北师大版八年级数学下册-第一章检测卷含答案.docx

第一章检测卷
时间： 120 分钟
满分： 120 分
总分
题号
得分
一
二
三
四
五
六
一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．每小题只有一个正确选项 )
1．在△ ABC 中， AB＝2，BC＝ 3，AC＝ 7，则△ ABC 的形状是 (
A．锐角三角形 B．直角三角形
)
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．如图， OP 平分∠ AOB， PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A，B.下列结论中不一定成立的是
(
)
A．PA＝PB B． PO 平分∠ APB
C．AB 垂直平分 OP D．∠ OBA＝∠ OAB
第 2 题图
第 3 题图
第 4 题图
l m
ABC
B
m
BC m
与直线 所夹锐角为 20°，则∠ α的
3．如图， ∥ ，等边△
度数为 (
A． 60° B ．45° C ．40° D ．30°
的顶点 在直线 上，边
)
D ABC
CD平分∠ ACB BE CD
D AC
E A ABE
于点 ，∠ ＝∠ .
4．如图， 为△
内一点，
， ⊥ ，垂足为 ，交
AC BC
BD
D
若 ＝5， ＝3，则 的长为
A． 2.5 B ．1.5 C ．2 D ．1
A
O AB AC
BCO
的度数是 (
5．如图，∠ ＝50°，点 是 ， 垂直平分线的交点，则∠
)
A． 40° B ．50° C ．60° D ．70°
第 5 题图
第 6 题图
6．如图，在△ ABC 中， AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠ EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，两边 PE，
PF 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 EF 交 AP 于点 G.给出以下四个结论： ①∠ B＝∠ C＝45°；②AE
＝CF；③△ EPF 是等腰直角三角形；④四边形 AEPF 的面积是△ ABC 面积的一半．其中正确的有
(
)
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)
7 ． 等 腰 三 角 形 两 腰 上 的 高 相 等 ， 这 个 命 题 的 逆 命 题 是
____________________________________________ ，这个逆命题是真命题．

8．如图，△ ABC 中， AC＝BC，CD ∥AB，若∠ ECD ＝36°，则∠ B＝________.
第 8 题图
第 9 题图
第 10 题图
第 11 题图
1 1．如图，在△ ABC 中，∠ C＝90°，AB＝10，AD 是△ ABC 的一条角平分线．若 CD＝ 3，则
△ABD 的面积为 ________．
1
2
1 2．在等腰三角形 ABC 中， AD⊥ BC 交直线 BC 于点 D. 若 AD＝ BC，则△ ABC 的顶角的度数
为______________．
三、 (本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分 )
1 3．如图，在△ ABC 中， AB＝AC，∠ A＝40°，BD 是∠ ABC 的平分线，求∠ BDC 的度数．
1 4．如图，在长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，且 BE＝ CF，EF⊥DF，求
证： BF＝CD.
1 5．如图，△ ABC 中，∠ ACB＝90°，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB 于点 E.求证：直线 AD 是线段
CE 的垂直平分线．

1 6．如图， AD 平分∠ BAC，AD⊥BD，垂足为点 D，DE∥AC.求证：△ BDE 是等腰三角形．
1 7．如图，在△ ABC 中， AB＝AC，直线 l 过点 A，且直线 l∥BC，E，F 是直线 l 上的两点，
AE＝AF，请用无刻度的直尺作出 BC 边上的高 AD.
四、 (本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分 )
1 8．如图，△ ABC 中，∠ B＝ 90°，AB＝7， BC＝24，三角形内有一点 P 到各边的距离相等，
PE⊥AB， PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为 E，F，D，求 PD 的长．

(1)求证：△ BED≌△ CFD ；
(2)若∠ A＝60°，BE＝ 1，求△ ABC 的周长．
2 0．如图， AD 是△ ABC 的边 BC 上的高，∠ B＝60°，∠ C＝45°， AC＝6.
(1)求 AD 的长；
(2)求△ ABC 的面积．
五、 (本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分 )
2 1．如图，在△ ABC 中，∠ BAC＝106°，MP ，NQ 分别垂直平分 AB，AC.
(1)当 AB＝AC 时，∠ 1 的度数为 ________；
(2)若 AB≠AC，请问 (1)中的结论还成立吗？请通过计算说明．

2 2．如图，△ ABC 是等边三角形，点 D， E，F 分别是 AB，BC，CA 上的点．
(1)若 AD＝BE＝CF，问△ DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论；
(2)若△ DEF 是等边三角形，问 AD＝BE＝ CF 成立吗？试证明你的结论．
六、 (本大题共 12 分)
2 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点
点(不与原点 O 重合 )，以线段 AP 为一边在其右侧作等边三角形△ APQ.
(1)求点 B 的坐标；
A(0， 2)，△ AOB 为等边三角形， P 是 x 轴上一个动
(2)在点 P 的运动过程中，∠ ABQ 的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请
说明理由；
(3)连接 OQ，当 OQ∥AB 时，求 P 点的坐标．

参考答案与解析
1． B 2.C 3.C 4.D
5． A 解析：连接 OA，OB.∵∠ BAC＝ 50°，∴∠ ABC＋∠ ACB＝130°.∵O 是 AB，AC 垂直平
分线的交点，∴ OA＝OB，OA＝OC，∴∠ OAB＝∠ OBA，∠ OCA ＝∠ OAC，OB＝OC，∴∠ OBA＋
∠OCA＝∠ OAB ＋∠ OAC＝50°，∴∠ OBC ＋∠ OCB＝ (∠ABC＋∠ ACB)－ (∠OBA＋∠ OCA )＝130°
－5 0°＝80°.∵OB ＝OC，∴∠ BCO＝∠ CBO＝40°.故选 A.
1
2
－
×(180° 90°)＝45°，∴①
6．D 解析：∵△ ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ B＝∠ C＝
1
2
正确；∵ AB＝ AC，∠BAC＝ 90°，直角∠ EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，∴ AP⊥BC，AP＝ BC PC
＝ ，
∠BAP＝∠ CAP＝ 45°＝∠ C.∵∠ APF＋∠ FPC＝ 90°，∠ APF＋∠ APE＝90°，∴∠ FPC ＝∠ EPA.在
∠EAP＝∠ C，
△APE 和△ CPF 中， AP＝CP，
∠EPA＝∠ FPC ，
∴△ APE≌△ CPF (ASA) ，∴ AE ＝ CF ，∴②正确；由
△APE≌△ CPF 可 得 PE ＝ PF.∵∠ EPF ＝ 90°， ∴△ EPF 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∴③ 正 确 ；
1
∵△ APE≌△ CPF，∴S ＝S . BP CP S ＝ S ，∴ S
＝S ＋S ＝S
∵ ＝ ，∴
APE
CPF
APC 2
ABC
AEPF
APE
APF
△
△CPF
△
△
△
△
四边形
△
1
＋S ＝S ＝ S ，∴④正确；即正确的有 4 个．故选 D.
APF
APC 2
ABC
△
△
△
7．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形
8． 36° 9.76 10.2 11.15
真
1
2
1 2．30°或 150°或 90° 解析：若 BC 为腰，∵ AD⊥BC 于点 D，AD＝ BC，∴∠ ACD ＝30°.如
图①， AD 在△ ABC 内部时，顶角∠ C＝30°，如图②， AD 在△ ABC 外部时，顶角∠ ACB＝180°－
1
2
30°＝150°；若 BC 为底， 如图③ .∵AD⊥BC 于点 D，AD＝ BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠ B＝∠ BAD，
1
2
∠C＝∠ CAD ，∴∠BAD ＋∠ CAD ＝ ×180°＝90°，∴顶角∠ BAC＝90°.综上所述， 等腰三角形 ABC
的顶角度数为 30°或 150°或 90°.故答案为 30°或 150°或 90°.
180－∠ A
＝ 70°.(2 分)∵BD 是∠ ABC 的平分
1 3．解：∵ AB＝AC，∠ A＝40°，∴∠ ABC＝∠ C＝
2

1
2
线，∴∠ DBC ＝ ∠ABC＝ 35°，(4 分)∴∠ BDC ＝180°－∠ DBC －∠ C＝75°.(6 分)
1 4．证明：∵四边形 ABCD 是长方形，∴∠ B＝∠ C＝90°.(1 分)∵EF⊥DF ，∴∠ EFD ＝90°，
∴∠ EFB＋∠ CFD ＝90°.又∵∠ EFB＋∠ BEF＝ 90°，∴∠ BEF ＝∠ CFD.(3 分)在△ BEF 和△ CFD 中，
∠BEF＝∠ CFD ，
BE＝CF，
∴△ BEF ≌△ CFD (ASA) ，(5 分)∴BF ＝CD.(6 分)
∠B＝∠ C，
1 5．证明：∵ DE⊥AB，∴∠ DEA＝∠ ACB＝90°.∵AD 平分∠ BAC，∴ DE＝CD.(2 分)又∵ AD
＝AD，∴ Rt△AED≌Rt△ACD ，∴ AE＝AC.(4 分 )∵点 A，D 都在直线 AD 上，且它们到点 C，E 的
距离相等，∴直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线． (6 分)
1 6．证明：∵ DE∥ AC，∴∠ 1＝∠ 3.(1 分 )∵AD 平分∠ BAC，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 2＝∠ 3.(3
1 7．解：如图所示， AD 即为所求． (6 分)
1 8．解：连接 AP，BP，CP.设 PE＝PF＝ PD＝x.∵在△ ABC 中，∠ ABC＝90°， AB＝7，BC＝
1AB·CB＝84.(5 分)又∵ S
1
AB·PE＋ AC·PD＋
1
2
1
2
BC ＝ 25，(4 分)S ＝
＝
24，∴ AC＝ AB2＋
2
ABC 2
ABC 2
△
△
1
2
1
2
56x＝28x，∴ 28x＝84，解得 x＝3.故 PD 的长为 3.(8 分)
BC·PF ＝ (AB＋BC＋AC) ·x＝ ×
1 9．(1)证明：∵ AB＝AC，∴∠ B＝∠ C.∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠ DEB＝∠ DFC ＝90°.∵D 是
BC 的中点，∴ BD＝CD.(3 分)在△ BED 与△ CFD 中，∵∠ DEB＝∠ DFC ，∠ B＝∠ C，BD＝CD，
∴△ BED≌△ CFD (AAS) ．(4 分)
(2)解：∵ AB＝AC，∠ A＝60°，∴△ ABC 是等边三角形，∴ AB＝BC＝CA，∠ B＝60°.(5 分)又
∵DE⊥AB，∴∠ EDB＝30°.在 Rt△BED 中， BD＝2BE＝2，∴ BC＝2BD ＝4，(7 分)∴△ ABC 的周
长为 AB＋BC＋CD ＝3BC＝12.(8 分)
2 0．解 ：(1)∵∠ C＝45°，AD 是△ ABC 的边 BC 上的高， ∴∠ DAC ＝45°，∴AD＝CD.(2 分)∵ AC2
＝AD2＋CD2，∴ 62＝2AD2，∴ AD＝ 3 2.(4 分)
2 BD2＋ AD2，∴(2BD )2
(2)在 Rt△ADB 中，∵∠ B＝60°，∴ ∠ BAD＝30°，∴ AB＝2BD.(5 分)∵AB ＝

1
2
1
2
1
2
＝BD2＋AD2，∴ BD＝ 6.(6 分)∴△ ABC 的面积为 BC AD (BD DC ) AD ×( 6＋3 2)×3 2
· ＝ ＋ · ＝
＝9＋3 3.(8 分)
2 1．解： (1)32 (°4 分)
(2)成立． (5 分)理由如下：∵∠ BAC＝106°，∴∠ ABP＋∠ ACQ＝180°－106°＝74°.∵MP，NQ
分别垂直平分 AB 和 AC，∴PB＝PA，QC＝QA，∴∠ PAB＝∠ ABP，∠QAC＝∠ ACQ ，(7 分)∴∠ PAB
＋∠ QAC＝∠ ABP＋∠ ACQ＝74°，∴∠ 1＝∠ BAC－(∠PAB＋∠ QAC)＝106°－74°＝32°.(9 分)
2 2．解 ：(1)△DEF 是等边三角形． (1 分)证明如下： ∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ A＝∠ B＝∠ C，
AB＝BC＝CA.又∵ AD＝BE＝CF，∴ DB＝EC＝FA，∴△ ADF ≌△ BED≌△ CFE，∴ DF ＝ED＝FE，
(3 分)∴△ DEF 是等边三角形． (4 分)
(2)AD ＝BE＝CF 成立．(5 分 )证明如下： 如图，∵△DEF 是等边三角形， ∴ DE＝EF ＝FD，∠FDE
＝∠ DEF＝∠ EFD ＝60°，∴ ∠ 1＋∠ 2＝120°.(7 分 )∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ A＝∠ B＝∠ C＝60°，
∴∠ 2＋∠ 3＝ 120°，∴∠ 1＝∠ 3.同理∠ 3＝∠ 4，易证△ ADF ≌△ BED≌△ CFE(AAS) ，∴ AD ＝BE
＝CF.(9 分)
2 3．解： (1) 如图①，过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C.∵△ AOB 为等边三角形，且 OA＝2，∴∠ AOB
1
2
＝6 0°，OB＝OA ＝2，∴∠ BOC＝30°.(2 分)又∵∠ OCB＝90°，∴ BC＝ OB 1 OC 3
＝ ， ＝ ，∴点
B
的坐标为 ( 3，1)．(4 分 )
(2)∠ABQ＝ 90°，始终不变． (5 分)理由如下：∵△ APQ，△AOB 均为等边三角形，∴ AP＝AQ，
AP＝AQ，
∠PAO＝∠ QAB，
AO＝AB，
AO＝ AB，∠ PAQ＝∠ OAB ，∴∠ PAO＝∠ QAB.(6 分)在△ APO 与△ AQB 中，
∴△ APO≌△ AQB(SAS) ，∴∠ ABQ＝∠ AOP ＝90°.(8 分)
(3)当点 P 在 x 轴负半轴上时， 点 Q 在点 B 的下方， 如图② .∵AB∥OQ，∠ABQ＝90°，∴ ∠ BQO
＝9 0°，∠ BOQ＝∠ ABO＝ 60°.又∵ OB＝OA＝2，∴ BQ＝ 3，(10 分)由(2)可知，△ APO≌△ AQB，
∴OP＝BQ＝ 3，∴此时点 P 的坐标为 (－ 3，0)．(12 分)

1
2
线，∴∠ DBC ＝ ∠ABC＝ 35°，(4 分)∴∠ BDC ＝180°－∠ DBC －∠ C＝75°.(6 分)
1 4．证明：∵四边形 ABCD 是长方形，∴∠ B＝∠ C＝90°.(1 分)∵EF⊥DF ，∴∠ EFD ＝90°，
∴∠ EFB＋∠ CFD ＝90°.又∵∠ EFB＋∠ BEF＝ 90°，∴∠ BEF ＝∠ CFD.(3 分)在△ BEF 和△ CFD 中，
∠BEF＝∠ CFD ，
BE＝CF，
∴△ BEF ≌△ CFD (ASA) ，(5 分)∴BF ＝CD.(6 分)
∠B＝∠ C，
1 5．证明：∵ DE⊥AB，∴∠ DEA＝∠ ACB＝90°.∵AD 平分∠ BAC，∴ DE＝CD.(2 分)又∵ AD
＝AD，∴ Rt△AED≌Rt△ACD ，∴ AE＝AC.(4 分 )∵点 A，D 都在直线 AD 上，且它们到点 C，E 的
距离相等，∴直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线． (6 分)
1 6．证明：∵ DE∥ AC，∴∠ 1＝∠ 3.(1 分 )∵AD 平分∠ BAC，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 2＝∠ 3.(3
1 7．解：如图所示， AD 即为所求． (6 分)
1 8．解：连接 AP，BP，CP.设 PE＝PF＝ PD＝x.∵在△ ABC 中，∠ ABC＝90°， AB＝7，BC＝
1AB·CB＝84.(5 分)又∵ S
1
AB·PE＋ AC·PD＋
1
2
1
2
BC ＝ 25，(4 分)S ＝
＝
24，∴ AC＝ AB2＋
2
ABC 2
ABC 2
△
△
1
2
1
2
56x＝28x，∴ 28x＝84，解得 x＝3.故 PD 的长为 3.(8 分)
BC·PF ＝ (AB＋BC＋AC) ·x＝ ×
1 9．(1)证明：∵ AB＝AC，∴∠ B＝∠ C.∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠ DEB＝∠ DFC ＝90°.∵D 是
BC 的中点，∴ BD＝CD.(3 分)在△ BED 与△ CFD 中，∵∠ DEB＝∠ DFC ，∠ B＝∠ C，BD＝CD，
∴△ BED≌△ CFD (AAS) ．(4 分)
(2)解：∵ AB＝AC，∠ A＝60°，∴△ ABC 是等边三角形，∴ AB＝BC＝CA，∠ B＝60°.(5 分)又
∵DE⊥AB，∴∠ EDB＝30°.在 Rt△BED 中， BD＝2BE＝2，∴ BC＝2BD ＝4，(7 分)∴△ ABC 的周
长为 AB＋BC＋CD ＝3BC＝12.(8 分)
2 0．解 ：(1)∵∠ C＝45°，AD 是△ ABC 的边 BC 上的高， ∴∠ DAC ＝45°，∴AD＝CD.(2 分)∵ AC2
＝AD2＋CD2，∴ 62＝2AD2，∴ AD＝ 3 2.(4 分)
2 BD2＋ AD2，∴(2BD )2
(2)在 Rt△ADB 中，∵∠ B＝60°，∴ ∠ BAD＝30°，∴ AB＝2BD.(5 分)∵AB ＝

1
2
1
2
1
2
＝BD2＋AD2，∴ BD＝ 6.(6 分)∴△ ABC 的面积为 BC AD (BD DC ) AD ×( 6＋3 2)×3 2
· ＝ ＋ · ＝
＝9＋3 3.(8 分)
2 1．解： (1)32 (°4 分)
(2)成立． (5 分)理由如下：∵∠ BAC＝106°，∴∠ ABP＋∠ ACQ＝180°－106°＝74°.∵MP，NQ
分别垂直平分 AB 和 AC，∴PB＝PA，QC＝QA，∴∠ PAB＝∠ ABP，∠QAC＝∠ ACQ ，(7 分)∴∠ PAB
＋∠ QAC＝∠ ABP＋∠ ACQ＝74°，∴∠ 1＝∠ BAC－(∠PAB＋∠ QAC)＝106°－74°＝32°.(9 分)
2 2．解 ：(1)△DEF 是等边三角形． (1 分)证明如下： ∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ A＝∠ B＝∠ C，
AB＝BC＝CA.又∵ AD＝BE＝CF，∴ DB＝EC＝FA，∴△ ADF ≌△ BED≌△ CFE，∴ DF ＝ED＝FE，
(3 分)∴△ DEF 是等边三角形． (4 分)
(2)AD ＝BE＝CF 成立．(5 分 )证明如下： 如图，∵△DEF 是等边三角形， ∴ DE＝EF ＝FD，∠FDE
＝∠ DEF＝∠ EFD ＝60°，∴ ∠ 1＋∠ 2＝120°.(7 分 )∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ A＝∠ B＝∠ C＝60°，
∴∠ 2＋∠ 3＝ 120°，∴∠ 1＝∠ 3.同理∠ 3＝∠ 4，易证△ ADF ≌△ BED≌△ CFE(AAS) ，∴ AD ＝BE
＝CF.(9 分)
2 3．解： (1) 如图①，过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C.∵△ AOB 为等边三角形，且 OA＝2，∴∠ AOB
1
2
＝6 0°，OB＝OA ＝2，∴∠ BOC＝30°.(2 分)又∵∠ OCB＝90°，∴ BC＝ OB 1 OC 3
＝ ， ＝ ，∴点
B
的坐标为 ( 3，1)．(4 分 )
(2)∠ABQ＝ 90°，始终不变． (5 分)理由如下：∵△ APQ，△AOB 均为等边三角形，∴ AP＝AQ，
AP＝AQ，
∠PAO＝∠ QAB，
AO＝AB，
AO＝ AB，∠ PAQ＝∠ OAB ，∴∠ PAO＝∠ QAB.(6 分)在△ APO 与△ AQB 中，
∴△ APO≌△ AQB(SAS) ，∴∠ ABQ＝∠ AOP ＝90°.(8 分)
(3)当点 P 在 x 轴负半轴上时， 点 Q 在点 B 的下方， 如图② .∵AB∥OQ，∠ABQ＝90°，∴ ∠ BQO
＝9 0°，∠ BOQ＝∠ ABO＝ 60°.又∵ OB＝OA＝2，∴ BQ＝ 3，(10 分)由(2)可知，△ APO≌△ AQB，
∴OP＝BQ＝ 3，∴此时点 P 的坐标为 (－ 3，0)．(12 分)