高中数学平面向量试卷(考点详解版).doc

高中数学组卷平面向量1

一．选择题（共18小题）
1．（2011•漳浦县校级模拟）设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模||•sinθ，若，则||=（　　）
A． B． C．2 D．4
2．（2011•温州校级模拟）点O是△ABC所在平面上一点，若，则△AOC的面积与△ABC的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
3．（2010•上虞市模拟）给定向量且满足，若对任意向量满足，则的最大值与最小值之差为（　　）
A．2 B．1 C． D．
4．（2010•东城区模拟）在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PBC与△ABC面积之比是（　　）
A． B． C． D．
5．（2010•海淀区校级模拟）非零向量若点B关于所在直线的对称点为B1，则向量+为（　　）
A． B． C． D．
6．若函数y=f（x）图象上存在三点A、B、C，使，则称此函数有“中位点”，下列函数①y=cosx，②y=|x﹣1|，③y=x3+sinx﹣2，④y=cosx+x2中，没有“中位点”的函数个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2012•临海市校级模拟）称为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①；②；③对任意的t∈R，恒有则（　　）
A． B． C． D．
8．（2011•上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（　　）
A．0 B．1 C．5 D．10
9．（2011•上海）设A1，A2，A3，A4 是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
10．（2007•天津）设两个向量和，其中λ，m，α为实数．若，则的取值范围是（　　）
A．[﹣6，1] B．[4，8] C．（﹣∞，1] D．[﹣1，6]
11．（2007•浙江）若非零向量，满足|﹣|=||，则（　　）
A．|2|＞|﹣2| B．|2|＜|﹣2| C．|2|＞|2﹣| D．|2|＜|2﹣|
12．（2005•浙江）已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（　　）
A．⊥ B．⊥（﹣） C．⊥（﹣） D．（+）⊥（﹣）
13．（2005•黑龙江）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，﹣3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位．设开始时点P的坐标为（﹣10，10），则5秒后点P的坐标为（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣30，25） C．（10，﹣5） D．（5，﹣10）
14．（2016•平度市模拟）已知，则=（　　）
A．9 B．3 C．1 D．2
15．（2016•枣庄一模）设D为△ABC所在平面内一点，=﹣+，若=λ（λ∈R），则λ=（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
16．（2016春•衡阳校级月考）、为基底向量，已知向量=﹣k，=2﹣，=3﹣3，若A、B、D三点共线，则k的值是（　　）
A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3
17．（2016春•简阳市校级月考）已知点O，N在△ABC所在的平面内，且||=||=||，++=，则点O，N依次是△ABC的（　　）
A．外心，内心 B．外心，重心 C．重心，外心 D．重心，内心
18．（2015•朝阳区模拟）已知向量，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（　　）
A．⊥ B．⊥（﹣） C．⊥（﹣） D．（+）⊥（﹣）

二．填空题（共9小题）
19．（2009•湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，则x=　　　　　　，y=　　　　　　．

20．（2006•湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是　　　　　　；当时，y的取值范围是　　　　　　．

21．（2013•安徽模拟）已知O是直线AB外一点，平面OAB上一点C满足是线段AB和OC的交点，则=　　　　　　．
22．（2013•新余二模）如图矩形ORTM内放置5个大小相同的边长为1的正方形，其中A，B，C，D都在矩形的边上，若向量，则x2+y2=　　　　　　．

23．（2010•江阴市校级模拟）已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为　　　　　　．
24．（2010•南安市校级模拟）已知单位向量，满足：（k＞0），则||的最大值为
　　　　　　．
25．（2010•聊城二模）已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，则实数λ的值为　　　　　　．
26．（2007•江西）如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为　　　　　　．

27．（2005•安徽）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=　　　　　　．

三．解答题（共3小题）
28．（2008•上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，简记为{An}、若由构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列，
（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；
（2）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断△AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若{An}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．
29．（2007秋•朝阳区期末）设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量=（x﹣2，y），=（x+2，y），且|a|+|b|=8，
（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
30．（2005•安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．

高中数学组卷平面向量1
参考答案与试题解析

一．选择题（共18小题）
1．（2011•漳浦县校级模拟）设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模||•sinθ，若，则||=（　　）
A． B． C．2 D．4
【分析】先求向量a和向量b的夹角，然后利用所给公式求解即可．
【解答】解：∵cosθ==，θ∈（0，π），
∴，
∴|a×b|=|a|•|b|•sinθ=．
故选C．
【点评】本题考查向量的模，是创新题，是中档题．

2．（2011•温州校级模拟）点O是△ABC所在平面上一点，若，则△AOC的面积与△ABC的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，以OA、OB为一组邻边作▱OADB，连接OD与AB交于点E，易得AB的中点为E，由平行四边形法则易得+=2
将已知的向量等式变形，可得=﹣，分析可得O的AB边的中线OE上，且O为OE的中点；依次分析△AOC的面积与△ADC的面积之比以及△ADC的面积与△ABC的面积之比，即可得答案．
【解答】解：根据题意，以OA、OB为一组邻边作▱OADB，连接OD与AB交于点E，
由平行四边形的性质易得AB的中点为E，
由平行四边形法则易得+=2
又由，可得，
则=﹣，
则O的AB边的中线OE上，且O为OE的中点，
O为OE的中点，△AOC的面积与△AEC的面积之比为1：2，
E为AB的中点，△AEC的面积与△ABC的面积之比为1：2，
则△AOC的面积与△ABC的面积之比为1：4，
故选C．

【点评】本题考查向量的运算法则：关键是分析出O为AE的中点．

3．（2010•上虞市模拟）给定向量且满足，若对任意向量满足，则的最大值与最小值之差为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【分析】令 = 可得 ⊥，由|+|=|﹣|=1，当 ≠ 时，把 展开化简可得||=1，故的最大值为1，最小值为0．
【解答】解：∵对任意向量满足，∴当 = 时，•=0，故 ⊥．
∵，由向量加减法的几何意义得|+|=1．
由 可得，•﹣•（+）+=0，∴=•（+），
∴=||•|+|=||，∴||=1，
又∵||≥0，故的最大值与最小值之差为 1﹣0=1，
故选：B．
【点评】本题考查向量的模的定义，向量加减法的几何意义，两个向量垂直的条件，属于基础题．

4．（2010•东城区模拟）在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PBC与△ABC面积之比是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据点所满足的条件知，P是三角形的重心，根据重心的特点，得到两个三角形的高之比，而两个三角形底边相同，所以得到结果．
【解答】解：∵，
∴P是三角形的重心，
∴P到顶点的距离是到对边距离的2倍，
∵△PBC与△ABC底边相同，
∴△PBC与△ABC面积之比是
故选A
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，本题把条件等式中的一个向量移项以后，就是用一组基底来表示向量．

5．（2010•海淀区校级模拟）非零向量若点B关于所在直线的对称点为B1，则向量+为（　　）
A． B． C． D．
【分析】容易知道，由平行四边形法则向量+的方向与向量的方向相同，因此只需要求得与向量方向相同的单位向量以及向量在向量方向上的投影，即可得到向量+．
【解答】解：如图由题意点B关于所在直线的对称点为B1，
所以∠BOA=∠B1OA，
所以又由平行四边形法则知：+=，
且向量的方向与向量的方向相同，
由数量积的概念，向量在向量方向上的投影是OM=，
又设与向量方向相同的单位向量为：，
所以向量=2=2••=
故应选：A

【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量的数量积的概念，向量的模的概念．

6．若函数y=f（x）图象上存在三点A、B、C，使，则称此函数有“中位点”，下列函数①y=cosx，②y=|x﹣1|，③y=x3+sinx﹣2，④y=cosx+x2中，没有“中位点”的函数个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】函数y=f（x）图象上存在三点A、B、C，使，则称此函数有“中位点”，我们可以根据“中位点”的定义，对题目中的四个函数逐一进行判断即可得到答案．
【解答】解：若函数y=f（x）图象上存在三点A、B、C，
使，则称此函数有“中位点”，
此时函数图象上必然有三点共线，
函数y=cosx的图象上（0，1），（，0），（π，﹣1）三点显然共线，
函数y=|x﹣1|的图象上（1，0），（2，1），（3，2）三点显然共线，
函数y=x3+sinx﹣2的图象上（1，sin1﹣1），（0，﹣2），（﹣1，﹣sin1﹣3）三点也共线，
但函数y=cosx+x2的图象上任意三点都不共线，
故函数y=cosx+x2没有中位点，
故选A
【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．

7．（2012•临海市校级模拟）称为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①；②；③对任意的t∈R，恒有则（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意知 的终点在单位圆上，由d（，t）≥d（，）恒成立得||≥||恒成立，从而 ⊥ 即（﹣）⊥．
【解答】解：如图：∵||=1，
∴的终点在单位圆上，
用 表示，用 表示 ，用 表示 ﹣，
设 =t ，
∴d（，t）=||，d（，）=||，
由d（，t）≥d（，）恒成立得，
||≥||恒成立，
∴⊥，（﹣）⊥，
故选 C．

【点评】本题考查向量的模的意义及求法，两个向量垂直的条件．

8．（2011•上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（　　）
A．0 B．1 C．5 D．10
【分析】根据题意，设出M与A1，A2，A3，A4，A5的坐标，结合题意，把M的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断M的坐标x、y的解的组数，进而转化可得答案．
【解答】解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，
再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；
若=成立，
得（x1﹣x，y1﹣y）+（x2﹣x，y2﹣y）+（x3﹣x，y3﹣y）+（x4﹣x，y4﹣y）+（x5﹣x，y5﹣y）=，
则有x=，y=；
只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；
故选B．
【点评】本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点M的个数转化为求其坐标即关于x、y的方程组的解的组数，易得答案．

9．（2011•上海）设A1，A2，A3，A4 是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【分析】根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．
【解答】解：根据所给的四个向量的和是一个零向量
，
则，
即，
所以．
当A1，A2，A3，A4 是平面上给定的4个不同点确定以后，则也是确定的，
所以满足条件的M只有一个，
故选B．
【点评】本题考查向量的加法及其几何意义，考查向量的和的意义，本题是一个基础题，没有具体的运算，是一个概念题目．

10．（2007•天津）设两个向量和，其中λ，m，α为实数．若，则的取值范围是（　　）
A．[﹣6，1] B．[4，8] C．（﹣∞，1] D．[﹣1，6]
【分析】利用，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元．
【解答】解：由，，，
可得，
设代入方程组可得
消去m化简得，
再化简得
再令代入上式得（sinα﹣1）2+（16t2+18t+2）=0
可得﹣（16t2+18t+2）∈[0，4]
解不等式得
因而解得﹣6≤k≤1．
故选A．
【点评】本题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，体现了化归的思想方法．

11．（2007•浙江）若非零向量，满足|﹣|=||，则（　　）
A．|2|＞|﹣2| B．|2|＜|﹣2| C．|2|＞|2﹣| D．|2|＜|2﹣|
【分析】向量运算的几何意义及向量的数量积等知识．本题是一道选择题，我们可以用选择题的特殊解法来做，可以用选项代入验证，也可以利用排除法，最后留下正确答案．
【解答】解：若两向量共线，则由于a，b是非零向量，且|a﹣b|=|b|，
∴必有a=2b；代入可知只有A、C满足；
若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，
∴可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；
令=a，=b，则=a﹣b，
∴=a﹣2b且|a﹣b|=|b|；又BA+BC＞AC
∴|a﹣b|+|b|＞|a﹣2b|
∴|2b|＞|a﹣2b|
故选A．

【点评】利用向量的几何意义解题是向量中的一个亮点，它常常能起到化繁为简、化抽象为直观的效果，考虑一般情况而忽视了特殊情况

12．（2005•浙江）已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（　　）
A．⊥ B．⊥（﹣） C．⊥（﹣） D．（+）⊥（﹣）
【分析】对|﹣t|≥|﹣|两边平方可得关于t的一元二次不等式，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．
【解答】解：已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|
即|﹣t|2≥|﹣|2∴
即
故选C．
【点评】本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题．

13．（2005•黑龙江）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，﹣3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位．设开始时点P的坐标为（﹣10，10），则5秒后点P的坐标为（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣30，25） C．（10，﹣5） D．（5，﹣10）
【分析】本题是一个平移向量问题，即求把P点（﹣10，10）平移5×（4，﹣3）后对应点的坐标，根据向量平移公式，代入计算即可得到答案．
【解答】解：5秒后点P的坐标为：
（﹣10，10）+5（4，﹣3）=（10，﹣5）
故选C
【点评】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．再根据平移变换的口决“左加右减，上加下减”即可解答．

14．（2016•平度市模拟）已知，则=（　　）
A．9 B．3 C．1 D．2
【分析】由条件求得 ==1，且 =1，由此求得 = 的值．
【解答】解：∵已知，
∴==1，﹣4 +4=1+4﹣4=1，
解得 =1．
∴====3，
故选B．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．

15．（2016•枣庄一模）设D为△ABC所在平面内一点，=﹣+，若=λ（λ∈R），则λ=（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【分析】D为△ABC所在平面内一点，=﹣+，可得B，C，D三点共线．若=λ（λ∈R），可得=﹣，化简与=﹣+比较，即可得出．
【解答】解：∵D为△ABC所在平面内一点，=﹣+，
∴B，C，D三点共线．
若=λ（λ∈R），∴=﹣，
化为：=+，
与=﹣+比较，可得：=﹣，=，解得λ=﹣3．
则λ=﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．（2016春•衡阳校级月考）、为基底向量，已知向量=﹣k，=2﹣，=3﹣3，若A、B、D三点共线，则k的值是（　　）
A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3
【分析】由A，B，D三点共线，可构造两个向量共线，再利用两个向量共线的定理求解即可．
【解答】解析：∵=2e1﹣e2，=3e1﹣3e2，
∴=﹣=（3e1﹣3e2）﹣（2e1﹣e2）=e1﹣2e2．
∵A、B、D三点共线，∴与共线，
∴存在唯一的实数λ，使得e1﹣ke2=λ（e1﹣2e2）．
即解得k=2．
故选A．
【点评】本题考查三点共线和向量共线的转化和向量共线的条件，属基本题型的考查．

17．（2016春•简阳市校级月考）已知点O，N在△ABC所在的平面内，且||=||=||，++=，则点O，N依次是△ABC的（　　）
A．外心，内心 B．外心，重心 C．重心，外心 D．重心，内心
【分析】由题意，||=||=||得出点O是△ABC的外心；由++=得出点N是△ABC的重心．
【解答】解：根据题意，得
在△ABC所在的平面内，
∵||=||=||，
∴点O是△ABC的外心；
又∵++=，
∴（+）+（+）+（+）=，
即++=，
∴D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴点N是△ABC的重心．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时可以结合图形，容易解答问题，是基础题．

18．（2015•朝阳区模拟）已知向量，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（　　）
A．⊥ B．⊥（﹣） C．⊥（﹣） D．（+）⊥（﹣）
【分析】对|﹣t |≥|﹣|两边平方可得关于t的一元二次不等式 ，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．
【解答】解：已知向量 ≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t |≥|﹣|
即|﹣t |2≥|﹣|2∴
即
故选C．
【点评】本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题，属于基础题．

二．填空题（共9小题）
19．（2009•湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，则x=　　，y=　　．

【分析】设，求出题中有关线段的长度及有关角的大小，利用2个向量的数量积公式，待定系数法求出x、y的值．
【解答】解∵，又 ，∴，
∴．
又∵，∴．
设，则由题意知：．
又∵∠BED=60°，∴，显然与的夹角为45°．
∴由 得×1×cos45°=（x﹣1）×1，∴x=+1．
同理，在中，两边同时乘以，
由数量积公式可得：y=，故答案为：1+，．
【点评】本题考查2个向量的混合运算，两个向量的数量积定义式、公式的应用，待定系数法求参数值，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．

20．（2006•湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是　（﹣∞，0）　；当时，y的取值范围是　　．

【分析】根据向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，得到x的取值范围，当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，得到y的范围．
【解答】解：如图，OM∥AB，点P在由射线OM，
线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，
且，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，
该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，
∴x的取值范围是（﹣∞，0）；
当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=OB，CE=OB，
∴y的取值范围是（，）．
故答案为：（﹣∝，0）；（，）

【点评】本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点．

21．（2013•安徽模拟）已知O是直线AB外一点，平面OAB上一点C满足是线段AB和OC的交点，则=　3：2　．
【分析】由三点共线可得，再由P、A、B三点共线可得，代入由向量的运算可得==，进而可得答案．
【解答】解：由题意可得O、P、C三点共线，所以=，
∴=，又因为P、A、B三点共线，
所以，解得λ=5，故，
故===，
所以=3：2
故答案为：3：2
【点评】本题考查平行向量和共线向量，属基础题．

22．（2013•新余二模）如图矩形ORTM内放置5个大小相同的边长为1的正方形，其中A，B，C，D都在矩形的边上，若向量，则x2+y2=　13　．

【分析】根据题意，根据向量加法的三角形法则，表示出向量，根据已知可得，两边平方即可求得结果．
【解答】解：∵，
∴
两边平方得：
即：1+4+4+2=x2+y2
又，，，
∴x2+y2=1+4+4+4=13
故答案为：13．

【点评】此题考查平面向量基本道理和数量积的运算，在应用平面向量基本道理用已知向量表示未知向量，把未知向量放在封闭图形中是解题的关键，属中档题．

23．（2010•江阴市校级模拟）已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为　4：1　．
【分析】利用共线向量的充要条件作出，利用向量的运算法则知OB′A′C′；结合图形得到△OAB与△OBC的面积之比．
【解答】解：如图，作向量，，．
则S△OBC=S△OBC'=S△OB'C'=S△OB'A'=S△OB'A=S△AOB．
故答案为4：1

【点评】本题考查向量共线的充要条件、向量的运算法则：平行四边形法则、数形结合的数学方法．

24．（2010•南安市校级模拟）已知单位向量，满足：（k＞0），则||的最大值为
　1　．
【分析】把已知的等式平方后解出 • 的解析式，再求出 的最大值，从而得到||的最大值．
【解答】解：∵单位向量，满足：（k＞0），
∴k2+2k+=3（﹣2k+k2 ），∴k2﹣4k•+1=0，
∴•=，=﹣2•+=2﹣≤2﹣=1，
当且仅当 k=1 时， 有最大值1，||的最大值为 1，
故答案为：1．
【点评】本题考查向量的模的求法，向量的乘方运算以及基本不等式的应用．

25．（2010•聊城二模）已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，则实数λ的值为　﹣2　．
【分析】将已知向量的等式变形，利用向量加法的平行四边形法则得到的关系，求出λ
【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∵
∴λ=﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题考查向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则．

26．（2007•江西）如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为　2　．

【分析】三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．
【解答】解：=（）
=+，
∵M、O、N三点共线，
∴+=1，
∴m+n=2．
故答案：2
【点评】本题考查三点共线的充要条件．

27．（2005•安徽）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=　1　．
【分析】根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则得=+，由向量相等和向量的减法运算进行转化，直到用、和表示出来为止．
【解答】解：如图：作直径BD，连接DA、DC，
由图得，=﹣，
∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴=
又∵=﹣=+，
∴=+=+=++，对比系数得到m=1．
故答案为：1．

【点评】本题考查了向量的线性运算的应用，一般的做法是根据图形找一个封闭的图形，利用向量的加法表示出来，再根据题意进行转化到用已知向量来表示，考查了转化思想．

三．解答题（共3小题）
28．（2008•上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，简记为{An}、若由构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列，
（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；
（2）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断△AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若{An}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．
【分析】（1）根据所给的n个点的坐标，看出数列{an}的通项，把数列{an}的通项代入新定义的数列{bn}，验证数列{bn}满足bn+1＞bn，
得到{An}是T点列的结论．
（2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果．
（3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，得到向量的数量积之间的关系，本题不用做具体的数字运算，只是一个推理过程．
【解答】解：（1）由题意可知，
∴，
显然有bn+1＞bn，
∴{An}是T点列
（2）在△AkAk+1Ak+2中，，
∵点A2在点A1的右上方，
∴b1=a2﹣a1＞0，
∵{An}为T点列，
∴bn≥b1＞0，
∴（ak+2﹣ak+1）（ak﹣ak+1）=﹣bk+1bk＜0，则
∴∠AkAk+1Ak+2为钝角，
∴△AkAk+1Ak+2为钝角三角形、
（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，
∴q﹣p=n﹣m＞0①
aq﹣ap=aq﹣aq﹣1+aq﹣1﹣aq﹣2+…+ap+1﹣ap=bq﹣1+bq﹣2+…+bp≥（q﹣p）bp②
同理an﹣am=bn﹣1+bn﹣2+…+bm≤（n﹣m）bn﹣1、③
由于{An}为T点列，于是bp＞bn﹣1，④
由①、②、③、④可推得aq﹣ap＞an﹣am，
∴aq﹣an＞ap﹣am，
即
【点评】本题表面上是对数列的考查，实际上考查了两个向量数量积，数量积贯穿始终，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到比较大小的问题，是一个大型的综合题．可以作为高考卷的压轴题．

29．（2007秋•朝阳区期末）设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量=（x﹣2，y），=（x+2，y），且|a|+|b|=8，
（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【分析】（I）把=（x﹣2，y），=（x+2，y）代入|a|+|b|=8，根据椭圆的定义即可求得动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）假设存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，即OA⊥OB，设出直线l的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理即可得出结论．
【解答】解：（I）因为|a|+|b|=8，所以．
所以动点M的轨迹是到定点F1（﹣2，0），F2（2，0）的距离之和为8的椭圆．
则曲线C的方程是．
（Ⅱ）因为直线l过点N（0，2），若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=0，与椭圆的两个交点A、B为椭圆的顶点．
由，则P与O重合，与OAPB为四边形矛盾．
若直线l的斜率存在，设方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得（4k2+3）x2+16kx﹣32=0．
△=256k2+128（4k2+3）＞0恒成立．
由根与系数关系得：，．
因为，所以四边形OAPB为平行四边形．
若存在直线l使四边形OAPB为矩形，则，即．
所以x1x2+y1y2=0．
所以（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0．
即．
化简得：12k2+5=0．与斜率存在矛盾．
则不存在直线l，使得四边形OAPB为矩形．
【点评】考查向量和解析几何相结合，体现了向量的工具性，考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系问题，属难题．

30．（2005•安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．
【分析】（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率
（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．
【解答】解：（1）设椭圆方程为
则直线AB的方程为y=x﹣c，代入，
化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．
令A（x1，y1），B（x2，y2），
则．
∵与共线，
∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，
∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，
∴．
即，
所以a2=3b2．
∴，
故离心率．
（II）证明：由（1）知a2=3b2，
所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．
设M（x，y），
由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），
∴
∵M（x，y）在椭圆上，
∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．
即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①
由（1）知．
∴，
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2==0．
又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，
代入①得λ2+μ2=1．
故λ2+μ2为定值，定值为1．
【点评】考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理．
是高考常见题型且是解答题．

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