高三数学一轮复习-选考部分-第二讲-不等式选讲学案.doc

选考部分 第二讲：不等式选讲
1．（2010·江苏高考·Ｔ１2）设x, y为实数，满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ．
【命题立意】本题考查不等式的基本性质，等价转化思想．
【思路点拨】
【规范解答】，，，
的最大值是27．
【答案】27．
2．（2010·浙江高考文科·Ｔ15）若正实数，满足，则的最小值是 ．
【命题立意】本题主要考察了用基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中档题．
【思路点拨】本题可利用均值不等式构造出关于的不等式，解出的范围．
【规范解答】运用基本不等式，，令，可得，注意到t＞0，解得t≥,故xy的最小值为18．
【答案】18．
【方法技巧】均值不等式有两个常用变形：（1）当和为定值时，积有最大值，即；（2）当积为定值时，和有最小值，即．
3．（2010·四川高考理科·Ｔ12）设，则的最小值是（ ）.
（A）2 （B）4 （C） （D）5
【命题立意】本题考查创造条件，利用均值不等式求最值问题及完全平方公式.但要注意
取等号成立时的条件.
【思路点拨】本题多个和的最小值，故可选用基本不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配凑，原则是出现，，.因多个等号同时成立，注意等号成立的条件.
【规范解答】选B .原式

.
当且仅当即时，等号成立.
【方法技巧】基本不等式成立的条件：一正，二定，三相等.
4．（2010·辽宁高考理科·Ｔ24）已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
【命题立意】本题考查了不等式的性质，考查了均值不等式。
【思路点拨】把分别用均值不等式，相加后，再用均值不等式。
【规范解答】（证法一）
∵
…………………………①
，
∴……………………②

……………………③
∴原不等式成立。
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当时，③式等号成立。
即当a=b=c＝时原式等号成立。
（证法二）
∵a,b,c都是正数，由基本不等式得

∴………………………………①
同理………………………………②
∴
…………………………………………③
∴原不等式成立
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c,时，③式等号成立。
即当a=b=c＝时原式等号成立。
5．按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；
(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】(1)

当时，,
, =
（2）当时，

由，故当即时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
（3）由（2）知：=
由得：，
令则，即：。
同理，由得：
另一方面，
当且仅当，即=时，取等号。由（1）知=时h甲=h乙
所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。
6．（2010·福建高考理科·Ｔ21）已知函数()=．
(Ⅰ)若不等式()≤3的解集为｛-1≤≤5｝，求实数的值；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若()+()≥对一切实数恒成立，求实数的取值范围。
【命题立意】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。
【思路点拨】（1）由公式求解含绝对值的不等式，进而求出a的值，（2）求出g（x），利用零点区间讨论法进行分类谈论求解。
【规范解答】（1），对应系数得；
（2）的图像为所以，故。
7．设函数。
（1） 若解不等式；
（2）如果,,求的取值范围。
【解析】（1）当时，，由得：，
（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为。
（法二）不等式可化为或或，
∴不等式的解集为。-------------5分
（2）若， ，不满足题设条件；
若，，的最小值为；
若，，的最小值为。
所以对于，的充要条件是，从而a的取值范围。
8．已知，且
   求证：
证明：显然
         是方程的两个实根，
              由得，同理可得，
9．求最小实数M，使得对一切实数 a，b，c都成立不等式

解析：
．
设，则．
原不等式成为
．
中两个同号而与另一个反号．不妨设 ．则
，．于是由算术－几何平均不等式
＝

即时原不等式成立．
等号在，，即时达到，故所求的最小的．
10．设，求证：.
证明：因为，所以有. 又，故有.

于是原不等式得证.
 11．设a∈R且a≠-,比较与-a的大小．
解析： -()=,………………………………………………3分
当且时,∵ ,∴． ………………6分
当时, ∵ ,∴=． …………………………7分
当时,∵ ,∴．………………………… 10分
12．已知函数．
（Ⅰ）作出函数的图像；

（Ⅱ）解不等式
【解析】（Ⅰ）
图像如下：

（Ⅱ）不等式，即，由得．由函数图像可知，原不等式的解集为．