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高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（5 分）将命题“x +y ≥2xy”改写成全称命题为（
2
）
2
A．对任意 x，y∈R，都有 x +y ≥2xy 成立
2
2
B．存在 x，y∈R，使 x +y ≥2xy 成立
2
2
C．对任意 x＞0，y＞0，都有 x +y ≥2xy 成立
2
2
D．存在 x＜0，y＜0，使 x +y ≤2xy 成立
2
2
2．（5 分）过点 M（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率为﹣ ，则 a 等于（
A．﹣8 B．10 C．2 D．4
3．（5 分）方程 x +y +2x+4y+1=0 表示的圆的圆心为（
）
）
2
2
A．（2，4）
B．（﹣2，﹣4）
C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
4．（5 分）命题 p：“x ﹣3x﹣4=0”，命题 q：“x=4”，则 p 是 q 的（
2
）条件．
A．充分不必要 条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）给出下列结论：
①若 y= ，则 y′=﹣ ；
②若 f（x）=sinα，则 f′（x）=cosα；
③若 f（x）=3x，则 f′（1）=3．
其中，正确的个数是（
）
A．0 个 B．1 个
C．2 个
D．3 个
6．（5 分）函数 f（x）=1+3x﹣x （
3
）
A．有极小值，无极大值
C．无极小值，无极大值
B．无极小值，有极大值
D．有极小值，有极大值

7．（5分）到直线 x=﹣2与到定点 P（2，0）的距离相等的点的轨迹是（
）
A．椭圆
B．圆
C．抛物线
D．直线
8．（5分）抛物线 x=﹣2y 的准线方程是（
2
）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）若双曲线 ﹣ =1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）设椭圆 + =1与双曲线 ﹣y=1有公共焦点为 F，F，P是两条曲线的一个公
2
1
2
共点，则 cos∠FPF 的值等于（
2
）
1
A．
B．
C．
D．
11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．
B．2π
C．
D．
12．（5 分）对二次函数 f（x）=ax +bx+c（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其
2
中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（
A．﹣1是 f（x）的零点
）
B．1是 f（x）的极值点
C．3是 f（x）的极值
D．点（2，8）在曲线 y=f（x）上

二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中的横线上）
13．（5 分）在空间直角坐标系中，若点点 B（﹣3，﹣1，4），A（1，2，﹣1），则|AB|=
．
14．（5 分）函数 f（x）=x ﹣8x +13x﹣6 的单调减区间为
2
．
3
15．（5 分）设双曲线 C 的两个焦点为（﹣ ，0），（ ，0），一个顶点是（1，0），则 C 的方
程为 ．
16．（5 分）如图，正方体 ABCD﹣A B C D 中，M、N 分别为棱 C D 、C C 的中点，有以下四个结
1
1
1
1
1
1
1
论：
①直线 AM 与 CC 是相交直线；
1
②直线 AM 与 BN 是平行直线；
③直线 BN 与 MB 是异面直线；
1
④直线 AM 与 DD 是异面直线．
1
其中正确的结论为
（注：把你认为正确的结论的序号都填上）．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（11 分）已知集合 A={x|1＜x＜3}，集合 B={x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）当 m=﹣1 时，求 A∪B；
（2）若 A B，求实数 m 的取值范围．
18．（11 分）求适合下列条件的圆的方程．
（1）圆心在直线 y=﹣4x 上，且与直线 l：x+y﹣1=0 相切于点 P（3，﹣2）；
（2）过三点 A（1，12），B（7，10），C（﹣9，2）．
19．（12 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD
上的一点，将△ADE 沿 DE 折起到△A DE 的位置，使 A F⊥CD，如图 2．
1
1

（Ⅰ）求证：DE∥平面 A CB；
1
（Ⅱ）求证：AF⊥BE．
1
20．（12分）已知椭圆 C： +y =1，椭圆 C 以 C 的长轴为短轴，且与 C 有相同的离心率．
2
1
2
1
1
（1）求椭圆 C 的方程；
2
（2）设 O为坐标原点，点 A，B分别在椭圆 C 和 C 上， =2 ，求直线 AB的方程．
2
1
21．（12 分）已知函数 f（x）=
为常数，e 是自然对数的底数），曲线 y=f（x）在点
（1，f（1））处的切线与 x轴平行．
（1）求 k的值；
（2）求 f（x）的单调区间．
22．（12分）已知点 A（﹣2，0），B（2，0），曲线 C上的动点 P满足
（I）求曲线 C的方程；
=﹣3．
（Ⅱ）若过定点 M（0，﹣2）的直线 l与曲线 C有公共点，求直线 l的斜率 k的取值范围；
（Ⅲ）若动点 Q（x，y）在曲线上，求 u= 的取值范围．

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．【分析】直接把命题改写成含有全称量词的命题即可．
【解答】解：命题“x +y≥2xy”是指对任意 x，y∈R，都有 x+y≥2xy成立，
2
2
2
2
故命题“x +y≥2xy”改写成全称命题为：对任意 x，y∈R，都有 x+y≥2xy成立．
2
2
2
2
故选：A．
【点评】本题考查全称量词及全称命题，理解全称命题的定义及形式是解决问题的关键，是
基础题．
2．【分析】直接利用斜率公式求解即可．
【解答】解：过点 M（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率为﹣ ，
∴
，
解得 a=10．
故选：B．
【点评】本题考查直线的斜率公式的求法，基本知识的考查．
3．【分析】把圆的一般方程化为圆的标准方程，可得圆心坐标．
【解答】解：圆的方程 x +y +2x+4y+1=0，即（x+1）+（y+2） =4，故圆的圆心为（﹣1，﹣2），
2
2
2
2
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．
4．【分析】根据题意，求出方程 x﹣3x﹣4=0 的根，分析可得若 q：x=4 成立，则有 p：“x2
2
﹣3x﹣4=0”成立，反之若 p：“x ﹣3x﹣4=0”成立，则 q：x=4不一定成立，结合充分必
2
要条件的定义，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，p：“x ﹣3x﹣4=0”，即 x=4或﹣1，
2
则有若 q：x=4成立，则有 p：“x ﹣3x﹣4=0”成立，
2

反之若 p：“x ﹣3x﹣4=0”成立，则 q：x=4不一定成立，
2
则 p是 q的必要不充分条件；
故选：B．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，关键是掌握充分必要条件的定义．
5．【分析】根据题意，依次计算三个函数的导数，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析 3个结论；
对于①，y= =x ，则 y′=（﹣3）x =
﹣3 ﹣4
，正确；
对于②，f（x）=sinα，为常数，则 f′（x）=0，错误；
对于③，若 f（x）=3x，则 f′（x）=3，则 f′（1）=3，正确；
其中正确的有 2个；
故选：C．
【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．
6．【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可．
【解答】解：f′（x）=3（1+x）（1﹣x），
令 f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，
令 f′（x）＜0，解得：x＞1或 x＜﹣1，
故 f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，1）递增，在（1，+∞）递减，
故函数 f（x）即有极大值也有极小值，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
7．【分析】确定 M的轨迹是以点 P为焦点，直线 l为准线的抛物线，即可得出结论．
【解答】解：动点 M到定点 P（2，0）的距离与到定直线 l：x=﹣2的距离相等，
所以 M的轨迹是以点 P为焦点，直线 l为准线的抛物线，
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．
8．【分析】由于抛物线 y=﹣2px（p＞0）的准线方程为 x= ，则抛物线 x=﹣2y 即 y=﹣ x
2
2
2

的准线方程即可得到．
【解答】解：由于抛物线 y=﹣2px（p＞0）的准线方程为 x= ，
2
则抛物线 x=﹣2y 即 y=﹣ x的准线方程为 x= ，
2
2
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．
9．【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到 a、b关系式，然后求出双曲线的离心率
即可．
【解答】解：双曲线 ﹣ =1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得 3b=4a，即 9（c﹣a）
2
2
=16a，
2
解得 = ．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．
10．【分析】先求出公共焦点分别为 F，F，再联立方程组求出 P，由此可以求出
2
，
1
cos∠FPF=
2
1
【解答】解：由题意知 F（﹣2，0），F（2，0），
2
1
解方程 组
得
取 P 点 坐标为 （
），
，
cos∠FPF=
2
=
1
故选：B．
【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．

11．【分析】由已知中几何体的三视图，我们可以判断出几何体的形状及底面直径，母线长，
进而求出底面半径和高后，代入圆锥体积公式进行计算，此图圆锥下面放一个半球，把二
者的体积进行相加即可；
【解答】解：如图所示：俯视图为一个圆，说明图形底面是一个圆，再根据正视图和俯视图
一样，
可知上面是一个圆锥，高为 2，直径为 2，下面是一个半径为 1 的半球，
可得该几何体的体积是 V +V = ×π×1 ×2+
2
=
，
圆锥
半球
故选：A．
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查球和圆锥的体
积，本题是一个基础题，运算量比较小．
12．【分析】可采取排除法．分别考虑 A，B，C，D 中有一个错误，通过解方程求得 a，判断是
否为非零整数，即可得到结论．
【解答】解：可采取排除法．
若 A 错，则 B，C，D 正确．即有 f（x）=ax +bx+c 的导数为 f′（x）=2ax+b，
2
即有 f′（1）=0，即 2a+b=0，①又 f（1）=3，即 a+b+c=3②，
又 f（2）=8，即 4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合 a 为非零整数．
若 B 错，则 A，C，D 正确，则有 a﹣b+c=0，且 4a+2b+c=8，且
=3，解得 a∈ ，不成
立；
若 C 错，则 A，B，D 正确，则有 a﹣b+c=0，且 2a+b=0，且 4a+2b+c=8，解得 a=﹣ 不为非零
整数，不成立；
若 D 错，则 A，B，C 正确，则有 a﹣b+c=0，且 2a+b=0，且
=3，解得 a=﹣ 不为非零
整数，不成立．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，
属于中档题．

二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中的横线上）
13．【分析】根据空间直角坐标系中两点间的距离公式求出|AB|．
【解答】解：空间直角坐标系中，点 B（﹣3，﹣1，4），A（1，2，﹣1），
则|AB|=
=5 ．
故答案为：5 ．
【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式应用问题，是基础题．
14．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：f′（x）=3x ﹣16x+13=（x﹣1）（3x﹣13），
2
令 f′（x）＜0，解得：1＜x＜ ，
故函数的递减区间是：（1， ），
故答案为：（1， ）．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
15．【分析】利用双曲线 C 的两个焦点为（﹣ ，0），（ ，0），一个顶点是（1，0），可得
c= ，a=1，进而求出 b，即可得出双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线 C 的两个焦点为（﹣ ，0），（ ，0），一个顶点是（1，0），
∴c= ，a=1，
∴b=1，
∴C 的方程为 x ﹣y =1．
2
2
故答案为：x ﹣y =1．
2
2
【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
16．【分析】根据正方体的几何特征，结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两
条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直
线．
【解答】解：∵A、M、C、C 四点不共面
1
∴直线 AM 与 CC 是异面直线，故①错误；
1

同理，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故②错误．
同理，直线 BN 与 MB 是异面直线，故③正确；
1
同理，直线 AM 与 DD 是异面直线，故④正确；
1
故答案为：③④
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系判断，其中判断两条线段的
四个顶点是否共面，进而得到答案，是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）根据并集的定义即可求出，
（2）由题意可知
，解得即可．
【解答】解：（1）当 m=﹣1 时，B={x|﹣2＜x＜2}，
A∪B={x|﹣2＜x＜3}．
（2）由 A B，知
，解得 m≤﹣2，
即实数 m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查并集的法，考查实数的取值范围的求法，考查并集及其运算、集合的包含
关系判断及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．【分析】（1）设圆的标准方程为（x﹣a）+（y﹣b）=r ，由已知可得
2
，
2
2
求解方程组得到 a，b，r 的值，则圆的方程可求；
（2）设圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0（D +E ﹣4F＞0），由已知列关于 D，E，F 的方程组，
2
2
2
2
求解得答案．
【解答】解：（1）设圆的标准方程为（x﹣a） +（y﹣b） =r ，
2
2
2

则有
，
解得 a=1，b=﹣4，r=2 ．
∴圆的方程为（x﹣1） +（y+4） =8；
2
2
（2）设圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0（D +E ﹣4F＞0），
2
2
2
2
则
，
解得 D=﹣2，E=﹣4，F=﹣95．
∴所求圆的方程为 x +y ﹣2x﹣4y﹣95=0．
2
2
【点评】本题考查利用待定系数法求圆的方程，考查计算能力，是基础题．
19．【分析】（Ⅰ）由 D，E 分别是 AC，AB 上的中点，结合中位线定理和线面平行的判定定理
可得结论；
（Ⅱ）由已知易得对折后 DE⊥平面 A DC，即 DE⊥A F，结合 A F⊥CD 可证得 A F⊥平面 BCDE，
1
1
1
1
再由线面垂直的性质可得结论．
【解答】证明：（Ⅰ）∵D，E 分别为 AC，AB 的中点，∴DE∥BC，
∵DE 平面 A CB，BC⊂ 平面 A CB，
1
1
∴DE∥平面 A CB，
1
（Ⅱ）由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC，
∴DE⊥AC，∴DE⊥A D，
1
又 DE⊥CD，A D∩CD=D
1
∴DE⊥平面 A DC，
1
∵A F⊂ 平面 A DC，
1
1
∴DE⊥A F，
1
又∵A F⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE⊂ 平面 BCDE；
1
∴A F⊥平面 BCDE
1
又∵BE⊂ 平面 BCDE

∴AF⊥BE．
1
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析
推理证明与逻辑思维能力，其中熟练掌握空间线面关系的判定及性质，会将空间问题转化
为平面问题是解答本题的关键．
20．【分析】（1）求出椭圆
的长轴长，离心率，根据椭圆C 以 C 的长轴为短轴，
1
2
且与 C 有相同的离心率，即可确定椭圆 C 的方程；
2
1
（2）设 A，B的坐标分别为（x，y），（x，y），根据
B
，可设 AB的方程为 y=kx，分别
，即可求得直线 AB的方程．
A
A
B
与椭圆 C 和 C 联立，求出 A，B的横坐标，利用
2
1
【解答】解：（1）椭圆
的长轴长为 4，离心率为
∵椭圆 C 以 C 的长轴为短轴，且与 C 有相同的离心率
1
2
1
∴椭圆 C 的焦点在 y轴上，2b=4，为
2
∴b=2，a=4
∴椭圆 C 的方程为
2
；
（2）设 A，B的坐标分别为（x，y），（x，y），
B
A
A
B
∵
∴O，A，B三点共线，
当斜率不存在时， =2 不成立，∴点 A，B不在 y轴上
当斜率存在时，设 AB的方程为 y=kx
将 y=kx代入
将 y=kx代入
，消元可得（1+4k）x =4，∴
2 2
，消元可得（4+k）x =16，∴
2
2
∵
∴
，∴ =4
，
，解得 k=±1，
∴AB的方程为 y=±x

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几
何量关系，联立方程组求解．
21．【分析】（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与 x 轴平行，说明 f′
（1）=0，则 k 值可求；
（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于 0 求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号
求函数 f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）由题意得
，
又
，故 k=1；
（2）由（1）知，
，
设
，则 h′（x）=﹣ ﹣ ＜0，
即 h（x）在（0，+∞）上是减函数，
由 h（1）=0 知，当 0＜x＜1 时，h（x）＞0，
从而当 x＞1 时，h（x）＜0，从而 f'（x）＜0，
综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方
程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握
不等式恒成立时所取的条件．
22．【分析】（I）设 P（x，y），运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到曲线 C 的方程；
（Ⅱ）可设直线 l：y=kx﹣2，运用直线和圆有公共点的条件：d≤r，运用点到直线的距离公
式，解不等式即可得到取值范围；
（Ⅲ）由动点 Q（x，y），设定点 N（1，﹣2），u=
和圆相交的条件 d≤r，解不等式即可得到范围．
的几何意义是直线 QN 的斜率，再由直线
【解答】解：（I）设 P（x，y），
=（x+2，y）（x﹣2，y）=x ﹣4+y =﹣3，
2 2
即有 x +y =1，P 点的轨迹为圆 C：x +y =1；
2
2
2
2

（Ⅱ）可设直线 l：y=kx﹣2，即为 kx﹣y﹣2=0，当直线 l与曲线 C有交点，得，
，解得，k 或 k ．
即有直线 l的斜率 k的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）；
（Ⅲ）由动点 Q（x，y），设定点 N（1，﹣2），则直线 QN的斜率为 k= =u，
又 Q在曲线 C上，故直线 QN与圆有交点，
由于直线 QN方程为 y+2=k（x﹣1）即为 kx﹣y﹣k﹣2=0，
当直线和圆相切时，
=1，解得，k=﹣ ，
当 k不存在时，直线和圆相切，
则 k的取值范围是（﹣∞，﹣ ]
【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查直线和圆的位置关系，考查直线斜率
的公式的运用，考查运算能力，属于中档题．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几
何量关系，联立方程组求解．
21．【分析】（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与 x 轴平行，说明 f′
（1）=0，则 k 值可求；
（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于 0 求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号
求函数 f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）由题意得
，
又
，故 k=1；
（2）由（1）知，
，
设
，则 h′（x）=﹣ ﹣ ＜0，
即 h（x）在（0，+∞）上是减函数，
由 h（1）=0 知，当 0＜x＜1 时，h（x）＞0，
从而当 x＞1 时，h（x）＜0，从而 f'（x）＜0，
综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方
程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握
不等式恒成立时所取的条件．
22．【分析】（I）设 P（x，y），运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到曲线 C 的方程；
（Ⅱ）可设直线 l：y=kx﹣2，运用直线和圆有公共点的条件：d≤r，运用点到直线的距离公
式，解不等式即可得到取值范围；
（Ⅲ）由动点 Q（x，y），设定点 N（1，﹣2），u=
和圆相交的条件 d≤r，解不等式即可得到范围．
的几何意义是直线 QN 的斜率，再由直线
【解答】解：（I）设 P（x，y），
=（x+2，y）（x﹣2，y）=x ﹣4+y =﹣3，
2 2
即有 x +y =1，P 点的轨迹为圆 C：x +y =1；
2
2
2
2

（Ⅱ）可设直线 l：y=kx﹣2，即为 kx﹣y﹣2=0，当直线 l与曲线 C有交点，得，
，解得，k 或 k ．
即有直线 l的斜率 k的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）；
（Ⅲ）由动点 Q（x，y），设定点 N（1，﹣2），则直线 QN的斜率为 k= =u，
又 Q在曲线 C上，故直线 QN与圆有交点，
由于直线 QN方程为 y+2=k（x﹣1）即为 kx﹣y﹣k﹣2=0，
当直线和圆相切时，
=1，解得，k=﹣ ，
当 k不存在时，直线和圆相切，
则 k的取值范围是（﹣∞，﹣ ]
【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查直线和圆的位置关系，考查直线斜率
的公式的运用，考查运算能力，属于中档题．