山西省2013高考数学一轮单元复习测试-导数及其应用-新人教A版.doc

山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝(　　)
A．5太贝克 B．75ln2太贝克
C．150ln2太贝克 D．150太贝克
【答案】D
2．函数的导数为 ( ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3．设P为曲线C：y=+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为 ( )
A． B．［-1,0］ C．［0,1］ D．
【答案】A
4．曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为( )
A． B． C．和 D．和
答案：D
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
6．曲线在点处的切线倾斜角为( )
A． B． C． D．
答案：A
7．函数f(x)=的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P0点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(0，－2)
C．(－1，－4)或(1,0) D．(1,4)
【答案】C
9． 函数的图像大致为( ).

【答案】A
10．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.
则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是(　　)

【答案】D
12．函数若函数上有3个零点，则m的取值范围为 ( ）
A．（-24,8） B．（-24,1] C．[1,8] D．[1,8）
【答案】D

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13． 质量为5 kg的物体运动的速度为v=(18t－3t2) ms,在时间t=2 s时所受外力为______N.
【答案】30
14．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是____________．
【答案】0<t<1或2<t<3
15． 已知函数有极大值又有极小值，则的取值范围是

【答案】
16．设函数　f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈－1,1，都有　f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
【答案】4

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位一：千克）与销售价格x（单位：元千克）满足关系式其中，a为常数，已知销售价格为5元千克时，每日可售出该商品11千克。
(1）求a的值
(2）若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
【答案】（1）因为x=5时，y=11，所以
(2）由（1）可知，该商品每日的销售量，
所以商场每日销售该商品所获得的利润

从而，
于是，当x变化时，的变化情况如下表：
X
(3,4)
4
(4,6)

+
0
-
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减

由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；所以，
当x=4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42。
答：当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。
18．已知函数．
(Ⅰ)若,令函数,求函数在上的极大值、极小值；
(Ⅱ)若函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范围.
【答案】 (Ⅰ)，所以
由得或

所以函数在处取得极小值；在处取得极大值
(Ⅱ) 因为的对称轴为
(1）若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；
(2）若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；
综上，实数的取值范围为
19．已知函数
(1）当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2）若函数f(x)在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围.
【答案】（1）因为，所以当a=1时，
令则x=0，所以的变化情况如下表：
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)

极小值

所以x=0时，f(x)取得极小值f(0)=-1.
(2）因为函数f(x)在区间（0，1）上是单调增函数，所以对 恒成立. 又，所以只要对恒成立，
解法一：设，则要使对恒成立，
只要成立， 即解得.
解法二：要使对恒成立，因为，所以对恒成立，
因为函数在（0，1）上单调递减，所以只要
20．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元)与时间t (单位：月)的函数解析式为：y=2+ (1≤t≤12),试求出10月份该商品价格上涨的速度.
【答案】∵y=2+ (1≤t≤12)，
∴y′=(2+ )′=2′+( )′=
由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为=3.
因此10月份该商品价格上涨的速度为3元月.
21．已知函数．
(Ⅰ）求函数的单调区间；
(Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（I）的定义域是

由及 得；由及得，
故函数的单调递增区间是；单调递减区间是
(II）若对任意，，不等式恒成立，
问题等价于，
由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，所以；

当时，；
当时，；
当时，；
问题等价于 或 或
解得 或 或
即，所以实数的取值范围是
22． 对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:
(1）求函数的“拐点”A的坐标;
(2）求证的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.
【答案】（1），.令得
， .拐点
(2）设是图象上任意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得
左边,
右边
右边=右边在图象上关于A对称

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用心 爱心 专心