高考线性规划题型归纳.docx

线性规划常见题型及解法

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
例1、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为　　　。　
解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18
点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。
习题1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是　（　）
x
y
O
2
2
x=2
y =2
x + y =2
B
A
A、[2,6]　B、[2,5]　C、[3,6]　D、（3,5]
解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将
l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值
2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
图2
例2、已知则的最小值是 .
解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
习题2、已知x、y满足以下约束条件　，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（　）
2x + y - 2= 0 = 5
x – 2y + 4 = 0
3x – y – 3 = 0
O
y
x
A
　　A、13，1　 B、13，2　
C、13，　 D、，
解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C
练习2、已知x，y满足，则的最大值为___________，最小值为____________．
2，0

三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
例3、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）(A) (B)4 (C) (D)2
解析：如图６，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：从而选Ｂ。
点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。
2x + y – 6= 0 = 5
x＋y – 3 = 0
O
y
x
A
B
C
M
y =2
习题3、不等式组表示的平面区域的面积为　　（　）
　　　A、4　B、1　C、5　D、无穷大
解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）
(A) (B) (C) (D)
解析：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图4所示）时有。
点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。
习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是 （ ）
A． B． C． D．
C
五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例5、在约束条件下，当时，目标函数C
的最大值的变化范围是（）
A. B. C. D.
解析：画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D;
点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。
六、求约束条件中参数的取值范围
O
2x – y = 0
y
2x – y + 3 = 0
例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是　　（　）
　A、（-3,6）　B、（0,6）　C、（0,3）　D、（-3,3）
解：|2x－y＋m|＜3等价于
由右图可知 ,故0＜m＜3，选C

习题6、不等式表示的平面区域包含点和点则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
A

七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例7、已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。
解析：如图5作出可行域，由其表示为斜率为，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数（其中）仅在点处取得最大值。则直线过Ａ点且在直线（不含界线）之间。即则的取值范围为。
点评：本题通过作出可行域，在挖掘的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。
x + y = 5
x – y + 5 = 0
O
y
x
x=3
习题7、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为　　　（　）
　　　A、－3　B、3　C、－1　D、1
解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D

八、研究线性规划中的整点最优解问题
例8、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解析：如图７，作出可行域，由，它表示为斜率为，纵截距为的平行直线系,要使最得最大值。当直线通过取得最大值。因为，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，
点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。
九、求可行域中整点个数
例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（　）
　　A、9个　B、10个　C、13个　D、14个
x
y
O
解：|x|＋|y|≤2等价于
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选C

习题9、不等式表示的平面区域内的整点个数为 （ ）
A． 13个 B． 10个 C． 14个 D． 17个
A

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