【解析】北京市第十二中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题.docx

北京十二中 2019-2020学年度第一学期高一年级数学月考试
题
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A. 我校爱好足球的同学组成一个集合
{ }
1,2,3
B.
是不大于 3的自然数组成的集合
{
}
{
}
1,2,3,4,5
C. 集合
和 5,4,3,2,1 表示同一个集合
1 3
1
D. 由 1，0， ， ，
组成的集合有 5个元素
2 2
4
【答案】C
【分析】
根据集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性对选项逐一判断可得正确选项.
【详解】对于选项 :不满足集合中的元素的确定性，所以 错误；
A
A
对于选项 :不大于 3 的自然数组成的集合是
{0,1,2,3} ,
所以 错误；
B
B
{
}
{
}
表示同一个集
1,2,3,4,5
对于选项 :由于集合中的元素具有无序性,所以集合
C
和
5,4,3,2,1
合，所以 正确；；
C
1 3
1 1
1
4
=
对于选项 ：因为
D
，集合中的元素具有互异性，所以由 1，0， ， ，
组成
2 2
4 2
的集合有 4 个元素, 所以 错误；
D
故选： .
C
【点睛】本题考查了集合中的元素的特征：确定性,无序性,互异性，属于基础题.
{ }
{ }
A = 1,2,3
B = x x2 < 9
2.已知集合
，
，则
A B
=
( )
{
0 < x < 3}
{-2,-1,0,1,2}
{ }
1, 2
A.
B.
C. x
D.
{
x -3 < x < 3}
【答案】B
1

【分析】
先求解不等式 < 9得集合 ，再根据集合的交集的定义求 A B.
x
2
B
( )
B = -3,3
{ }
{ }
1, 2
A = 1,2,3
【详解】由 < 9得
-3 < x < 3，所以
，又
，所以
A
B =
，
x
2
故选： .
B
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.
$x Î R
3.命题“
，使得 - x - 2 < 0 ”的否定形式是( )
x2
0
0
0
- x - 2 < 0
"xÎ R
$ Î
2
0
A.
，都有
，使得
x2
B. x R ，使得
x - x - 2 ³ 0
0
0
$x Î R
" Î
C.
x - x - 2 > 0
D. x R ，都有 2 - - 2 ³ 0
x x
2
0
0
0
【答案】D
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题可得选项.
$x Î R
【详解】因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“
，使得 - x - 2 < 0 ”的否定
x2
0
0
0
为: “"xÎ R
故选： .
，都有 x - x - 2 ³ 0 ”，
2
D
【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系,属于基础题.
4.下列集合中表示同一集合的是( )
{ } { }
{ } { }
M
= 2,3 N = 3,2
，
( )
2,3
( )
A.
，
B.
D.
M
=
N = 3,2
{
} {
}
{
}
( )
= x, y y = x +1 N = y y = x +1
M = y y = x +1
，
C. M
，
{ }
N = y y = x
2 +1
【答案】B
【分析】
( ) ( )
2,3
3,2
不相同，所以 错误；
因为有序数对
与
A
由于集合中的元素具有无序性，所以集合M 与集合 是同一集合，故 正确；
N
B
( )
= x +1,xÎ R
, y
因为集合 表示的是当 y
M
时，所得的有序实数对
x
所构成的集合，而集
2

= x +1,xÎ R
合 是当 y
时所得的 值所构成的集合，所以 错误；
y C
N
=[1,+¥)
= R N
，
因为 M
，所以 错误，
D
( ) ( )
2,3
3,2
【详解】对于 选项：有序数对
A
与
不相同，所以集合M 与集合 不是同一集
N
合，故 错误；
A
= (x, y) y = x +1,xÎ R}
{
y = x +1,xÎ R
时，
对于 选项：由于 M
，所以集合 表示 是当
M
C
( )
x, y
所得的有序实数对
所构成的集合，
的
= y y = x +1,xÎ R}
{
y = x +1,xÎ R
时所得的 值所构成的集合，
y
而由 N
得集合 是当
N
所以集合 M 与集合 N 不是同一集合，故 错误；
C
{
}
{ }
{
}
= y y = x +1 = R N = y y = x2 +1,xÎ R = y y ³1 = [1,+¥)
， ，
对于 选项， M
D
所以集合 M 与集合 N 不是同一集合，故 错误；
D
对于 选项：由于集合中的元素具有无序性，所以集合 M 与集合 N 是同一集合，故 正确；
B
B
故选： .
B
【点睛】本题考查集合所表示的元素的意义，在判断时需分清集合中表示的是点集还是数集，
理解元素的具体含义是什么，属于基础题.
{ } { }
{ }
Æ Í 0
；③
{ } { }
1,2,3 Í 2,3,1 ；④0ÎÆ
0 Î 1,2,3
5.下列五个写法：①
；②
；
{ }
0
Æ = Æ
⑤
.其中正确写法的个数为( )
B. 2
A. 1
C. 3
D. 4
【答案】C
【分析】
根据集合与集合之间的包含关系的定义、空集是任何集合的子集、集合的元素具有无序性对
写法逐一判断得选项.
【详解】对于①表示的是集合与集合之间的关系，不能用元素属于集合的符号“Î ”表示，故
①写法错误；
对于②表示的是集合与集合之间的关系，并且空集是任何集合的子集，故②写法正确；
{ } { }
1,2,3 Í 2,3,1
对于③集合中的元素具有无序性，所以
写法正确；
3

对于④空集不含有任何元素，所以④不正确；
对于⑤空集不含有任何元素，所以⑤正确；
所以共 3 个写法正确，
故选： .
C
【点睛】本题考查集合间的包含关系、空集的含义和集合中的元素无序性，属于基础题.
6.下列结论正确的是( )
< bc，则 a < b
a b
a < b
B. 若 < ，则
A. 若 ac
2
2
< 0 <
，则ac bc
C. 若
<
a b
b ，则 >
D. 若 > ，c
a b
a
【答案】D
【分析】
根据不等式的性质逐一判断 , 选项，也可以用举反例的方法判断 ， 选项，得出正确的
C D
A B
选项.
< 0
【详解】对于 :若c
,则 不成立,
A
A
a =1,b = -2
对于 :例如
时满足a < b ,但是 > ,则 不成立,
B
2
2
a b
B
< b
对于 :若 a < b ,则 a
C
,则 不成立,
C
对于 :根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以一个负数，不等号改变方向，即可判断
D
成立,
故选 .
D
【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.
7.已知-1£ a £ 3
2 £ b £ 4，则 2a-b
，
的取值范围是（
）．
[ ]
B. 0,10
[ ]
-4,2
[ ]
-5,1
[ ]
A. -6,4
C.
D.
【答案】A
分析：由不等式的性质，推导出 2a-b 的取值范围．
详解：∵-1≤a≤3，
∴-2≤2a≤6，
又∵2≤b≤4，∴-4≤-b≤-2，
4

∴-6=-2-4≤2a-b≤6-2=4，
即-6≤2a-b≤4，
∴2a-b 的取值范围是[-6，4]；
故选：A．
点睛：本题考查了不等式的性质的应用问题，解题时应牢记不等式的性质，并会熟练地应
用．也可以利用线性规划求解．
ì
8
ü
= y y =
, xÎ N, yÎ N
8.集合 M í
ý的元素个数是( )
î
x
+ 3
þ
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】A
【分析】
根据题中给出的条件 x, y Î N
,分别从最小的自然数0开始给 x 代值,求出相应的 的值 直到
y
,
y <1
y Î N
的个数.
得出的
为止,求出
8
ì
ü
= y | y =
, x, y ÎN
【详解】因为M í
ý,
þ
x
+ 3
î
8
所以：当 x
= 0时, y = Î
/ N ;
3
8
x =1 , =
时 y
= 2Î ;
当
N
1+ 3
8
8
x = 2 , =
时 y
= Î/
;
当
N
2 + 3 5
8
4
= 3时, y
=
= Î/
N ;
当 x
3+ 3 3
8
8
x = 4 , =
时 y
= Î/
当
N ;
4 +3 7
8
=
=
=1Î N
;
当 x
当 x
= 5时, y
5+ 3
8
³ 6
<1,且 y ¹ 0
Ï
时, y
，所以 y N .
x + 3
8
ì
ü
M = íy | y =
, x, y Î N ý = {2,1},
综上,
元素个数是 2 个.
î
x
+ 3
þ
故选 .
A
5

【点睛】本题考查了集合中元素的个数,关键根据 x, y Î N
础题.
用赋值法分析和解决问题,属于基
p :
$x Î R
p
9.已知命题 “
，使得 + 2ax + a + 2 £ 0 ”，若命题 是假命题，则实数 的取
a
x2
0
0
0
值范围是( )
[ ]
-1,2
( )
-1,2
( )
-2,1
( 0,2]
D.
A.
B.
C.
【答案】B
【分析】
由已知得命题 是假命题，则将问题转化为命题 x R ，使 得 + 2 + + 2 > 0 ”成立, 此
ax a
p
“" Î
x
2
时利用一元二次方程根的判别式可求得实数a 的取值范围.
【详解】若命题 是假命题， 则“不存在 x
Î R
，使得
p
,
x + 2ax + a + 2 £ 0 ”成立,
2
0
0
0
即“"xÎ R
，使得 + 2 + + 2 > 0 ”成立,
ax a
x
2
( )
( ) ( )
( )( )
D = 2a -4 a + 2 = 4 a - a - 2 = 4 a +1 a -2 < 0
2
- < <
，解得 1 a 2 ，
所以
2
( )
-1, 2
所以实数a 的取值范围是
，
故选： .
B
【点睛】本题主要考查命题的否定和不等式恒成立问题，对于一元二次不等式的恒成立问题，
多从根的判别式着手可以得到解决，属于中档题.
1
4
æ
ö
(
)
取最大值时 x 的值是( )
x Î 0,
10.已知
ç
÷，则
x
1- 4x
è
ø
1
A.
1
1
C.
1
B.
D.
4
5
8
10
【答案】C
【分析】
1
1
4
æ
ö
( ) ( )
= Î 0,
= x 1- 4x ，得出此二次函数的对称轴x
由已知令 f x
ç
÷ ，且二次函数的图象开
8
è
ø
1
( )
f x
=
口向下，所以当 x
时，函数
取得最大值.
8
6

æ
ö
1
8
1
( ) ( )
f x = x 1- 4x
æ
ö
÷
ø
2
1
1
4
( )
f x
【详解】令
，则
= -
4x + x = -4 x -
+
，对称轴x = Î 0,
ç
÷ ，
2
ç
8
16
è
ø
è
1
( )
f x
取得最大值，
=
所以当 x
时，
8
故选： .
C
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，对于二次函数的最值注意验证自变题是否能取到二
次函数的对称轴，属于基础题.
11.《几何原本》中 几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的
重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无
的
= a BC = b ^
， ，过点C 作CD AB
字证明.如图所示的图形，在 AB 上取一点C ，使 得 AC
交圆周于 ，连接 .作CE ^ OD交
OD
于 E .则下列不等式可以表示CD³ DE 的是
OD
D
( )
a
+ b
³ ab (a > 0,b > 0)
2ab
(
)
A.
C.
³
> 0, > 0
B.
D.
ab
a
b
2
a + b
a + b (a > 0,b > 0)
( > 0, > 0)
+ ³ 2
ab a b
a
2
+ b
2
³
a2 b2
2
2
【答案】A
【分析】
根据圆的性质、射影定理求出
和 E 的长度，利用
> E 即可得到答案.
CD D
CD
D
【详解】连接 DB，因为
是圆
的直径，所以ÐADB = 90o，所以在 RtDADB
中，中
AB
O
AB a +b
=
=
线OD
，由射影定理可得CD = AC ×CB = ab ，所以CD = ab .
2
2
2
CD2
OD
ab
a
+ b
2ab
DE =
=
=
在 RtDDCO
中，由射影定理可得CD = DE ×OD ，即
+ ，
a b
2
2
2ab
> DE
³
由CD
得 ab
，
a + b
故选： .
A
7

【点睛】本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题.
- N = x xÎM且xÏ N}
{
(
) (
)，
N M
12.对于集合 、 N ，定义 M
M
， * =
M N
M N
-
-
{ }
= y y = x2 -3x
ì
， N íy y
î
1
ü
=
= , < 0
x ý，则
设 M
*N =( )
M
x
þ
9
é
ê
ö
9
4
æ
ö
÷
ø
[0,+¥)
- ,0
A. -¥,-
B.
÷
ç
ë 4 ø
è
9
9
4
é
ù
æ
ö
÷
ø
( )
0,+¥
C. - ,0
D. -¥,-
ç
ê
ú
4
ë
û
è
【答案】A
【分析】
- N
-
先由已知条件求得集合 、 ，再根据定义求出集合M
M N
和集合 N M ，再求这两个集
合的并集可得 * ，得解.
M N
ì
9ü
3
2
9
9
æ
ö
÷
ø
2
M í ý
= y y ³ -
，
= x -3x = x -
- ³ - ,
【详解】因为 y
所以
2
ç
è
4
4
4
î
þ
{ }
1
< 0
=
< 0
=
< 0
，
又因为当 x
时，
y
，所以 N
y y
x
9
\M - N = {y | y ³ 0} - ={ | < - }
, N M
y y
,
4
{ }
9
4
9
ö
ì
ü æ
(
) (
)
)
* N = M - N È N - M = y y ³ 0 È y | y < -
= -¥,- È[0,+¥
所以 M
í
ý ç
þ è
÷
4
î
ø
故选 ．
A
- N
-
和集合 N M
【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时注意理解集合M
的含义，属于基础题.
二、填空题
{
} B ={2,4,6,8,10}
， ，则图中阴影部分表示的集合为
A = 1,2,3,4,5
13.如图，若集合
__________(用列举法表示).
8

{ }
6,8,10
【答案】
【分析】
C (AÇ B)
C (AÇ B)
，
根据韦恩图得图象阴影部分对应的集合为
，先求出 A B ，再求
B
B
可得解.
C (AÇ B)
【详解】图象阴影部分对应的集合为
，
B
{ }
A B ={2,4}，故C (AÇ B) = 6,8,10
因为
，
B
{ }
6,8,10
故填：
【点睛】本题主要考查根据韦恩图进行集合的交、补运算，属于基础题.
2
14.不等式
> 3的解集是________.
x +1
1
3
æ
ö
÷
ø
-1,-
【答案】ç
è
【分析】
2
对分式不等式
> 3移项，通分，再转化为一元二次不等式，可得解.
x +1
2
2
3x +1
x +1
1
( )( )
>
3得
- 3 > 0 ，
即
< 0等价于 3x +1 x +1 < 0 解得 -1< x < - ，
，
【详解】由
所以不等式
æ
x +1
x +1
3
1
3
æ
ö
2
-1,-
> 3的解集是ç
÷ ，
x +1
è
ø
1
3
ö
-1,-
故填：ç
÷ .
è
ø
【点睛】本题考查分式不等式的解法，注意在未判断分母的符号时，不可直接去分母，可以
移项、通分等步骤对分式不等式化简，属于基础题.
2n +1
2n
15.已知集合 A={x | x
__________．
n Z B =
, Î },
{x | x
n Z ，则集合 A、B的关系为
+1, Î }
=
=
3
3
= B
【答案】 A
9

2n
2n + 3
x =
+1=
Î Z,\2n
\2 +1
2 + 3
为偶数， n 为奇数， n 为奇数，\ = ，
， n
A B
3
3
= B
故答案为 A
.
{
}
ì b ü
16.含有三个实数的集合既可表示成ía, ,1ý ，又可表示成 a a b ，则
2, + ,0
î a þ
__________.
2018 + b2019 =
a
【答案】1
【分析】
根据集合中的元素的互异性和集合相等的条件得出关于 , 的方程组，求解后再代入，可求
a b
值得解.
¹ 0 a ¹1
且 ， 所 以 a a2 ， 因 为
¹
【 详 解 】 根 据 集 合 中 的 元 素 互 不 相 同 知 a
{ }
ì b ü
, , 1 = a2 ,a+
b
, 0
，则
ía
ý
î a þ
ì
ï
ï
a2 =
1
ì = -
1
a
ía = a + b
，解得
í
，
b = 0
î
ï
b
ï = 0
î
a
( )
+ b = -1
+ 0 =1+ 0 =1，
所以 a2018
2018
2018
2018
所以 a + b
=1，
2018
2018
故填：1.
【点睛】本题考查集合的元素的互异性和集合相等的条件，属于基础题.
2
1
> 0
+ = 2
，若 a b ，则
17.设 a >1，b
+ 的最小值为_____________.
a -1 b
【答案】3+ 2 2
【分析】
2
1
2
1
-1+b =1，从而有
+ = (
a
b ，展开后利用基本不等式，
+ )( -1+ )
由已知可得a
即可求解.
a -1 b a -1 b
10

>1,b > 2
+ = 2
满足 a b ，
【详解】由题意，因为a
所以 a
-1+b =1，且 a -1 > 0, > 0
b
，
2
1
2
1
2b a -1
2b a -1
+ = (
+ )[(a -1)+ b] = 3+
+
³ 3+ 2
×
= 3+ 2 2
，
则
a -1 b a -1 b
a -1 b
a -1 b
2b a -1
=
+ = 2
且 a b
3
2,
b = 2 -1时取得最小值3+ 2 2 .
= -
，即 a
当且仅当
a -1
b
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本
不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解
答问题的能力，属于中档试题.
{
} { }
"xÎ x 1£ x £ 2 $t Î t 1£ t £ 2
，
，使得x +
2 > t + m
成立，则实数m 的取值范
18.若对
围是_______.
< 2
【答案】m
【分析】
3 £ x + 2 £ 4 1+ m £ t + m £ 2+ m
和
由 已 知 分 别 求 出
( ) ( )
， 要 使 不 等 式 成 立 ， 则 需
x + 2
> t + m
，可求出实数m 的取值范围.
min
min
【详解】因为1£ x £ 2，所以3 £ x + 2 £ 4，又1£ t £ 2 ，所以1+ m £ t + m £ 2+ m，
{
} { }
"xÎ x 1£ x £ 2
$t Î t 1£ t £ 2
，使得 x +
2 > t + m
成立，
若对
，
( ) ( )
，即3 >1+ m，解得 m
<
+ 2
> t + m
2
，
则需 x
min
min
< 2.
故填： m
【点睛】本题考查对于“任意”和“存在”中的不等式的恒成立问题，属于中档题.此问题关键分
清“任意”和“存在”的条件,分别利用不等式两边的最大值或最小值建立的不等式.
常见的有以下的四种情况：
( ) ( )
"x Î[a,b],"x Î[c,d], f x > g x Û[ f (x)] >[g(x)]
（1）
（2）
（3）
（4）
；
1
2
1
2
min
max
( ) ( )
$x Î[a,b],$x Î[c,d], f x > g x Û[ f (x)] >[g(x)]
；
1
2
1
2
max
min
( ) ( )
"x Î[a,b],$x Î[c,d], f x > g x Û[ f (x)] >[g(x)]
；
1
2
1
2
min
min
( ) ( )
$x Î[a,b],"x Î[c,d], f x > g x Û[ f (x)] >[g(x)]
.
1
2
1
2
max
max
11

三、解答题
{
}
{ } { }
I = 1,2,3,4,5,6,7,8
A = 1,2,3,4
B = 3,5
，
19.已知全集
，其中
.
( )
B
(1)求 A B和
C A
；
I
(2)写出集合
所有子集.
B
{ }
( )
{
}
；
AÇ B = 3
的
C
A
B
= 3,5,6,7,8
【答案】（1）
，
I
{ }{ }{ }
Æ, 3 , 5 , 3,5
（2）
【分析】
（1）由集合的交集、并集和补集的定义可求出A B和
( )
C A
B
；
I
（2）根据集合的子集的定义得出集合 的子集，注意不要漏掉空集.
B
{ }
{
}
( )
{
}
，
AÇ B = 3
C = 5,6,7,8
， A
C
A
B
= 3,5,6,7,8
【详解】（1）由已知得
，所以
I
I
{ }{ }{ }
Æ, 3 , 5 , 3,5
（2）集合 的所有子集为：
.
B
故得解.
【点睛】本题考查集合的交、并、补的运算和求出某集合的所有子集，注意在写子集时，不
要漏掉空集.
{
}
B x a
{
}
=
，
+1< < 2 +1
x a 若 AÈ B = A ，求实数a
,
A
= x x2 -3x -10 < 0
20.已知集合
的取值范围.
£ 2
【答案】a
【分析】
Í A
È B = A B
得
先求出集合 ，由 A
A
，再对集合 是空集和集合 不是空集两种情况讨
B B
= Æ
+1³ 2 +1
，
论，当 B
时， a
a
ì +
1³ -2
a
¹ Æ
a > 0
和 í
当 B
时，需
，从而求得a 的范围.
î2a +1£ 5
( )( )
( )
A = -2,5
，所以 ，
-5 x + 2 < 0
3x -10 < 0 x
得
-2 < < 5
【详解】由 2 -
，解得
x
x
因为 AÈ B = A
，所以
B
Í A
，
12

= Æ
¹ Æ
+1³ 2 +1 \ £ 0
， a ；
①当 B
②当 B
时，a
a
ì +
1³ -2
a
a > 0
Í
， a a
\-3 £ £ 2\0 < £ 2
.
时，即
时，要使 B A ，则需í
î2a +1£ 5
£ 2.
综上： a
故得解.
【点睛】本题考查集合的并集运算和集合间的包含关系，注意根据集合的包含关系求解参数
的范围时，需考虑子集为空集和不为空集两种情况，属于基础题.
21.党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广
泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，
在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居
环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建
造一个深为 2 米，容积为 32 立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150 元，
池壁每平方米的造价为 120 元，沼气池盖子的造价为 3000 元，问怎样设计沼气池能使总造
价最低？最低总造价是多少元？
【答案】当沼气池的底面是边长为 4 米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是
9240 元．
【分析】
y
x
设 沼 气 池 的 底 面 长 为
米 ， 沼 气 池 的 总 造 价 为
元 ， 依 题 意 有
16
16
æ
ö
æ
ö
y = 3000 +150´16 +120´ 2 2x + 2´
= 5400 + 480 x +
ç
÷
ç
÷ ，利用基本不等式即可
è
x ø
è
x ø
求解．
y
【详解】设沼气池的底面长为 米，沼气池的总造价为 元，
x
因为沼气池的深为 2 米，容积为 32 立方米，所以底面积为 16 平方米，
16
因为底面长为 x 米，所以底面的宽为
，
x
16
16
æ
ö
æ
ö
y = 3000 +150´16 +120´ 2 2x + 2´
= 5400 + 480 x +
依题意有
ç
÷
ç
÷ ，
è
x ø
è
x ø
> 0
因为 x
，由基本不等式和不等式的性质可得
13

16
16
æ
ö
5400+ 480 x +
³ 5400+ 480´2 x×
，
ç
÷
è
x ø
x
³ 5400 + 480´ 2 16
即 y
，
³ 9240
所以 y
，
16
=
，即 x
= 4时，等号成立，
当且仅当 x
x
所以当沼气池的底面是边长为 4 米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240
元．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值在实际问题中的应用，解题的关键是由实
际问题抽象出具体函数解+析式．
( )
+ a-2 x-2 ³ 0
x
ax2
Î
，a R 解集为 .
A
22.已知关于 的不等式
{
2}，求a 的值.
³
= x x £ -1
(1)若 A
x
或
( )
+ a - 2 x - 2 ³ 0
x
(2)解关于 的不等式
ax2
Î
，a R .
【答案】（1） =1
.
a
= 0
时，不等式的解集为{x | x≤-1}
；
2
（ ）当a
2
é
ö
> 0
( -¥,-1] È ,+¥
当 a
时，不等式的解集为
÷ ；
ê
ëa
ø
2
ì
ü
-2 < a < 0
x
£ £ -1
当
时，不等式的解集为íx
ý ；
î a
þ
{ }
= -2
< -2
-1
；
当 a
当 a
时，不等式的解集为
2
ì
ü
-1£ x £
时，不等式的解集为íx
ý .
a þ
î
【分析】
{
2}
x
³
= x x £ -1
> 0
，得a 且该不
（1）将已知不等式分解因式，由不等式的解集为A
或
2
-1 2
等式对应方程的两个实数根为 和 ，所以
= 2
，可求 的值；
a
a
14

（2）根据已知条件根据 的正负和两根的大小方面进行讨论，共分五种情况讨论 的范围：
a
a
a = 0时、a
> 0
-2 < < 0时、a = -2
a
时、a < -2时分别根据一元二次不等式的解法
时、
求出对应不等式的解集即可.
( )
( )( )
ax-2 x +1 ³ 0，
且该不等
ax + a-2 x-2 ³ 0
2
【详解】（1）∵关于 的不等式
可变形为
x
{
2}
，
= x x £ -1
³
式的解集为 A
或
x
> 0
所以 a
2
-1 2
又因为不等式对应方程的两个实数根为 和 ；∴
= 2
，
a
解得 =1；
a
= 0
时，不等式可化为-2x -2 ³ 0
{ | ≤-1}
，它的解集为 x x ；
（2）①a
2
，其对应的方程的两个实数根为 和
¹ 0
( - 2)( +1) ³ 0
-1，
② a
当 a
时，不等式可化为 ax
x
a
2
æ
ö
÷
2
é 2
ö
> 0时，即ç
，
> -1，∴不等式的解集为( -¥ - È ,+¥
, 1]
x
- (x+1)³ 0
÷ ；
ê
è a ø
ë
ø
a
a
2
æ
ö
2
x- (x+1)£ 0
-2 < a < 0
< -1
，∴不等式的解集为
当
时，原不等式化为ç
÷
，
è a ø
a
2
ì
ü
íx £ x £ -1ý ；
î a
þ
2
{ }
= -2
= -1
-1
，不等式的解集为
在 a
在 a
时，
；
a
2
æ
ö
÷
2
- (x+1)£ 0
< -2
> -1，∴不等式的解集为
x
时，原不等式化为ç
，
è a ø
a
2
ì
ü
-1£ x £
íx
î
ý ；
a þ
= 0
时，不等式的解集为{x | x≤-1}
；
综上， a
2
é
ö
a > 0时，不等式的解集为
( -¥,-1] È ,+¥
÷ ；
ê
ëa
ø
2
-2 < a < 0时，不等式的解集为ì
íx
ü
£ £ -
x
1
ý
；
î a
þ
{ }
a = -2 时，不等式的解集为
-1
；
15

2
ì
时，不等式的解集为í
î
ü
a < -2
-1£ x £
ý .
þ
x
a
故得解.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想及一元二次方程的根与系数的
关系，属于难题.分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种
重要的数学思想之一（四种思想：数形结合、函数与方程、分类讨论和转化与化归），尤其
在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度，运用这种方法的关键是将
题设条件研究透，这样才能快速找准分类讨论时的参数的分界点，充分利用分类讨论思想
方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答.
16

（2）根据已知条件根据 的正负和两根的大小方面进行讨论，共分五种情况讨论 的范围：
a
a
a = 0时、a
> 0
-2 < < 0时、a = -2
a
时、a < -2时分别根据一元二次不等式的解法
时、
求出对应不等式的解集即可.
( )
( )( )
ax-2 x +1 ³ 0，
且该不等
ax + a-2 x-2 ³ 0
2
【详解】（1）∵关于 的不等式
可变形为
x
{
2}
，
= x x £ -1
³
式的解集为 A
或
x
> 0
所以 a
2
-1 2
又因为不等式对应方程的两个实数根为 和 ；∴
= 2
，
a
解得 =1；
a
= 0
时，不等式可化为-2x -2 ³ 0
{ | ≤-1}
，它的解集为 x x ；
（2）①a
2
，其对应的方程的两个实数根为 和
¹ 0
( - 2)( +1) ³ 0
-1，
② a
当 a
时，不等式可化为 ax
x
a
2
æ
ö
÷
2
é 2
ö
> 0时，即ç
，
> -1，∴不等式的解集为( -¥ - È ,+¥
, 1]
x
- (x+1)³ 0
÷ ；
ê
è a ø
ë
ø
a
a
2
æ
ö
2
x- (x+1)£ 0
-2 < a < 0
< -1
，∴不等式的解集为
当
时，原不等式化为ç
÷
，
è a ø
a
2
ì
ü
íx £ x £ -1ý ；
î a
þ
2
{ }
= -2
= -1
-1
，不等式的解集为
在 a
在 a
时，
；
a
2
æ
ö
÷
2
- (x+1)£ 0
< -2
> -1，∴不等式的解集为
x
时，原不等式化为ç
，
è a ø
a
2
ì
ü
-1£ x £
íx
î
ý ；
a þ
= 0
时，不等式的解集为{x | x≤-1}
；
综上， a
2
é
ö
a > 0时，不等式的解集为
( -¥,-1] È ,+¥
÷ ；
ê
ëa
ø
2
-2 < a < 0时，不等式的解集为ì
íx
ü
£ £ -
x
1
ý
；
î a
þ
{ }
a = -2 时，不等式的解集为
-1
；
15

2
ì
时，不等式的解集