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课后作业(三十)数列的概念与简单表示法
一、 选择题
1．如图5－1－2，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )
图5－1－2
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10＝( )
A．1 024 B．1 023 C．2 048 D．2 047
3．(2013·东莞调研)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( )
A．2n－1 B．()n－1 C．n2 D．n
4．(2013·河源质检)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝( )
A．1 B．9 C．10 D．55
5．(2013·佛山模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为( )
A．5 B. C. D.
二、填空题
6．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝________．
7．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________．
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．
三、解答题
9．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
10．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
11．(2013·湛江质检)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，an＋1－an＝6n＋2，点(，bn)在y＝x3＋mx的图象上，{bn}的最小项为b3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求m的取值范围．
解析及答案
一、 选择题
1．【解析】 观察所给图案知，an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
【答案】 C
2．【解析】 ∵an＋1＝an＋2n，
∴an－an－1＝2n－1(n≥2)，
∴a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝29＋28＋…＋2＋1＝210－1＝1 023.
【答案】 B
3．【解析】 ∵an＝n(an＋1－an)，∴＝，
∴an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝n.
【答案】 D
4．【解析】 ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，
∴令n＝9，m＝1，即得S9＋S1＝S10，
S1＝S10－S9＝a10＝1，∴a10＝1.
【答案】 A
5．【解析】 ∵an＋an＋1＝(n∈N*)，
∴a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…
故a2n＝2，a2n－1＝－2.
∴S21＝10×＋a1＝5＋－2＝.
【答案】 B
二、填空题
6．【解析】 ∵ap＋q＝ap＋aq，
∴a36＝a32＋a4＝2a16＋a4＝4a8＋a4
＝8a4＋a4＝18a2＝36a1＝4.
【答案】 4
7．【解析】 由题意知：a1·a2·a3…an－1＝(n－1)2，
∴an＝()2(n≥2)，
∴a3＋a5＝()2＋()2＝.
【答案】
8．【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－10＋2n，
又n＝1时，a1＝－8适合上式，
∴an＝2n－10.
∵5＜ak＜8，
∴5＜2k－10＜8，∴＜k＜9，
又∵k∈N*，∴k＝8.
【答案】 8
三、解答题
9．【解】 (1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴bn＝
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－＜0，
∴{cn}是递减数列．
10．【解】 (1)由Sn＝a＋an(n∈N*)可得
a1＝a＋a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；
同理，a3＝3，a4＝4.
(2)Sn＝＋a，①
当n≥2时，Sn－1＝＋a，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，
所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
11．【解】 (1)∵an＋1－an＝6n＋2，
∴当n≥2时，an－an－1＝6n－4.
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(6n－4)＋(6n－10)＋…＋8＋2
＝＋2＝3n2－3n＋2n－2＋2
＝3n2－n，
显然a1也满足an＝3n2－n，
∴an＝3n2－n.
(2)∵点(，bn)在y＝x3＋mx的图象上，
∴bn＝(3n－1)3＋m(3n－1)．
∴b1＝8＋2m，b2＝125＋5m，b3＝512＋8m，b4＝1 331＋11m.
∵{bn}的最小项是b3，∴
∴－273≤m≤－129.
∵bn＋1＝(3n＋2)3＋m(3n＋2)，
bn＝(3n－1)3＋m(3n－1)，
∴bn＋1－bn＝3[(3n＋2)2＋(3n－1)2＋(3n＋2)(3n－1)]＋3m＝3(27n2＋9n＋3＋m)，
当n≥4时，27n2＋9n＋3＞273，∴27n2＋9n＋3＋m＞0，
∴bn＋1－bn＞0，∴n≥4时，bn＋1＞bn.
综上可知－273≤m≤－129，
∴m的取值范围为[－273，－129]．
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