（1）函数 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数. 了解简单的分段函数，并能简单应用. 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 会运用函数图像理解和研究函数的性质.（2）指数函数 了解指数函数模型的实际背景. 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性掌握指数函数图像通过的特殊点. 知道指数函数是一类重要的函数模型.（3）对数函数 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点. 知道对数函数是一类重要的函数模型； 了解指数函数与对数函数互为反函数()（4）幂函数了解幂函数的概念结合函数,的图像,了解它们的变化情况.（5）函数与方程 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.（6）函数模型及其应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。二、高考中的考查特点1、利用熟悉的初等函数考查函数的图像与性质、反函数的求法及分段函数问题；函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出，函数的单调性、奇偶性、周期性经常融为一体考查求值或比较大小或数形结合确定范围，题目多为选择题，难度中等，但往往存在命题陷阱，属易错考题。2、对二次函数、指数函数、对数函数的考查主要在选择填空题中考查二次函数的最值、图像，指数型函数、对数型函数的图像和性质；将二次函数、指数函数、对数函数与其它知识相融合，考查综合应用。三、突破重点和难点的措施：1、深刻理解奇偶性、单调性及周期函数的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数、奇偶函数与周期的图象，善于利用函数的性质及图象的三种变换来作图、解题，形成应用意识。2、分析函数的图象，实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点：(1)图象的上界与下界(即函数的最大值与最小值)；(2)与坐标轴的交点(即f(x)0或x0的点)；(3)图象的对称性(即函数的奇偶性)；(4)图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)；(5)图象的变化规律(即函数的周期性)3、重视“数形结合思想”渗透“数缺形时少直观，形缺数时难入微”当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题4、强化“分类讨论思想”应用分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”5、掌握“函数与方程思想”函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题四、函数的性质1、函数单调性(1)函数单调性定义对于函数定义域内某一区间D内任意x1，x2，且x10)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：若函数f(x)满足f(x)f(ax)，则f(x)是周期为2a的周期函数；若f(xa) (a0)恒成立，则T2a；若f(xa) (a0)恒成立，则T2a.(4)如果函数f(x)的图象同时关于直线xa和xb对称，那么函数f(x)为周期函数，周期为T2|ab|.(5)如果函数f(x)满足f(xa)f(xb)，那么函数f(x)为周期函数，周期为T|ab|.4、函数图象变换(1)平移变换：函数yf(xa)(a0)的图象可以由yf(x)的图象向左(a0)或向右(a0)或向下(b0，且A1)的图象可由yf(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A0，且1)的图象可由yf(x)的图象上各点的横坐标缩短(1)或伸长(00时，f(x)1，则f(x)的反函数的图象大致是()解法一当x0时，1f(x)2且为减函数，此时可解得反函数为f-1(x)=(x1) (1x2) 且为减函数，对照选项可知只有A正确解法二原函数中，f(1)1.5，故f1(1.5)1，排除C、D，又在原函数中，当x0时，1f(x)2，故f1(x)0,1x2，排除B.【答案】A例3 (2011年高考辽宁卷)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2C1，) D0，)当x1时，由2，知x0，即0x1.当x1时，由1log2x2，知x，即x1，所以满足f(x)2的x的取值范围是0，)【答案】D例4 (2011年高考重庆卷)下列区间中，函数f(x)|ln(2x)|在其上为增函数的是()A(，1B.C. D1,2)解法一当2x1，即x1时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数f(x)在(，1上单调递减当02x1，即1x2时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数f(x)在1,2)上单调递增，故选D.解法二f(x)|ln(2x)|的图象如图所示由图象可得，函数f(x)在区间1,2)上为增函数，故选D.例5 设函数，其中（1）解不等式（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数。解：（1）不等式即为当时，不等式解集为当时，不等式解集为当时，不等式解集为（2）在上任取，则所以要使在递减即，只要即故当时，在区间上是单调减函数。例6 已知函数的定义域为，且同时满足：；恒成立；若，则有（1）试求函数的最大值和最小值；（2）试比较与的大小N）；（3）某人发现：当x=(nN)时，有f(x)2x+2.由此他提出猜想：对一切x(0,1,都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由解: (1)设0x1x21,则必存在实数t(0,1),使得x2=x1+t, 由条件得,f(x2)=f(x1+t)f(x1)+f(t)-2, f(x2)-f(x1)f(t)-2, 由条件得, f(x2)-f(x1)0, 故当0x1时,有f(0)f(x)f(1). 又在条件中,令x1=0,x2=1,得f(1)f(1)+f(0)-2,即f(0)2,f(0)=2, 故函数f(x)的最大值为3,最小值为2. (2)解:在条件中,令x1=x2=,得f()2f()-2,即f()-2f()-2, 故当nN*时，有f()-2f()-2f()-2f()-2=, 即f()+2. 又f()=f(1)=32+, 所以对一切nN,都有f()+2. (3)对一切x(0,1,都有. 对任意满足x(0,1，总存在n(nN),使得 2+2=+2,故有.综上所述，对任意x(0,1,恒成立. (二) 函数奇偶性应用问题例1 (2011年高考广东卷)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数解析:由f(x)是偶函数，可得f(x)f(x)，由g(x)是奇函数可得g(x)g(x)，故|g(x)|为偶函数，f(x)|g(x)|为偶函数【答案】A例2 下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy2|x|yx3在定义域R上是奇函数，A不对yx21在定义域R上是偶函数，但在(0，)上是减函数，故C不对D中y2|x|x|虽是偶函数，但在(0，)上是减函数，故D不对只有B对【答案】B例3 (2011年德州一模)如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数yf(x)的部分图象，则f(x)可能是()Axsinx Bxcos x Cx2cos xDx2sin x函数图象关于y轴对称，说明函数是偶函数，排除B，D；又根据函数图象可知，函数满足|f(x)|x|，则只有A项符合条件【答案】A例4 (理科)(2011年高考山东卷)函数y2sin x的图象大致是()因为y2sin x是奇函数，所以其图象关于原点对称，因此可排除A.为求解本题，应先研究2sin x，即sin xx，在同一坐标系内作出y1sin x与y2x的图象，如图，可知，当x0时，y1sin x与y2x只有一个交点，设其交点坐标为(x0，y0)，则当x(0，x0)时，sin xx，即2sin xx，此时，yx2sin x0时，可以有f(x)0，也可以有f(x)0，即函数有增有减，有多个极值点，且极值点呈周期性，因此可排除B、D，故选C.(三) 函数周期性应用问题例1 若，则的周期是4 若，则的周期是2； 若，则的周期是2； 若是偶函数，且图象关于对称，则的周期是4；例2 (2011年高考新课标卷)已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时，f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有()A10个 B9个C8个 D1个解析：如图，作出图象，可知yf(x)与y|lg x|的图象共有10个交点【答案】A例3 已知函数yf(x3)是偶函数，则函数yf(x)图象的对称轴方程为 (C)Ax3 Bx0Cx3 Dx6解析yf(x3)是偶函数，f(x3)f(x3)，故yf(x)图象关于x3对称例4 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 011)解析: (1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 011)0例5 设函数定义在R上，对于任意实数，总有，且当时，。（1）证明：，且时（2）证明：函数在R上单调递减（3）设，若，确定的取值范围。（1）解：令，则，对于任意实数恒成立，设，则，由得，当时， 当时, ,（2）证法一：设，则，,函数为减函数证法二：设，则=,故 ,函数为减函数（3）解：， 若，则圆心到直线的距离应满足，解之得，抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”变式：已知定义在R上的函数满足：，当x0时，。 （1）求证：为奇函数；（2）求证：为R上的增函数； （3）解关于x的不等式：。（其中且a为常数）解：（1）由，令，得： ，即 再令，即，得： 是奇函数（2）设，且，则 由已知得： 即在R上是增函数 （3） 即 当，即时，不等式解集为 当，即时，不等式解集为 当，即时，不等式解集为(四) 函数的应用 例1 给出定义：若mxm(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作x，即xm.在此基础上给出下列关于函数f(x)xx的四个命题：f；f(3.4)0.4；ff；yf(x)的定义域为R，值域为.则其中真命题的序号是()A B C D解析：依题意，对于，注意到11，因此1，f，正确；对于，33.43，3.43，f(3.4)3.43.40.4，因此不正确；对于，00，00，因此0，f，f，ff，正确；对于，注意到xm，xx，即函数f(x)xx的值域是，不正确综上所述，其中真命题的序号是，选B. 上例(3)中条件变为“f(x)ln|2x|”，则其增区间为什么？解析：由yln|2x|ln|x2|作出图示：故其增区间为(2，)例2 (2011年高考湖北卷)里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍由Mlg AlgA0知，Mlg 1 000lg 0.0013(3)6，此次地震的震级为6级设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lglg A1lg A2(lg A1lg A0)(lg A2lg A0)954.10410 000，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍【答案】610 000【方法导悟】1.函数的实际应用几乎每年的高考题都有所涉及，主要体现在结合实际问题得到相关的函数模型，然后利用函数的性质求解2该类问题一般与最多、最少、最省等最优化问题相联系，主要考查函数的单调性、导数、基本不等式等知识，所涉及的背景一般与当年的重大事件相联系，以生产或生活中的问题为主五 方法与技巧(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性 同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一 复合函数的奇偶性、单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数 (2)加强逆向思维、数形统一 正反结合解决基本应用题目 (3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目 此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力 (4)应用问题 在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决 特别是 往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题 六、自测练习1.已知f(x)abx2log3(3x1)为偶函数，g(x)2x为奇函数，其中a，b为实数，则ab的值是()A3 B3 C3或3 D2或2答案：C2.若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)()A1 B1 C2 D2答案：A.3. 设f(x)是(,+)上的奇函数，f(x+2)=f(x),当0x1时，f(x)=x,则f(7 5)等于( )A 0 5B 0 5 C 1 5D 1 5 答案 B4. 已知定义域为(1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a3)+f(9a2)0,则a的取值范围是( )A (2，3)B (3，) C (2，4)D (2，3)答案 A5.已知定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围为_答案：1，)6. 若f(x)为奇函数，且在(0，+)内是增函数，又f(3)=0,则xf(x)x20,又已知f(x)在(0，+)上是减函数，于是有f(x1)f(x2),即f(x1)f(x2),由此可知，函数f(x)在(,0)上是增函数9. 已知f(x)= (aR)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f1(x);(3)对任意给定的kR+,解不等式f1(x)lg 解 (1）a=1 (2)f(x)= (xR)f-1(x)=log2 (1x1 (3)由log2log2log2(1x)log2k,当0k2时，不等式解集为x|1kx1;当k2时，不等式解集为x|1x110.已知偶函数f(x)在(0，+)上为增函数，且f(2)=0,解不等式flog2(x2+5x+4)0 解 f(2)=0,原不等式可化为flog2(x2+5x+4)f(2) 又f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)在(,0）上为减函数且f(2)=f(2)=0不等式可化为log2(x2+5x+4)2或log2(x2+5x+4)2由得x2+5x+44，x5或x0由得0x2+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集为x|x5或x4或1x或x011. 已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,设不等式解集为A，B=Ax|1x,求函数g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值 解 由且x0,故0x,又f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,综上得2x,即A=x|2x,B=Ax|1x=x|1x0,b0)是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中bN且f(1)0,b0,x0,f(x)=2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,a=b2,由f(1)得即,2b25b+20,解得b2，又bN,b=1,a=1,f(x)=x+ (2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2x0,y0)也在y=f(x)图象上，则消去y0得x022x01=0,x0=1 y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1,2)关于(1，0)对称 14. 已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在0，+)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对所有0,都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由 解 f(x)是R上的奇函数，且在0，+)上是增函数，f(x)是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f(cos23)f(2mcos4m),即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20 设t=cos,则问题等价地转化为函数g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在0，1上的最小值为正 当0,即m0m1与m042m4+2,421,即m2时，g(1)=m10m1 m2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m42 另法(仅限当m能够解出的情况) cos2mcos+2m20对于0,恒成立，等价于m(2cos2)/(2cos) 对于0,恒成立当0,时，(2cos2)/(2cos) 42，m42