甘肃省天水市二中高三数学高考预测试题(解析版)-新人教A版.doc

甘肃省天水市二中2012届高考数学预测试题
一、选择题
1．（理）设集合，，则等于 （ ）
A．R B．
C． D．
【答案】B【解析】依题意得，，所以，故，因此选B．
（文）设集合，，则等于 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】依题意得，，所以，故，因此选B．
2．若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】∵,且，∴，因此选A．
3．在复平面内，复数表示的点所在的象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A【解析】
，复数z表示的点的坐标为，位于第一象限，故选A．
4．函数的反函数是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由，得，所以，又函数的值域为，所以反函数是．
5．（理）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B【解析】∵，
∴，
∴由题意知2n－3k＝0，即，∵n∈N+，k∈N，∴n的最小值为3．
（文）在的展开式中，常数项为 （ ）
A． B．5376 C． D．84
【答案】C【解析】在的展开式中，常数项是，选C．
6．（理）设数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，且、、成等比数列，则等于 （ ）
A．6 B．3 C．4 D．7
【答案】D【解析】设等差数列的首项为，公差，因为、、成等比数列，所以，即，解得，因此，故选D．
（文）设是等差数列，，则这个数列的前5和等于（ ）
A．12 B．20 C．36 D．48
【答案】B【解析】由等差数列中，∴这个数列的前5项和 ，选B．
7．（理）已知点和圆上一动点，动点满足，则点的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】设，，由，则，即，所以，又点在圆上，所以，即，化简得，故选C
（文）已知点和圆上一动点，则AP的中点的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】设，，由是AP的中点，得，所以，，又点在圆上，所以，即，化简得，故选C
8．如果点P在平面区域上，点Q在曲线（x－1）2＋(y－1)2＝1上，那么|PQ|的最小值为 （ ）
A．－1 B． C． D．－1
【答案】C【解析】作出可行域如图所示．|PQ|的最小值为圆心(1,1)到可行域内点的距离的最小值减去圆的半径1，根据图象可知|PQ|的最小值为圆心(1,1)到直线的距离减去圆的半径1，即|PQ|的最小值为．

9．复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】解法一：．
解法二：．选C．
10．命题“存在，使”的否定为 （ ）
A．任意，使
B．任意，使
C．存在，使
D．存在，使
【押题理由】特称命题与全称命题的否定一直是高考的热点．
【答案】B【解析】给出的命题为特称命题，因为特称命题的否定为全程命题，所以其否定为“任意，”，选B．
11．函数的零点个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【押题理由】函数的零点问题一直是考试的重点内容之一，与函数的图象与性质紧密结合，导数是解决此类问题的有效方法，高考必定有所体现．
【答案】A【解析】本题考查函数的零点以及导数的应用．，由，解得（另一负根舍去），易知在处取得极小值，也就是最小值，即，所以无零点．
12．程序框图如下：

如果上述程序运行的结果S的值比2013小，若使输出的S最大，那么判断框中应填入 （ ）
A． B． C． D．
【猜题理由】程序框图是高考的必考题型，其中很多省份均是以数列为背景和题材进行设计，故2012年这种命题方式有很大的可能出现．
【答案】C【解析】第一次循环时S=1×12=12，K=12-1=11；第二次循环时，S=12×11=132，K=11-1=10；第三次循环时，S=132×10=1320，K=10-1=9；若再循环一次，显然S>2013，不符合题意，故应循环了三次，因此，循环三次后必须终止，所以判断框中应填入的为“”．
13．下图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是 （ ）

A． B．
C． D．
【押题理由】三视图是高考的一个热点，课表地区年年考查，一般有两种方式：一是给出三视图，求原几何体的体积或表面积，兼顾了相关公式的考查，力度较大；二是，给出某种视图，选择可能的另外的某种视图．2012年这两种题型将会出现．
【答案】B【解析】由三视图不难看到，几何体为正三棱柱与半个球的组合体，根据等边三角形的内切圆的半径是1，易得底面正三角形的边长为，故．
14．已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与圆相切于点A，并与椭圆C交与不同的两点P，Q，如图，若A为线段PQ的靠近P的三等分点，则椭圆的离心率为 （ ）

A． B． C． D．
【猜题理由】离心率问题是解析几何的重点内容，各省考查频率相当高，往往融椭圆、双曲线的定义与平面几何的性质与一体，能够较好的考查学生的思维层次，备受命题专家的青睐．此题结合圆、椭圆、切线等知识，含金量高．
【答案】C【解析】连结，则，因为A为线段PQ的靠近P的三等分点，所以A为线段PA的中点，于是．结合椭圆的定义有，在直角三角形中，利用勾股定理得，将代入，整理可得，于是．
15．用表示两个实数中的最小值．已知函数，若函数至少有3个零点，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
【押题理由】本题考查对数函数和绝对值函数的图像、图像的平移、函数的零点等重点知识，又涉及新定义问题，函数的零点是高考中经常出现的一类问题，各地出现的机会较大，也有可能以方程的根或图像的交点的形式出现，实质是一样的，另外，极有可能结合三大性质：周期性、对称性、奇偶性来综合命制，难度较大，值得重视．
【答案】C【解析】因为，所以函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到．因为函数至少有3个零点，所以方程至少有三个根，结合图象（如右图）可知至少过点（2,1），所以，解得，即向右至少平移个单位长度，所以的最小值为．
本题易错的地方有两个，一是不能理解的含义，对不知所措；二是对于的关系不能作直观（平移）和深刻（过定点（1,2）的分析．此题的关键是数形结合，图像要画准确．

二、填空题
16．已知平行四边形ABCD，点E、F分别为边BC、CD上的中点，若，则 ．
【押题理由】高考向量的考查主要体现在两个方面：一是结合平面图形（如三角形、四边形等），考查向量的线性运算，其中三角形与平行四边形法则是重点；二是对于数量积的考查．2012年新课标省份这两种命题形式必定会出现．
【答案】4【解析】设，则，．又，所以，
即，所以可得，解得．故．
17．在△ABC中，D为AB上任一点，h为AB边上的高，△ADC、△BDC、△ABC的内切圆半径分别为，则有如下的等式恒成立：．在三棱锥P-ABC中D位AB上任一点，h为过点P的三棱锥的高，三棱锥P-ADC、P-BDC、P-ABC的内切球的半径分别为，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为 ．
【答案】【解析】本题是根据三角形类比三棱锥，显然给出的半径是一致的，均为，不同的是分子，而不再是线段了，二维是线段，三维应该是面积，故把等式中的线段替换成相对应的面积即可，于是得到．
18．已知函数，函数的零点，则n= ．
【答案】2【解析】设，，使得函数，在同一坐标系画出函数的图像，图像的交点横坐标就是函数的零点。
19．如图1，在圆O中，O为圆心，AB为圆的一条弦，AB=4，则 ．
【答案】8A
B
O
图2
D
A
B
O
图1
【解析】如图2，过O作OD⊥AB于D，
．

A
B
O
D
C
20．如图，△ABC是圆内接三角形，圆心O在BC上，若AB=6，BD=3.6，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆子落在△ABD内”，则P（M）= ，P（N|M）= ．

【答案】；【解析】由射影定理，得AB2=BD·BC，得BC=10，AC=8，AD=4.8，所以，
故；．
三、解答题
21．定义：已知函数与，若存在一条直线，使得对公共定义域内的任意实数均满足恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线为曲线与的“左同旁切线”．已知．
（1）试探求与是否存在“左同旁切线”，若存在，请求出左同旁切线方程；若不存在，请说明理由．
（2）设是函数图象上任意两点，，且存在实数，使得，证明：．
【解析】（1）由题意知与有公共点，令其为，则，，即，解得．所以在公共点处的切线方程为．下证就是左同旁切线方程，即证．（2分）
先构造函数，则，易知在处取得最大值，所以，即．（4分）
再构造函数，则，易知在处取得最小值，所以，即．
故对任意，恒有成立，即就是左同旁切线方程．（6分）
（2）因为，所以，所以．
解法一：（作差法，利用（1）的结论）
因为，
，
所以．（12分）
解法二：（反证法，利用（1）的结论）令，
则，
显然自相矛盾，故；同理可证．故．（12分）
22．已知函数，．
（1）若函数，求函数的单调区间；
（2）设直线为函数的图象上一点处的切线．证明：在区间上存在唯一的，使得直线l与曲线相切．
【解析】（1），
．
∵且，∴
∴函数的单调递增区间为．
（2）∵，∴，
∴切线的方程为,
即, ①
设直线与曲线相切于点，∵，∴，∴．∴直线也为，
即， ②
由①②得，∴．
下证：在区间（1，+）上存在且唯一．
由（1）可知，在区间上递增．
又，，
结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．故结论成立．
23．（本题满分12分）已知函数=（）．
（1）当=－1时，求的单调区间；
（2）当时，≥0，求实数的取值范围．（适合全国课标第21题）
【猜题理由】①全国课标卷理科第21题重点考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值及利用之研究函数恒成立问题，重点考查分类讨论思想；
②全国课标卷理科第21题从2007年至今一直考查导数的应用，特别是恒成立问题和分类整合思想，今年将继续考查这一题型；
③全国课标卷理科第21题从2007年至今都是以对数函数或指数函数为题材考查导数的应用；
【解析】（1）当=－1时，=，定义域为（，+∞），==，当＜＜0或＞时，＞0；当0＜＜时，＜0，∴的单调增区间为，，），单调减区间为[0，]；（4分）
（2）=，定义域为（，+∞），
==，（6分）
当≥时，，当≥0时，≥0，
∴在[0,+∞）是增函数，∴当≥0时，≥=0，（8分）
当＜时，＞0，当0＜＜时，＜0，
∴在[0，]上是减函数，
∴当0≤≤时，≤=0，不适合，（11分）
∴满足条件的的取值范围为[,+∞）．（12分）
24．已知函数．
（1）求过函数图象上最高点的对称轴方程；
（2）当时，判断在函数的切线中是否存在互相垂直的两条切线，若存在，请求出这对切点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为

令可得，
所以．（5分）
（2）由可得
．，所以，可得，由于，所以函数的切线中存在互相垂直的两条切线，且它们的斜率分别为，令和，可得切点坐标分别为，．（10分）
25．已知函数，（其中），其部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）已知横坐标分别为、、的三点、、都在函数的图像上，求的值．

【解析】（1）由图可知， 最小正周期 所以．
又 ，且，
所以，．所以．
（2）解法一：因为
所以，，
从而．
由得．
解法二：因为，
，所以，
，
，
则．
由得．

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