【优化探究】高三数学二轮复习-专题演练1-4-1第一讲-等差数列、等比数列.doc

【优化探究】2013届高三数学二轮复习 专题演练1-4-1第一讲 等差数列、等比数列

一、选择题
1．(2012年高考辽宁卷)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　)
A．12　　　　　　　　　　 B．16
C．20 D．24
解析：根据等差数列的性质求解．
a2＋a10＝a4＋a8＝16.
答案：B
2．(2012年高考课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析：解法一　利用等比数列的通项公式求解．
由题意得
解得或
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
解法二　利用等比数列的性质求解．
由解得或
∴或
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
答案：D
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝2 009，且－＝，则a4＝(　　)
A．2 009 B．2 010
C．2 011 D．2 012
解析：记数列{an}的公差为d，∵＝＝，根据等差数列的前n项和公式可得－＝，即a2 012－a2 009＝3，
∴3d＝3，∴d＝1，故a4＝2 009＋3＝2 012.
答案：D
4．(2012年朝阳区模拟)设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝1且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D．n2＋n
解析：由a1，a3，a6成等比数列可得a＝a1·a6，设数列{an}的公差为d(d≠0)，则(1＋2d)2＝1×(1＋5d)，而d≠0，故d＝，所以Sn＝n＋×＝＋.
答案：A
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝aqn(a≠0，q≠1，q为非零常数)，则数列{an}(　　)
A．是等差数列
B．是等比数列
C．既是等差数列也是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
解析：当n＝1时，a1＝aq，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a(q－1)·qn－1，易知数列{an}既不是等差数列也不是等比数列．
答案：D
二、填空题
6．(2012年高考辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
解析：先判断数列的项是正数，再求出公比和首项．
a＝a10>0，根据已知条件得2(＋q)＝5，解得q＝2.
所以aq8＝a1q9，所以a1＝2，所以an＝2n.
答案：2n
7．(2012年长沙模拟)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a4＝________.
解析：依题意得S5＝＝5a3＝25，
故a3＝5，数列{an}的公差d＝a3－a2＝2，
所以a4＝a3＋d＝7.
答案：7
8．(2012年高考浙江卷)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________．
解析：利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解．
解法一　S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，
将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，
3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，
化简得2q2－q－3＝0，
解得q＝(q＝－1不合题意，舍去)．
解法二　设等比数列{an}的首项为a1，由S2＝3a2＋2，得
a1(1＋q)＝3a1q＋2.①
由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②
由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．
∵q>0，∴q＝.
答案：
三、解答题
9．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an和前n项和Sn；
(2)设cn＝，bn＝2cn，证明数列{bn}是等比数列．
解析：(1)设{an}的公差为d，
由已知条件，
解得a1＝3，d＝－2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.
Sn＝na1＋d＝－n2＋4n.
(2)证明：∵an＝－2n＋5，
∴cn＝＝＝n
∴bn＝2cn＝2n
∵＝＝2(常数)
∴数列{bn}是等比数列．
10．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和Sn.
解析：设{an}的公比为q，
由题设得解得或
当a1＝3时，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
11．(2012年高考江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列{}的前n项和Tn.
解析：(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，
故k2＝16，因此k＝4，
从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．
又a1＝S1＝，所以an＝－n(n∈N＋)．
(2)因为bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝1＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－
＝4－－＝4－.

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