资源描述
1.3 集合的运算
【题型解读】
【知识储备】
1．并集和交集的定义
定义
并集
交集
自然
语言
一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B
符号
语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
图形
语言
[知识点拨] (1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．
2．并集和交集的性质
并集
交集
简单
性质
A∪A＝A；
A∪∅＝A
A∩A＝A；
A∩∅＝∅
常用
结论
A∪B＝B∪A；
A⊆(A∪B)；
B⊆(A∪B)；
A∪B＝B⇔A⊆B
A∩B＝B∩A；
(A∩B)⊆A；
(A∩B)⊆B；
A∩B＝B⇔B⊆A
3．全集
文字
语言
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集
4.补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言
[知识点拨] (1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．
【题型精讲】
【题型一 并集的运算】
必备技巧 并集的运算技巧
(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．
例1 （2022·江苏泰州高一月考）已知集合，，则_______．
【答案】
【解析】，，.故答案为：.
例2 （2022·甘肃城关兰大附中高一月考）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以.故选：D.
【题型精练】
1. （2022·贵州南明贵阳一中高一期中）已知集合，若，则B可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，四个选项中只有是集合A的子集.
故选：A
2．（2022·哈尔滨市第一中学校）已知集合，，则集合等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由不等式，可得，即集合，
又由集合，可得.故选：C.
【题型二 交集的运算】
必备技巧 交集运算的注意点
(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法．
(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．
例3 （2022·广西南宁市高一期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以.故选：C.
例4 （2022·浙江省兰溪市第三中学高一期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
又，所以，故本题选C.
例5 （2022·河北高一月考）已知集合M=(x,y)x-y=0,N=(x,y)y=x3，则M∩N中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】因为集合M=(x,y)x-y=0,N=(x,y)y=x3，
所以M∩N=(x,y)y=xy=x3=(0,0),(1,1),(-1,-1)，所以A∩B中元素的个数为3，故选：D
【题型精练】
1．（2022·上海高一月考）设集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合 ，集合 ，又集合与集合中的公共元素为，，故选A.
2. （2022·江西高一期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵集合，，∴．故选：C．
3. （2022·北京人大附中月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，或，所以，故选：D
【题型三 补集的运算】
方法技巧 求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合．
例6 （2022·河南焦作市高一期中）已知集合U=1,3,5,7,9，A=1,5,7，B=1,3，则∁UA∪B=（ ）
A．3,5,7,9 B．3,5,7 C．1,9 D．
【答案】D
【解析】题意，，又∵U=1,3,5,7,9，∴∁UA∪B=9.选：D.
例7 （2021·浙江高一月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为集合，，
所以或，或，
所以，所以或，故选A.
例8 （2022·山东滨州市高一期中）设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，，，
又全集，所以，图中阴影部分所表示的集合为,故选：D.
【题型精练】
1．（2022·全国高一课时练习）设全集，，，则∁UA∪B=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
∴∁UA=0,1,2，∴∁UA∪B=-2,0,1,2.故选：C.
2. （2022·全国高一课时练习）已知全集，，，则集合∁U(A∪B)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简集合A，B，得，，或.
在数轴上表示如图.
.故选：D
3. （2022·浙江温州市高一期中）设全集U为实数集R，集合A=x∈Rx>3，集合B={0,1,2,3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．0 B．{0,1} C． D．{1,2,3,4}
【答案】B
【解析】图中的阴影部分表示集合B中不满足集合A的元素，所以阴影部分所表示的集合为0,1.
故选：B.
【题型四 集合中的综合运算】
必备技巧 解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
例9 （2022·四川宜宾市高一期末）已知集合，，，则A∩∁UB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵集合，，，
∴∁UB=-2,-1,3，A∩∁UB=-2,-1.故选：A.
例10 （2022·沈阳市高一月考）已知非空集合A、B、C满足：A∩B⊆C，A∩C⊆B．则（ ）．
A．B=C B．A⊆B∪C
C．B∩C⊆A D．A∩B=A∩C
【答案】C
【解析】因为非空集合A、B、C满足：A∩B⊆C，A∩C⊆B，
作出符合题意的三个集合之间关系的venn图，如图所示，
所以A∩B=A∩C．
故选：D．
例11 （多选）（2021·山东济宁.高一月考）已知集合，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由解得，故,.故选AD.
【题型精练】
1．（2021·浙江高一月考）已知全集，集合，，则A∪∁UB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】全集，集合，则∁UB=0,1,4,5，
又集合，因此，A∪∁UB=0,1,3,4,5.故选：C.
2. （2022·六盘水市第二中学高一期中）设，集合，，则∁UA∩B=(
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵U=R，
集合A={x∈R|}={x∈R|x＜1或x＞2}=（﹣∞，1）∪（2，+∞），
∴∁UA=[1，2]；集合B={x∈R|0＜x＜2}=（0，2），∴（∁UA）∩B=[1，2）．故选：B．
3. （2022·山东济南市高一期中）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C．A∩∁UB∩C D．A∩B∪A∩C
【答案】AD
【解析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为或，故选：AD
【题型五 集合运算中的求参问题】
例12 （2022·黑龙江大庆实验中学高一月考）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
当时，，解得，符合题意；
当时， 或，解得或，
综上所述，实数a的取值范围是.故选：B
例13 （2022·福建高一期中）已知集合，且A∪(∁RB)=R，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
.故选C
例14 （2022·安徽省桐城中学高一月考）已知集合，.
（1）若∁UA∪B=R，求a的取值范围；
（2）若A∩B≠B，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，∴∁UA=x|x<0或，
若∁UA∪B=R，
则3-2a≥aa⩽03-2a≥2，即∴实数a的取值范围是.
（2）若，则.当时，则得
当时，若
则，得，综上故a的取值范围为，
故A∩B≠B时的范围为的补集，即
【题型精练】
1．（2022·全国高一课时练习）已知集合A=0,1,a2,B={1,0,2a+3}，若A∩B=A∪B，则实数a等于（ ）
A．-1或3 B．0或-1 C．3 D．-1
【答案】C
【解析】由A∩B=A∪B可知A=B，故a2=2a+3，解得a=-1或a=3.
当a=-1时，a2=1，与集合元素互异性矛盾，故a=-1不正确.
经检验可知a=3符合题意.故选：C.
2. （2022·山西太原高一月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]
【答案】B
【解析】∵集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x+1≥a}＝{x|x≥a﹣1}，
又因为A∪B＝R，∴a﹣1≤1，解得a≤2，∴实数a的取值范围是（﹣∞，2].故选：B.
3. （2022·浙江高一课时练习）设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若全集，A∩∁ UB=A，求实数的取值范围．
【答案】（1）或（2）（3）
【解析】（1）由得，因为，所以，
所以，
整理得，解得或．
当时，，满足；
当时，，满足；
故的值为或．
（2）由题意，知．
由，得．
当集合时，关于的方程没有实数根，
所以，即，解得．
当集合时，若集合中只有一个元素，则，
整理得，解得，
此时，符合题意；
若集合中有两个元素，则，
所以，无解．
综上，可知实数的取值范围为．
（3）由A∩∁ UB=A，可知，
所以，所以．
综上，实数的取值范围为．故得解.
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