专题02-常用逻辑用语(解析版)-2022年高一数学寒假作业精讲精练(新人教A版2019).docx

2022年高一数学寒假作业精讲精练（新人教A版）
专题02常用逻辑用语
考点及要求
考点:命题,全称量词命题与存在量词命题的否定、充分条件,必要条件.
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
2.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对特称命题进行否定.
3.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件是结论成立的部分条件:充分条件成立的命题就是真命题,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒p
p是q的必要不充分条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒q且q⇒p

2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语"所有的"、"任意一个"等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”，“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.
3.全称命题和特称命题(命题p的否定记为¬p,读作“非p”.

全称命题
特称命题

结构
对M中的任意一个x，有p（x）成立
存在 M 中的一个 x0, 使 p x0 成立
简记

∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,px0
否定

∃x0∈M,¬px0
∀x∈M,¬p(x)

微点提醒
1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.
2.A是B的充分不必要条件⇔¬B是¬A的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.
强化训练

1．命题：∀x∈Z,2x∈Z的否定为（ ）
A．∀x∈Z,2x∉Z B．∃x∈Z,2x∉Z C．∀x∉Z,2x∉Z D．∃x∈Z,2x∈Z
【答案】B
【解析】
命题：∀x∈Z,2x∈Z为全称量词命题，其否定为∃x∈Z,2x∉Z；
故选：B
2．“a=1”是“函数f(x)=lgx2+1-ax为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由函数f(x)=lgx2+1-ax为奇函数，即f-x=-fx，即f-x+fx=0，
可得lgx2+1+ax+lgx2+1-ax=lgx2+1-a2x2=0，
所以x2-a2x2=0，可得a=±1，
所以“a=1”是“函数f(x)=lgx2+1-ax为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知命题p：x2+x-2>0，命题q：x-1>0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
因为命题p：x>1或 x<-2，命题q：x>1，
所以p是q的必要不充分条件，
故选：B
4．设a>0且a≠1，则“函数fx=ax在R上是减函数”是“函数gx=2-ax在R上是增函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．非充分必要条件
【答案】A
【解析】
若函数fx=ax在R上是减函数，则0<a<1，
若函数g(x)=2-ax在R上是增函数，则2-a>0，又a>0且a≠1，所以0<a<2且a≠1，
因为集合(0,1)真包含于集合(0,1)⋃(1,2)
所以“函数fx=ax在R上是减函数”是“函数gx=2-ax在R上是增函数”的充分非必要条件.
故选：A
5．命题“∀x∈1,2，3x2-a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≤2 B．a≥2 C．a≤3 D．a≤4
【答案】A
【解析】
若“∀x∈1,2,3x2-a≥0为真命题，得a≤3x2对于x∈1,2恒成立，
只需a≤3x2min=3，
所以a≤2是命题“∀x∈1,2,3x2-a≥0为真命题的一个充分不必要条件，
故选：A.
6．2021年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
只有非本市户籍并在本市缴纳社保的外来务工人员就地过年，才可领取1000元疫情专项补贴，小张是该市的一名务工人员,但他可能是本市户籍或非本市户籍但在本市未缴纳社保，所以“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的必要不充分条件.
故选：B.
7．若a,b∈R，则“a<b”是“lna<lnb”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
因函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，则lna<lnb⇔0<a<b
而a,b∈R，当a<b时，a，b可能是负数或者是0，即lna或lnb可能没有意义，
所以“a<b”是“lna<lnb”的必要不充分条件.
故选：B
8．下列四个结论中正确的个数是（ ）
（1）设x<0，则4+x2x有最小值时4；
（2）若f(x+1)为R上的偶函数，则f(x)的图象关于x=1对称；
（3）命题“∃n∈N,2n>1000”的否定为：“∀n∈N,2n≤1000”；
（4）命题“已知x,y∈R，若x+y=3，则x=2且y=1”是真命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
（1）∵x<0，∴-x>0，4-x>0，∴4+x2x=x+4x=--x+4-x，
∴(-x)+4-x≥2(-x)4-x=4，当且仅当x=-2时取等号，
∴4+x2x≤-4，∴（1）错；
（2）∵函数y=f(x+1)为偶函数，∴函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称，
∵y=f(x+1)的图象是由y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的，
∴函数y=f(x)的图象关于x=1对称．∴（2）对．
（3）由命题的否定可判断正确；
（4）令x=4,y=-1，满足x+y=3与x=2且y=1矛盾，∴（4）错．
正确个数为两个.
故选：B

9．下列说法中，错误的是（ ）
A．“x，y中至少有一个小于零”是“x+y<0”的充要条件
B．已知a,b∈R，则“a2+b2=0”是“a=0且b=0”的充要条件
C．“ab≠0”是“a≠0或b≠0”的充要条件
D．若集合A是全集U的子集，则x∉∁UA⇔x∈A
【答案】AC
【解析】
对于A，当x=3，y=-2时，满足x，y中至少有一个小于零，但无法推出x+y<0，A说法错误；
对于B，若a2+b2=0，则a=b=0；若a=b=0，则a2+b2=0，即“a2+b2=0”是“a=0且b=0”的充要条件，B说法正确；
对于C，当a=0,b=1时，满足a≠0或b≠0，但此时ab=0，即无法推出ab≠0，C说法错误；
对于D，若集合A是全集U的子集，则∁UA∪A=U，即命题“x∉∁UA”与“x∈A”是等价命题，D说法正确.
故选：AC
10．下列选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：xy>0，q：x>0，y>0
B．p：A∪B=A，q：B⊆A
C．p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等
D．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分
【答案】BC
【解析】
对于A：由xy>0，得x>0，y>0或x<0，y<0，故P不是q的充要条件，故A错误；
对于B：由A∪B=A，则B⊆A，若B⊆A则A∪B=A，故P是q的充要条件，故B正确；
对于C：三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故P是q的充要条件，故C正确；
对于D：四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误；
故选：BC
11．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．a>1且b>1是ab>1的充分条件 B．“x>12”是“1x<2”的充分不必要条件
C．命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x≥1，x2≥1” D．a+b=0的充要条件是ab=-1
【答案】AB
【解析】
对于A，当a>1，b>1时，ab>1，充分性成立，A正确；
对于B，当x>12时，0<1x<2，充分性成立；当1x<2时，x>12或x<0，必要性不成立，则“x>12”是“1x<2”的充分不必要条件，B正确；
对于C，由全称命题的否定知原命题的否定为：∃x<1，x2≥1，C错误；
对于D，当a=0，b=0时，a+b=0，此时ab无意义，充分性不成立，D错误.
故选：AB.
12．下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（ ）
A．p：△ABC中，∠BAC>∠ABC，q：△ABC中，BC>AC；
B．p：a2<1， q：a<2；
C．p：ba<1，q：b<a；
D．p：m≤1，q：关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解．
【答案】AD
【解析】
对于A，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当∠BAC>∠ABC时，有BC>AC，当BC>AC时，有∠BAC>∠ABC，所以p是q的充要条件；
对于B，由a2<1，得-1<a<1，则a<2一定成立，而当a<2时，如a=-2，a2<1不成立，所以p是q的充分不必要条件；
对于C，由ba<1可知，当a>0时，b<a；当a<0时，b>a；而当b<a时，若a>0，则ba<1，若a<0，则ba>1，所以p是q的既不充分也不必要条件；
对于D，当m=0时，关于x的方程mx2+2x+1=0只有一个实根，若关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解时，则m≠0Δ=4-4m>0，得m<1且m≠0，所以p是q的必要不充分条件；
故选：AD

13．已知“∃x∈R，使得2x2+ax+12≤0”是假命题，则实数的a取值范围为________．
【答案】(-2,2)
【解析】
∵“∃x∈R，使得2x2+ax+12≤0”是假命题，
∴命题“∀x∈R，使2x2+ax+12>0”是真命题，
∴判别式Δ=a2-4×2×12<0，
∴-2<a<2.
故答案为：(-2,2)．
14．若命题p是“对所有正数x，均有x>x2+2”，则¬p是___________.
【答案】∃x>0，使得x≤x2+2
【解析】
解：根据全称命题的否定为特称命题得命题p：“对所有正数x，均有x>x2+2”的否定¬p是：存在正数x，使得x≤x2+2.
故答案为：∃x>0，使得x≤x2+2.
15．下列四个结论：①“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件；④若a，b∈R，“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．其中正确命题的序号是________．
【答案】①④
【解析】
当λ=0时，λa=0，当λa=0时，λ=0或a=0，①正确；
当△ABC中∠B=π2，则AC2=BC2+AB2，故②错误；
取a=0,b=1得到a2+b2≠0，故③错误；
若a2+b2≠0，则a，b不全为0，若a，b不全为0，则a2+b2≠0，故④正确；
故答案为：①④.
16．在复数范围内，给出下面3个命题：①a+b2=a2+2ab+b2；②已知z1、z2、z3∈C，若z2-z12+z3-z12=0，则z1=z2=z3；③z是纯虚数⇔z+z=0.其中所有假命题的序号为______.
【答案】①②③
【解析】
①：等号的左边是非负实数，而右边不一定是非负实数，如a=1，b=i，假命题.
②：取z1=0，z2=1，z3=i，则z2-z12+z3-z12=0，但z1、z2、z3互不相等，假命题.
③：当z=0时满足z+z=0，但z不是纯虚数，所以z+z=0推不出z是纯虚数，假命题.
故答案为：①②③

17．已知p:∀x∈R,ax2-ax+1>0恒成立，q:∃x∈R,x2+x+a=0.如果p,q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围.
【答案】(-∞,0)⋃14,4
【解析】
若p为真命题，当a=0时，可得1>0恒成立，满足题意；
当a≠0时，则a>0Δ=-a2-4a<0，解得0<a<4，
∴当p为真命题，实数a的取值范围是0,4.
若q为真命题，则有Δ=12-4a≥0，解得a≤14，
∴当q为真命题，实数a的取值范围是(-∞,14].
∵p,q中有且仅有一个为真命题，
∴当p为真命题，q为假命题时，实数a的取值范围是0,4∩14,+∞=14,4;
当p为假命题，q为真命题时，实数a的取值范围是(-∞,0).
综上，当p,q中有且仅有一个为真命题时，实数a的取值范围是(-∞,0)⋃14,4.
18．已知集合M=x∣x+3x-5⩽0,N=x∣-m⩽x⩽m.
（1）若“x∈M”是“x∈N”的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）当m⩾0时，若“x∈M”是“x∈N”的必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】
（1）5,+∞
（2）0,3
【解析】
（1）可得M=x∣x+3x-5⩽0=x∣-3⩽x⩽5
若“x∈M”是“x∈N”的充分条件，则M⊆N，
所以-m⩽-3m⩾5，解得m⩾5，所以实数m的取值范围为5,+∞；
（2）若“x∈M”是“x∈N”的必要条件，则N⊆M，
因为m⩾0，所以N≠∅，则m⩾0-m⩾-3m⩽5，解得0⩽m⩽3,
综上所述，实数m的取值范围为0,3.
19．将下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断“α⇒β”是否成立.
（1）直角三角形的外心在斜边上；
（2）有理数是实数；
（3）面积相等的两个三角形全等.
【答案】
（1）若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上.α⇒β成立
（2）若一个数是有理数，则这个数是实数.α⇒β成立
（3）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.α⇒β不成立
【解析】
（1）命题改写成：若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上.
由直角三角形的外心是斜边的中点，可知α⇒β成立.
（2）命题改写成：若一个数是有理数，则这个数是实数.
实数由有理数和无理数构成，即Q⊆R，可知α⇒β成立.
（3）命题改写成：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.
因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等，故面积相等的两个三角形不一定全等，可知α⇒β不成立.
20．已知命题p：“∀-1⩽x⩽1，不等式x2-x-m<0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若q:-4<m-a<4是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）(2,+∞)；
（2）6,+∞.
【解析】
（1）由题意命题p：“∀-1⩽x⩽1，不等式x2-x-m<0成立”是真命题．
∴m>x2-x在-1⩽x⩽1恒成立，即m>(x2-x)max，x∈-1,1；
因为x2-x=(x-12)2-14，所以-14⩽x2-x⩽2，即m>2，
所以实数m的取值范围是(2,+∞)；
（2）由p得，设A={m|m>2}，由q得，设B={m|a-4<m<a+4}，
因为q:-4<m-a<4是p的充分不必要条件；
所以q⇒p，但p推不出q， ∴B⫋A；　
所以a-4⩾2，即a⩾6，
所以实数a的取值范围是[6，+∞)．
21．已知集合A是函数y=12-x2的定义域，集合B=xx2-2ax+a2-1≤0，其中a∈R．
（1）若a=1，求A⋂B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．
【答案】
（1）A⋂B={x|0≤x<2}；
（2）1-2<a<2-1.
【解析】
（1）由题设，A={x|-2<x<2}，B={x|a-1≤x≤a+1}，
由a=1，则B={x|0≤x≤2}，
∴A⋂B={x|0≤x<2}.
（2）由题意知：B⊆A，而a+1>a-1恒成立，
∴a-1>-2a+1<2，可得1-2<a<2-1.
22．请在①充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面的问题中横线部分．若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由．
问题：已知集合Ax0≤x≤4，B=x1-a≤x≤1+aa>0，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的______？
【答案】答案见解析.
【解析】
选①，则A是B的真子集，则1-a≤0且1+a≥4（两等号不同时取），
又a>0，解得a≥3，
∴存在a，a的取值集合M=aa≥3
选②，则B是A的真子集，则1-a≥0且1+a≤4（两等号不同时取），
又a>0，解得0<a≤1，
∴存在a，a的取值集合M=a0<a≤1
选③，则A=B，则1-a=0且1+a=4，又a>0，方程组无解
∴不存在满足条件的a.

技巧点播
1.充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍.
2.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决.

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