补习部数学(理)模拟试题二.doc

补习部数学(理)模拟试题二
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则中的元素个数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知a为实数，若复数为纯虚数，则的值为 ( )
A．1 B．0 C． D．
3．下列命题错误的是 ( )
A．若为假命题，则为假命题
B．若，则不等式成立的概率是
C．命题“R使得”的否定是：“R,”
D．已知函数可导，则“”是“是函数极值点”的充要条件
4．从1~9共9个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为 ( )
A． B． C． D．
5．设是所在平面内一点，，则 ( )
A． B． C． D．
6．过双曲线的右焦点作一条直线，当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
7．已知，，若，则（ ）
A．图象关于中心对称 B．图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．周期为的奇函数
8．已知实数x，y满足，若目标函数的最大值与最小值的差为2，则实数的值为 （　　）
A．4 B．3 C．2 D．
9．在程序框图中，输入N=8，按程序运行后输出的结果是 （ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
10．已知函数有极值，则实数的取值范围是 （ ）
否
输出S
结束
k=k+1
否
S=S+T
是
是
k是偶数？
是
否
k≤N ?
开始
输入N
k=1,S=0
A． B．
C． D．
1
1
1
2
2
正视图
侧视图
俯视图
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （　　）

A． B． C． D．
12．若函数满足对于任意实数，都有为某三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数为偶函数，则实数k的值为 ．
14．已知的展开式中的系数为-16，则实数a的值为 ．
15.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心，, ,则m=
16．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为2，直线与双曲线C交于A，B两
点，线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线上，若点M到抛物线焦点
的距离为p，则直线的斜率为 ．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
在等差数列中，,，数列的前n项和．
（Ⅰ）求数列,的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分） A
B
C
F
D
E
O
如图，菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB = AE = 2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；
（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角的为45°时，
求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．

19．(本小题满分12分)0

40
60
80
100
分数
0.006
0.025
0.010
20
0.003
2015年下半年，“豆芽花”发卡突然在全国流行起来，各地随处可见头上遍插“小草”的人群，其形象如图所示：

对这种头上长“草”的呆萌造型，大家褒贬不一．为了了解人们是否喜欢这种造型，随机从人群中选取50人进行调查，每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分．按规定，如果被调查者的打分超过60分，那么被调查者属于喜欢这种造型的人；否则，属于不喜欢这种造型的人．将收集的分数分成 [0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100] 五组，并作出如上频率分布直方图：
（Ⅰ）为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据50位被调查者的情况制作的列联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95℅以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型与自身喜欢动画片有关?

喜欢头上长“草”的造型
不喜欢头上长“草”的造型
合计
喜欢动画片
30

不喜欢动画片

6

合计

（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为总体概率．现采用随机抽样方法抽取3人，记被抽取的3人中喜欢头上长“草” 的造型的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差．
下面的临界值表供参考：

P(K2≥k)
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．

21．（本小题满分12分） 已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若,求函数的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点,，交的延长线于点,交于点．
（Ⅰ）求证：是圆的切线；
（Ⅱ）若，求的值．

23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线上求一点，使得它到直线的距离最短．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若不等式有解，求实数的最小值；
（Ⅱ）若，且，证明：．
补习部数学(理)模拟试题二答案
1-12 BDDCA BCCCA CD
13． 14．2 15． 16．
17．解：（1）设等差数列的首项为，公差为d，则
…………（3分）
数列的前n项和=
当n=1时，，
当n2时，，对=4不成立，
所以，数列的通项公式为 …………6分
（2）n=1时，，
n2时， ，
所以
n=1仍然适合上式， …………10分
综上， ………… 12分
18．解（Ⅰ）证明：四边形ABCD是菱形， ．
平面ABCD,平面ABCD ．
, ∴平面ACFE． ------------5分
（Ⅱ）解：以O为原点，OA，OB为x，y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，则，，，， --6分
设平面的法向量为，
则有，即令，则 -------------------8分
由题意得，解得或．
由，得 -------------------10分
即所求的异面直线所成的角余弦值为 ---------------------12分
19．解：（Ⅰ）如表：

喜欢头上长“草”的造型
不喜欢头上长“草”的造型
合计
喜欢动画片
30
9
39
不喜欢动画片
5
6
11
合计
35
15
50
--------------------3分
K 2 = = = 4.046 > 3．841
所以有95℅以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关-6分
（Ⅱ）由频率分布直方图知抽到喜欢头上长“草”的频率为，将频率视为概率，即从人群中抽取一名喜欢头上长“草”的概率为．
由题意知，从而的分布列为：

[来源:学科网]

-------------9分
, ．-----------12分
20．解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，
∴圆心到直线的距离（*）------------------------------------1分
∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴,， 代入（*）式得， ∴，
故所求椭圆方程为 ……………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，
将直线方程代入椭圆方程得：，
∴，解得．
设,，则， ----------------------6分
∴
由，得
当时，直线为轴，则椭圆上任意一点P满足，符合题意；
当时， ∴，．---------------9分
将上式代入椭圆方程得：，
整理得： =是的递增函数，
由知，，所以，
综上可得． -----------------------------------------------------12分
21．解：(Ⅰ) 由题意知：函数的定义域为，且
，
①当时，即时
若，则；若，则
此时在区间上单调递增,在区间 上单调递减.
②当,即时
若，则； 若，则,
此时在区间，上单调递增,在区间上单调递减．
③当2a-3=0时时，，故此时在区间上单调递增．
④当时，即时
若，则，若，则,
所以，此时在区间,上单调递增,在区间上单调递减．
-----------------------6分
（Ⅱ）显然，设，则，因此在上的最大值等于其在上的最大值． --------------------------7分
，
设，
，
由(Ⅰ)知，当时，在区间单调递减，所以,
所以函数在区间单调递减，于是，
从而函数在区间单调递增，进而，
因为
所以函数的最大值等于． --------------------------------------------12分

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．解析：（Ⅰ）连接，可得， ∴ ........3分
又，∴，又为半径，∴是圆的切线； ..............5分[来源:Z*xx*k.Com]
（Ⅱ）过作于点，连接，则有，
.......7分
设，则，∴
由可得，又由，
可得． . ...10分
23．解析：（Ⅰ）由，，可得， ............1分
所以曲线的普通方程为（或）， ....3分
因为直线的参数方程为（为参数，），
消去得直线的普通方程为； .............5分
（Ⅱ）因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，
因为点在曲线上，所以可设点，..........7分
所以点到直线的距离为， ............8分
因为，所以当时，， 此时点的坐标为.......10分[来源:Zxxk.Com]
24．解析：（Ⅰ）因为，[来源:学。科。网]
当且仅当时等号成立， ，解得； ..........5分
（Ⅱ）证明：要证，即证，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
只需证，即证，[来源:Z#xx#k.Com]
又，，
所以，所以，
故原不等式成立． .............10分

1．【答案】B
【解析】由于，，所以中有3个元素，故选B．
2．【答案】D
【解析】因为复数为纯虚数,所以，即a=1，所以
=，故选D．
3．【答案】D
【解析】已知函数可导，则“”是“是函数极值点”的必要不充分条件，故选D．
4．【答案】C
【解析】基本事件总数
因为这9个数的和为45，而且取出的7个数之和为35，所以平均数为5的事件个数相当于从1与9；2与8；3与7；4与6这4组数中去掉一组数的个数，即共4个基本事件个数，所以取出七个数的平均数是5的概率为，故选C．
5．【答案】A
【解析】，故选A．
6．【答案】B
【解析】由题意知,所以所以，故选B．
7．【答案】C
【解析】,易知只有C选项正确．
8．【答案】C
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=2x+y得，
平移直线，由图象可知：
当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，
由，解得，即，此时，
当直线经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，
由，解得，即，此时，
因为目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，所以，即m=2．故选C．
9．【答案】C
【解析】由于程序中根据的取值，产生的值也不同
由题意知，在循环体中，当时，T=n；当时，T=-n-1；当时，T=n+1；
故可将程序中的值从小到大，每四个分为一组，即，
而且每组的4个数中，偶数值乘以累加至，但两个奇数对应的值相互抵消，即，故选C．[来源:学。科。网]
10．【答案】A
【解析】，若函数有极值，则函数有零点，即方程有解，从而函数与图象有公共点，下考虑直线与曲线相切的情况：
设切点，∴，即，∴代入曲线中，解得，结合图象可知，当时，有唯一零点，且恒有，此时无极值点；当时，函数与图象有交公共点，且在公共点两侧异号，此时有极值点，故选A
11．【答案】C
【解析】由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体．几何体的表面积为：，故选C
12．【答案】D
【解析】
①当，即时，，此时都为，能构成一个正三角形的三边长，满足题意．
②当，即时，在R上单调递增， ∴，由，为“可构造三角形函数”得．
③当，即时，在R上单调递减，∴，由为“可构造三角形函数”得．
综上，，故选D．
二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．【答案】
【解析】由题意知对于R恒成立，而，于是，得．
14．【答案】2
【解析】展开式的通项可以写成,
所以的系数为,即,解得.
15. 【答案】 两边同时乘以,
16．【答案】
【解析】∵M在抛物线y2=2px（p＞0）上，M到抛物线焦点的距离为.
∴M点的坐标为；
设双曲线方程为，，
则
由两式相减，并将上式代入得，