《正方形的性质与判定》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】(第2课时).docx

第一章 特殊的平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
第 2 课时 教学设计
一、教学目标
1．探索并证明正方形的判定定理，进一步发展推理能力．
2．体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．
二、教学重点及难点
重点：探索并证明正方形的判定定理．
难点：学会并积累一些分析问题的思路和解题的方法．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板、长方形折纸.
四、相关资源
《正方形的判定和性质》微课，《正方形的判定》图片.
五、教学过程
【情境导入】
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样剪才能剪出一个正方形？
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题．
答：只要确保剪口线与折痕成 45°角即可剪出一个正方形。
设计意图：从生活中的图片入手引出本节课要探究的内容，激发学生学习本节课的兴
趣．
【探究新知】
议一议：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结
论，并与同学交流。
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同总结出判定一个四边
形是正方形的基本方法．
（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边

形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；
（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
（3）先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形．
老师强调：后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理．矩形和菱形的判定定理是判定
正方形的基础．这三个方法还可写成：
（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线垂直的矩形是正方形；
（4）有一个角是直角的菱形是正方形；
（5）对角线相等的菱形是正方形．
证明：
（2）已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，且 AB=AD．
求证：四边形 ABCD 是正方形．
A
D
B
C
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=90°．
又∵AB=AD，
∴四边形 ABCD 是正方形．
（3）已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，AC，BD 是对角线，且 AC⊥BD．
求证：四边形 ABCD 是正方形．

D
C
O
A
B
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC=BD，OD=OB，∠DAB=90°．
又∵AC⊥BD，OA=OA
∴∠DOA=∠BOA=90°．
∴△ABD≌△BAC（SAS）．
∴AD=AB
∴四边形 ABCD 是正方形．
（4）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，∠A=90°．
求证：四边形 ABCD 是正方形．
A
D
B
C
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD．
又∵∠A=90°．
∴四边形 ABCD 是正方形．
（5）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，AC，BD 是对角线，且 AC=BD．
求证：四边形 ABCD 是正方形．

D
C
A
B
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=BC．
又∵AB=BA，BD=AC，
∴△ABD≌△BAC（SSS）．
∴∠DAB=∠CBA．
又∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°．
∴∠DAB=∠CBA=90°．
∴四边形 ABCD 是正方形．
设计意图：引导学生讨论正方形的判定方法，重点并不在于得到几条判定定理，而是
要形成判定正方形的基本思路：一个四边形既是矩形又是菱形，这个四边形就是正方形。
采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．
做一做
我们知道，任意画一个四边形，以四边中点为顶点可以组成一个平行四边形。那么，任
意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明。
答：正方形。可以证明中点四边形的四边相等，角为直角。
设计意图：通过研究中点四边形的问题，综合应用菱形、矩形、正方形的性质定理和
判定定理。在此基础上，引导学生类比地提出问题，即“议一议”的问题，以发展学生发
现问题、提出问题的能力。
议一议
（1）以菱形或矩形各边中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明。如果
以平行四边形各边的中点为顶点呢？
（2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的
关系？

答：（1）矩形，菱形，平行四边形。
（2）新四边形的形状与原四边形的两条对角线有关。当原四边形的两条对角线互相垂
直时，新四边形是矩形；当原四边形的两条对角线相等时，新四边形是菱形；当原四边形的
两条对角线互相垂直且相等时，新四边形是正方形。
设计意图：利用类比的方法分别提出了以菱形、矩形以及平行四边形各边中点为顶点
所组成的图形的形状问题，除了让学生猜测、证明外，还希望学生能进一步分析、概括得
到一个一般性的结论：所得的四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量
关系。
【典例精析】
例
已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF
∥BE．求证：四边形 BECF 是正方形．
师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成证明过程．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形 BECF 是平行四边形．
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°．
又∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，
1
1
∴∠EBC= ∠ABC=45°，∠ECB= ∠DCB=45°．
2
2
∴∠EBC=∠ECB．∴EB=EC．∴□BECF 是菱形（菱形的定义）．
在△EBC 中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°．
∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
设计意图：教学中要给学生充分思考、交流的时间，明确思路，在此基础上再进行证
明。培养学生应用所学知识解决问题的能力．
【课堂练习】
1．下列判断正确的是（
）．
A．四条边相等的四边形是正方形

B．四个角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
2．如图，已知菱形 ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周
长为（
A．14
）．
B．15
C．16
D．17
3．如图，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过此正方形的顶点 B，D 作 BF⊥a
于点 F，DE⊥a 于点 E．若 DE=8，BF=5，则 EF 的长是______．
4．如图，正方形 ABCD 中，AB=4，点 E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点，
则 PE+PB 的最小值为______．
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∠BAC， ∠ABC 的平分线相交于点 D，且 DE⊥BC
于点 E，DF⊥AC 于点 F，那么四边形 CEDF 是正方形吗？请说明理由．

6．如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分∠ABC，P 是 BD 上一点，过
点 P 作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为 M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形 MPND 是正方形．
参考答案
1．D．解析：选项 A 不正确，四条边相等的四边形是菱形；选项B 不正确，四个角相
等的四边形是矩形；选项 C 不正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；选项 D 正确，
由对角线互相平分，说明该四边形是平行四边形，又由对角线互相垂直且相等，说明该四边
形是正方形，故选 D．
2．C．解析：∵四边形 ABCD 为菱形，AB=4，∴AB=BC=4．∵∠ABC=60°，∴△ABC
是等边三角形．∴AB=BC=AC=4．∴正方形 ACEF 的周长为 4×4=16．故应选 C．
3．13．解析：在正方形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠FAB+∠DAE=90°．
又∵DE⊥a，∴∠EDA+∠DAE=90°．∴∠FAB=∠EDA．
又∵∠DEA=∠AFB=90°，∴△AFB≌△DEA．∴AF=DE，BF=AE．
∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．
4． 2 5 ．解析：连接 DE，交 AC 于点 P，连接 BD．
∵点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，∴DE 的长就为 PE+PB 的最小值．
∵DC=BC=AB=4，点 E 是 BC 的中点，∴CE=2．
在 Rt△CDE 中，
CD2 CE2
= 4 + 2 = 2 5 ．
DE
=
+
2
2
5．解：四边形 CEDF 是正方形．
理由如下：如图，作 DG⊥AB 于点 G．

G
∵AD 平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF=DG．
同理可得 DG=DE．∴DF=DE．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C=90°，
∴四边形 CEDF 是矩形．
∵DF=DE，
∴四边形 CEDF 是正方形．
6．证明：（1）∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．
又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD．
∴∠ADB=∠CDB．
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°．
又∵∠ADC=90°，∴四边形 MPND 是矩形．
∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
∴四边形 MPND 是正方形．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
本节课我们探讨了正方形的判定方法，下面我们来共同总结一下：
1．正方形的判定方法：
（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线垂直的矩形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形；

（5）有一个角是直角的菱形是正方形．
正方形判定的基本思路：先判定四边形是矩形或是菱形，再根据判定方法判定该四边形
是正方形．
2．中点四边形
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
1.3 正方形的性质与判定（2）
1．正方形的判定方法：
2．中点四边形

G
∵AD 平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF=DG．
同理可得 DG=DE．∴DF=DE．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C=90°，
∴四边形 CEDF 是矩形．
∵DF=DE，
∴四边形 CEDF 是正方形．
6．证明：（1）∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．
又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD．
∴∠ADB=∠CDB．
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°．
又∵∠ADC=90°，∴四边形 MPND 是矩形．
∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
∴四边形 MPND 是正方形．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
本节课我们探讨了正方形的判定方法，下面我们来共同总结一下：
1．正方形的判定方法：
（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线垂直的矩形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形；

（5）有一个角是直角的菱形是正方形．
正方形判定的基本思路：先判定四边形是矩形或是菱形，再根据判定方法判定该四边形
是正方形．
2．中点四边形
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
1.3 正方形的性质与判定（2）
1．正方形的判定方法：
2．中点四边形