高中数学竞赛讲义-向量与向量方法-新人教A版.doc

§10向量与向量方法
（一）
1．（2004年上海春季高考题）在ΔABC中，有命题①；②；③若，则ΔABC为等腰三角形；④若，则ΔABC为锐角三角形.上述命题正确的是 ( )
A．① ② B．① ④ C．② ③ D．② ③ ④

2．已知O为坐标原点，＝(－1，1)，＝(－5，－5)，集合A＝{||RN|＝2}，、∈A，，则·＝_________________.

3．已知向量＝－1+32+23，＝41－62+23，＝－31+122+113，问能否表示成
＝λ1+λ2的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由．

4．已知，是两非零向量，若+3与7－5垂直，－4与7－2垂直，试求，　的夹角．

5．设向量，满足||＝||＝1及|3－2|＝3. 求|3+|的值.

引申 已知向量，满足||＝||＝r，R，试求的值.

6．设A、B、C、D是坐标平面上的四点，它们的坐标分别为：A(，)，B(，)，
C(，)，D(，)，且它们中任意三点不共线．试证明：
四边形ABCD为正方形的充要条件为 (－，－)＝(－，－)，
O
P
P1
P4
P3

且(－)(－)+(－)(－)＝0.

7．如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是
圆O上的任意点. 求证：为定值.
8．如图，设P1，P2，P3，…，Pn，是圆O内接正n边形的顶点，P是圆O上的任意点，求证：为定值.

9．空间有十个点A1，A2，…，A10，试求一个点P，使为最小.

10．如图，空间四边形ABCD中，点E分及点F分所成的
比均为，则.

y
x
O

11．一个物体受到同一个平面内三个力、、的作用，
沿北偏东45°的方向移动了8m，其中||＝2N，方向为北偏东
30°；||＝4N，方向为东偏北30°；||＝6N，方向为西偏
北60°，求合力所作的功.

P
F
·
B
C
D
E
N
M
A
12．设M、N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且＝，若B、M、N共线，求的值.

13．如图，在ΔOAB中，，，AD与BC交于M点，设，
. (1)用，表示；(2)已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设，，求证：.
D
A
B
C
E
F
O
M

14． （2002年高考试题）已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列．
(1)点P的轨迹是什么曲线？
(2)若点P的坐标是(，)，为与的夹角，求tan．