上海市松江区2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷-(有解析).docx

上海市松江区 2019-2020 学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共 5 小题，共 15.0 分）
1. 若 是最简二次根式，则 的值可能是( )
√
a
D.
A.
B.
C. 3
−2
2
8
2
2. 下列计算错误的是( )
B.
A.
C.
1 × 6 = 3
2
2√3 − √3 = √3
√
√
√
D.
(√2 + √3) − √2 = √3
√(−3) = −3
2
3. 如果关于 的方程 +
+ = 0没有实数根，那么 在 2、1、0、−3中取值是( )
x
2
c
A.
B.
C.
D.
−3
2
1
0
= − 1 图象上的两点，下列判断中，正确的是( )
4.
(−1, )，
2)是正比例函数
1
1
2
B.
C.
D.
A.
<
=
>
不能确定
的值是( )
1
2
1
2
1
2
5. 若 是一元二次方程 +
− 1 = 0的一个实数根，则2018 −
−
m
2
2
A.
B.
C.
D.
2019
2016
2017
2018
二、填空题（本大题共 15 小题，共 30.0 分）
6. 化简： 25 =
．
√
7. 若 < 2，化简
8. 最简二次根式
− 2) + |3 − 的正确结果是______ ．
2
和√ − + 2是同类二次根式，则 =______， =______．
√
9. 写出
− 2的一个有理化因式．
− 1的定义域是______．
+ 1，则 √2) =______．
12. 不等式2 + 3 ≥ + 1的解集是_____．
13. 方程 + − 2) = − 2)的根是
14. 在实数范围内分解因式： − 5 =
√
10. 函数 =
√
11. 已知函数
= √
．
．
2
15. 已知关于 的方程 −
+
= 0的一个根是 1，则 =______．
x
2
16. 13.若关于 的一元二次方程
−
+ 4 = 0有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_____．
x
2
a
17. 若一次函数 =
+ 的图象不经过第三象限，则 ， 的取值范围分别为 ____0， ____0．
k b
k
b
18. 若点
，
3)都在同一个正比例函数图象上，则 的值为_______．
m
19. 一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60 元降到48.6元；那么平均每次降价的百分率
是：______．
20. 定义运算“★”：对于任意实数 ， ，都有 ★ =
a b
−
+ ，如：3 ★ 5 = 3 − 3 × 3 + 5.，
2
2
若 ★ 2 = 6，则实数 的值是 _________．
x

三、解答题（本大题共 9 小题，共 55.0 分）
21. 计算
(1)√32 − √18 + √1.
2
(2)(√48 − √27) ÷ √3．
22. 1 8 ÷ 2√1 × (−2 2) ．
√
√

4
2
23.
+
− 1) = 12(用配方法)
24. 解方程： − 1) =
−
2

25. 已知： =
1
， =
1
，求：
；
2
2．
2√23
2√23
26. 如图，直线 =
5经过点
和
．
(1)求 ， 的值；
k m
(2)求△
的面积．
27. 已知关于 的一元二次方程
2 = 0 … ①
x
2
(1)若 = 1 是方程①的一个根，求 的值和方程①的另一根；
m
(2)对于任意实数 ，判断方程①的根的情况，并说明理由．
m

需要 平方米，求花坛的长和宽．
20
29. 已知一次函数的图像与直线 =
+ 1平行，且过点(−2,7)，求此一次函数的解析式．

-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
本题考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题的关键．
此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．直接利用最简二次根式的定义分
析得出答案．
解：∵ 是最简二次根式，
√
∴ ≥ 0，且a 为整数，不含开的尽方的因数或因式，
3
故选项中−2， ， 都不合题意，
8
2
∴ 的值可能是 ．
2
故选B．
2.答案：D
解析：
本题考查二次根式的加减，乘除，掌握运算法则是解题关键.根据二次根式的加减，乘法运算法则计
算即可．
解：A．√1 × √6 = √3，正确；
2
B.2√3 − √3 = √3，正确；
C.(√2 + √3) − √2 = √2 + √3 − √2 = √3，正确；
D.√(−3) = √9 = 3，故不正确．
2
故选D．
3.答案：A
解析：解：∵关于x 的方程 2 +
+ = 0没有实数根，
∴△< 0，即2 −
< 0，解得 > 1，
2
∴ 在 、 、 、−3中取值是 ，
2 1 0
2
故选：A．
由方程根的情况，根据根的判别式可求得c 的取值范围，则可求得答案．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
4.答案：C
解析：

1
本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是得出 = − 为减函数．解决该题型题目时，根据一
2
1 < 0结合正比例函数的性质即可得出该正比例函
2
次项系数确定一次函数的增减性是关键．由 = −
数为减函数，再结合−1 < 2即可得出结论．
1 < 0，
2
解：∵ = −
∴正比例函数 y 随 x 增大而减小，
∵ −1 < 2，
∴
> ．
1
2
故选 C．
5.答案：B
解析：
本题主要考查了一元二次方程的解，为中档题．
解题的关键是把 m 代放方程得出 2 +
= 1，然后把 2 +
= 1，再代入到2018 − 2 −
即
可求解．
解：∵ 是一元二次方程 2 +
− 1 = 0的一个实数根，
∴
+
= 1，
2
∴ 2018 −
故选 B．
6.答案：5
−
= 2018 − (
+
2
) = 2018 − 1 = 2017．
2
解析：
本题主要考查二次根式的性质与化简，属于简单题．
直接利用二次根式的性质化简求出即可．
解：√25 = 5．
故答案为 5．
7.答案：5 −
解析：解：∵ < 2，
∴ − 2 < 0，3 − > 0；
∴
− 2) + |3 − =
− 2) + (3 −
2
=
+ 2 + 3 − = 5 − ．
先根据 x 的取值范围，判断出 − 2和3 − 的符号，然后再将原式进行化简．

本题涉及的知识有：二次根式的性质及化简、绝对值的化简．
8.答案：2；0
解析：
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根
式叫做同类二次根式．由于给出的两个根式既是最简根式又是同类根式．那么他们就是同类二次根
式，被开方数就应该相等，由此可得出关于 、 的方程，进而可求出 、 的值．
a b
a b
解：由最简二次根式 √ 和√
+ 2是同类二次根式，得
=
+ 2，
{
= 2
= 2
= 0
解得{
，
故答案为：2，0．
9.答案：√ + 2
解析：
本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一项)或与原分母组
成平方差公式．根据这种式子的特点“√ + √ 和√ √ 互为有理化因式”解答即可．
解：√
2的一个有理化因式为√ + 2.
故答案为√ + 2．
1
10.答案： ≥
2
解析：解：根据题意得：
1 ≥ 0，
1
解得： ≥ ．
2
1
故答案为 ≥ ．
2
根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出 的范围．
x
本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

11.答案：3
解析：解：
=
+ 1，则
2) = 2 × 2 + 1 = 2 + 1 = 3，
√ √ √
√
故答案为：3．
根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
本题考查了函数值，利用自变量与函数值的对应关系是解题关键．
12.答案： ≤ 4．
解析：
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
移项，合并同类项，系数化为 1 即可．
2 + 3 ≥ + 1，
故答案为 ≤ 4．
≥ 1 − 2 − 3，
≥ −4，∴ ≤ 4，
13.答案： = 1， = 2
1
2
解析：
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程右边变形为 0，再把方程左边分解为两个一次式
的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解，先移
项得到 +
转化为 − 2 = 0或 + 1 − 2 = 0，然后解两个一元一次方程即可．
解： − 2) = − 2)，
移项得， + − 2) − − 2) = 0，
分解因式得， − + 1 − 2) = 0，
− 2) −
− 2) = 0，再把方程左边分解因式得到 −
+ 1 − 2) = 0，原方程
+
− 2 = 0或 + 1 − 2 = 0，
= 1， = 2．
∴
1
2
故答案为 = 1， = 2．
1
2
14.答案： + √
− √5)
解析：
本题考查的是实数范围内分解因式，属于基础题．
解： − 5 = + √ − √5)，
2

故答案为： +
− 5)．
√
√
1
15.答案：
2
解析：
本题考查了一元二次方程的解的定义．
根据一元二次方程的解的定义，将 = 1代入关于 的方程，列出关于 的一元一次方程，通过解该
x
k
方程，即可求得 的值．
k
解：根据题意，得：
= 1满足关于 的方程 −
+
= 0，
x
2
则1 − 2 +
= 0，
1
解得， = ，
2
1
故答案是： ．
2
16.答案： < 4且 ≠ 0
解析：
根据根的判别式即可求出答案，当 > 0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 = 0时，一
元二次方程有两个相等的实数根；当 < 0时，一元二次方程没有实数根．
【详解】
解：由题意可知： = 64 −
∴ < 4，
> 0，
∵ ≠ 0，
∴ < 4且 ≠ 0，
故答案为： < 4且 ≠ 0
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
17.答案：< ≥
解析：

本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数一次函数 =
+
≠ 0)的图象与系
数 ， 的关系是解答此题的关键．一次函数 = + 的图象有四种情况：①当 > 0， > 0，函
k b
数 =
+ 的图象经过第一、二、三象限；②当 > 0， < 0，函数 =
+ 的图象经过第一、
三、四象限；③当 < 0， > 0时，函数 =
+ 的图象经过第一、二、四象限；④当 < 0， < 0
时，函数 =
+ 的图象经过第二、三、四象限．根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结
论．
解：∵一次函数 =
+ 的图象不经过第三象限，
即一次函数 =
+ 的图象经过第一、第二、第四象限或经过第二、第四象限，
∴ < 0， ≥ 0．
故答案为<；≥．
3
18.答案：−
2
解析：
本题考查一次函数图象上点的坐标特征和求正比例函数的解析式，由点 的坐标，利用待定系数法
A
即可求出正比例函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于 的一元一次方
m
程，解之即可得出结论．
解：设正比例函数解析式为 = ，将点
∴正比例函数解析式为 = ．
代入 = 中，得：4 =
，解得： = −2，
∵点
3)在正比例函数 =
的图象上，
，解得： = − ．
3
∴ 3 =
2
3
故答案为− ．
2
19.答案：10%
解析：解：设平均每次降价的百分率是 ，
x
60(1 −
= 48.6
2
= 10%或 = 190%(舍去)．
平均每次降价的百分率是10%．
故答案为：10%．
设平均每次降价的百分率是 ，根据一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的 60 元降到48.6元
x
可列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，关键看到经过两次降价，然后列方程求解．

20.答案：−1或 4．
解析：
本题考查了新定义问题和解一元二次方程，关键是根据新的定义进行合理运算．
先根据新定义得到一元二次方程，再解一元二次方程
【详解】
根据题中的新定义得： 2 −
解得： = −1或 4．
+ 2 = 6，即 −
+ 1) = 0，
故答案为：−1或 4．
21.答案：解：(1)原式= 4√2 − 3√2 + √2，
2
= √2 + √2
2
= 3 √2；
2
(2)原式= (4 3 − 3 3) ÷ 3，
√
√
√
= √3 ÷ √3
= 1．
解析：(1)首先化简二次根式，进而得出答案；
(2)首先化简二次根式，进而利用二次根式除法运算法则求出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
1 × 1 × 2√8 × 2 × 2，
22.答案：解：原式= −
4
2
= − 1 √32，
4
= −√2．
解析：直接利用二次根式乘除运算法则求出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除运算法则，正确化简二次根式是解题关键．
23.答案：解：将原方程整理，得：
+
= 15，
2
两边都加上12，得：
+
2
+ 1 = 15 + 12
2
即 + 1)2 = 16，

开平方，得 + 1 = ±4，即 + 1 = 4，或 + 1 = −4，
= 3， = −5．
∴
1
2
解析：配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为 1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次
方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．
24.答案：解：∵ − 1)2 =
− 1) − − 1) = 0，
− 1) = 0，
− 1 = 0，
− 1)，
∴
2
则 −
∴ − 1 = 0或
解得 = 1， = −1．
1
2
解析：利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
1
1
25.答案：解：∵ =
， =
，
2√2+3
2√2−3
∴ = 3 − 2√2， = −3 − 2√2，
+ = (3 − 2√2) + (−3 − 2√2) = −4√2，
= (−4√2) − 3(3 − 2√2)(−3 − 2√2) = 32 + 3 = 35．
∴
−
+
=
+
−
2
2
2
2
解析：(1)先把 ， 分别进行分母有理化，再代入 + 即可；
x y
(2)先把 −
+ 变形为
−
2
，再代入求值即可．
2
2
+
此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是分母有理化和完全平方公式，解题的关键是能对
要求的式子进行变形．
26.答案：解：(1)把点
+ 5 = 9，
代入 =
+ 5得：
4
解得： = ，
3
4 + 5，
3
即直线的解析式为： =
4 + 5得：
3
把点
代入 =
= 4 × (−6) + 5 = −8 + 5 = −3，
3

4
即 的值为 ， 的值为−3，
k
m
3
(2)设直线
与 轴交于点 ，如下图所示：
x C
AB
4 + 5得：
3
把 = 0代入 =
4 + 5 = 0，
3
= − 15，
4
15 , 0)，
4
即点
= 1 × 15 × 9 = 135，
2
4
8
= 1 × 15 × 3 = 45，
2
4
8
=
+
= 135 + 45 = 45，
8
8
2
45
的面积为 ．
即△
2
解析：(1)把点
到直线
代入 =
+ 5，得到关于 的一元一次方程，解之即可得到 的值，即可得
k
k
的解析式，把
代入直线
的解析式，得到关于 的一元一次方程，解之即可得
AB m
AB
到 的值，
m
(2)设直线
与 轴交于点 ，△
被 轴分成△
和△
，分别计算△
和△
的面积，
AB
x
C
x
即可得到答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握待定系数法和直线和直角坐标系交点的坐标特
征是解题的关键．
27.
答案：解：(1)因为 = −1是方程①的一个根，
所以1 + − 2 = 0，
解得 = 1，
∴方程为 − − 2 = 0，
2
解得 = −1， = 2．
1
2
所以方程的另一根为 = 2；
(2) ∵ + 8，
−
=
2
2

因为对于任意实数 ， 2 ≥ 0，
m
所以 2 + 8 > 0，
所以对于任意的实数 ，
m
方程①有两个不相等的实数根．
解析：(1)直接把 = −1代入方程即可求得 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
m
(2)利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与 0 的关系进行判断．
1 (12 + 1 − 米，
2
28.答案：解：设花坛平行于墙的边长为 ，则宽为
xm
1 (12 + 1 − = 20，
2
于是有： ⋅
解得： = 5， = 8(不合题意舍去)，
1
2
1 (12 + 1 −
2
= 1 (12 + 1 − 5) = 4．
2
答：花坛的长是 5 米，宽是 4 米．
解析：此题由于一边靠墙，所以最好花坛平行于墙的边长为 ，这样最后能够快速地看到是否需要
xm
1 (12 + 1 − 米．然后根据面积列方程求解．
2
取舍．根据靠墙的一边长，进一步表示出另一边，即
考查了一元二次方程的应用，此题中，注意设法，如果设的是不靠墙的一边，最后还必须计算出靠
墙的一边长，看是否超过了墙的长度，进行取舍．其中的篱笆长12 米，在这里是三边的和−1米．
29.答案：解：设一次函数解析式为 =
+
≠ 0)，
∵一次函数的图象与直线 =
∴ = −2，
+ 1平行，
∵一次函数过点(−2,7)，
∴ −2 × (−2) + = 7，
解得 = 3，
∴一次函数解析式为 =
+ 3．
解析：本题考查了两条直线相交与平行问题，熟练掌握互相平行的直线的解析式的 值相等是解题
k
的关键．设一次函数解析式为 =
+
≠ 0)，根据互相平行的直线的解析式的 值相等确定出
k
= −2，然后将点(−2,7)代入求解即可．

4
即 的值为 ， 的值为−3，
k
m
3
(2)设直线
与 轴交于点 ，如下图所示：
x C
AB
4 + 5得：
3
把 = 0代入 =
4 + 5 = 0，
3
= − 15，
4
15 , 0)，
4
即点
= 1 × 15 × 9 = 135，
2
4
8
= 1 × 15 × 3 = 45，
2
4
8
=
+
= 135 + 45 = 45，
8
8
2
45
的面积为 ．
即△
2
解析：(1)把点
到直线
代入 =
+ 5，得到关于 的一元一次方程，解之即可得到 的值，即可得
k
k
的解析式，把
代入直线
的解析式，得到关于 的一元一次方程，解之即可得
AB m
AB
到 的值，
m
(2)设直线
与 轴交于点 ，△
被 轴分成△
和△
，分别计算△
和△
的面积，
AB
x
C
x
即可得到答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握待定系数法和直线和直角坐标系交点的坐标特
征是解题的关键．
27.
答案：解：(1)因为 = −1是方程①的一个根，
所以1 + − 2 = 0，
解得 = 1，
∴方程为 − − 2 = 0，
2
解得 = −1， = 2．
1
2
所以方程的另一根为 = 2；
(2) ∵ + 8，
−
=
2
2

因为对于任意实数 ， 2 ≥ 0，
m
所以 2 + 8 > 0，
所以对于任意的实数 ，
m
方程①有两个不相等的实数根．
解析：(1)直接把 = −1代入方程即可求得 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
m
(2)利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与 0 的关系进行判断．
1 (12 + 1 − 米，
2
28.答案：解：设花坛平行于墙的边长为 ，则宽为
xm
1 (12 + 1 − = 20，
2
于是有： ⋅
解得： = 5， = 8(不合题意舍去)，
1
2
1 (12 + 1 −
2
= 1 (12 + 1 − 5) = 4．
2
答：花坛的长是 5 米，宽是 4 米．
解析：此题由于一边靠墙，所以最好花坛平行于墙的边长为 ，这样最后能够快速地看到是否需要
xm
1 (12 + 1 − 米．然后根据面积列方程求解．
2
取舍．根据靠墙的一边长，进一步表示出另一边，即
考查了一元二次方程的应用，此题中，注意设法，如果设的是不靠墙的一边，最后还必须计算出靠
墙的一边长，看是否超过了墙的长度，进行取舍．其中的篱笆长12 米，在这里是三边的和−1米．
29.答案：解：设一次函数解析式为 =
+
≠ 0)，
∵一次函数的图象与直线 =
∴ = −2，
+ 1平行，
∵一次函数过点(−2,7)，
∴ −2 × (−2) + = 7，
解得 = 3，
∴一次函数解析式为 =
+ 3．
解析：本题考查了两条直线相交与平行问题，熟练掌握互相平行的直线的解析式的 值相等是解题
k
的关键．设一次函数解析式为 =
+
≠ 0)，根据互相平行的直线的解析式的 值相等确定出
k
= −2，然后将点(−2,7)代入求解即可．