2016年江苏理科数学高考试题(含解析).docx

2016年江苏数学高考试题
数学Ⅰ试题
参考公式
圆柱的体积公式：V =Sh，其中 S是圆柱的底面积，h为高。
圆柱
1
圆锥的体积公式：V
Sh，其中 S是圆锥的底面积，h为高。
3
圆锥
一、填空题：本大题共 14个小题,每小题 5分,共 70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合 ={-1,2,3,6}, ={ | -2 < < 3}, 则
A B= ________▲________.
2.复数 = (1+ 2i)(3 - i), 其中 i为虚数单位，则 z的实部是________▲________.
A
B
x
x
z
x
2
y
2
3.在平面直角坐标系 xOy中，双曲线
-
=1的焦距是________▲________.
7
3
4.已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.
3-2x -x2
5.函数 y=
的定义域是
▲
.
6.如图是一个算法的流程图，则输出的 a的值是
▲
.
7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷 2次，
则出现向上的点数之和小于 10的概率是
8.已知{a}是等差数列，S 是其前 n项和.若 a+a =- 3，S =10，则 a 的值是
▲
.
▲
.
2
n
n
1
2
5
9
9.定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin2x的图象与 y=cosx的图象的交点个数是
▲
.
10.如图，在平面直角坐标系 xOy中，F是椭圆 x2 y2
b
+
=1(a＞b＞0)的右焦点，直线 y
=
与椭圆交于 B，
2
a
2
b
2
C两点，且ÐBFC = 90
,则该椭圆的离心率是
▲
.
1

(第 10 题)
ìx + a
,-1£ x < 0,
ï
(x) =
aÎR .
若
11.设 f（x）是定义在R 上且周期为 2 的函数，在区间[ 1,1)上， f
í
2
5
其中
- x ,0 £ x <1,
ï
î
5
9
f (- ) = f ( ) ，则 f（5a）的值是
▲
.
2
2
ìx -
2y + 4 ³ 0
ï
2x + y - 2 ³ 0
3x - y -3 £ 0
12. 已知实数 x，y 满足 í
，则 x +y 的取值范围是
▲
.
2
2
ï
î
13.如图，在△ABC中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点，BC ×CA = 4，BF ×CF = -1，则 BE CE×
的值是
▲
.
14.在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是
▲
.
二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.）
15.（本小题满分 14 分）
4
π
在△ABC
中，AC=6，cos = ， = .
B C
5
4
（1）求 AB 的长；
π
（2）求cos( - )的值.
A
6
2

16.(本小题满分 14 分)
^ A F
^ A B
.
如图，在直三棱柱 ABC-A B C 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B B 上 ，且 B D
，AC
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
求证：（1）直线 DE∥平面 A C F；
1
1
（2）平面 B DE⊥平面 A C1F.
1
1
17.（本小题满分 14 分）
- A B C D
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 P
，下部分的形状是正
1
1
1
1
- A B C D
PO
四棱柱 ABCD
(如图所示)，并要求正四棱柱的高
的四倍.
1
1
1
1
1
= 6m,PO = 2m,
若 AB
则仓库的容积是多少？
1
(1) 若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 PO 为多少时，仓库的容积最大？
1
3

18. （本小题满分 16 分）
x
2
+ y -12x -14y + 60 = 0
2
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆 M:
及其上一点 A(2，4)
(1) 设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；
(2) 设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA,求直线 l 的方程；
TA +TP =TQ,
(3) 设点 T（t,o）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得
,求实数 t 的取值范围。
4

（本小题满分 16 分）
19.
f (x) = a + b (a > 0,b > 0,a ¹ 1,b ¹ 1)
x
x
.
已知函数
1
2
（1） 设 a=2,b= .
f (x) =2 的根;
① 求方程
f
(2x) ³ mf(x) -6
Î R
若对任意 x
,不等式
恒成立，求实数 m 的最大值；
②
( ) ( )
g x = f x - 2
（2）若0 < a <1,b＞1，函数
有且只有 1 个零点，求 ab 的值。
20.（本小题满分 16 分）
( )
{
}
{
}
{ }
= 1,2,…，100
= 0 T = t ,t ,…，t
记U
Î
.对数列 a n N* 和U 的子集 T，若T
= Æ
,定义 S
;若
，
1
2
k
n
T
( )
{ }
{ }
Î
= 1,3,66
a a a .现设 a n N* 是公比为 3 的等
+
= a + a +…+a .例如：T
= +
定义 S
时， S
T
t1
t2
t
T
1
3
66
n
k
{ }
= 2,4
=30
比数列，且当T
时， S
.
T
{ }
求数列 a 的通项公式；
n
(
)
T Í{1,2,…，k}
k 1£ k £100
S
< a
；
(1) 对任意正整数
，若
，求证：
T
k +1
Í U , D Í U ,S ³ S
S + S
C
³ 2SD .
D
（3）设C
,求证：
C
D
C
5

数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，
．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．
则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．【选修 4—1 几何证明选讲】（本小题满分 10 分）
如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D 为垂足，E 是 BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD.
B.【选修 4—2：矩阵与变换】（本小题满分 10 分）
é
1ù
é1 2
ù
1 -
ê
ê
ë
ú
已知矩阵 A =
, 矩阵 B 的逆矩阵
=
2 ，求矩阵 AB.
B-1
ê
ú
0 - 2
ú
û
ë
û
0
2
C.【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
1
ì
x =1+ t
ï
在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为ï
2
（t 为参数），椭圆 C 的参数方程
í
3
ï
y =
t
ï
î
2
ìx =
cosq,
为
（q 为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.
í
îy = 2sin
q
a
a
D.设 a＞0，|x-1|＜ ，|y-2|＜ ，求证：|2x+y-4|＜a.
3
3
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字
．．．．．．．．．．．．
6

说明、证明过程或演算步骤．
22. （本小题满分 10 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x-y-2=0，抛物线 C：y =2px(p
2
＞0).
（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；
（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.
①求证：线段 PQ 的中点坐标为（2-p，-p）；
②求 p 的取值范围.
23.（本小题满分 10 分）
7C –4C
（1）求
的值；
3
4
7
6
（2）设 m，n N ，n≥m，求证：
*
（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C
m
m
m
m
m
m+2
.
m+1
m+2
n
–1
n
n+2
m
7

参考版解析
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
．．．．．．．．
{
}
{
}
已知集合 A = -1,2,3,6 ， B = x | -2 < x < 3 ，则
=
．
A B
{ }
-1,2 ；
{ }
i.
由交集的定义可得 A B = -1,2 ．
( )( )
复数 z = 1+ 2i 3 - i ，其中i 为虚数单位，则 的实部是
．
z
5；
ii.
由复数乘法可得 z = 5 + 5i ，则则 的实部是 5．
z
x
2
y
2
在平面直角坐标系
中，双曲线
-
=1的焦距是
．
xOy
7
3
2 10 ；
iii.
c = a + b = 10 ，因此焦距为2c = 2 10 ．
2
2
已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是
0.1；
．
(
)
1
iv.
x = 5.1， = 0.4 + 0.3 + 0 + 0.3 + 0.4 = 0.1．
s
2
2
2
2
2
2
5
函数 y = 3 - 2x - x2 的定义域是
．
[ ]
-3,1 ；
[ ]
x
3- 2x - x2≥0，解得 -3≤ ≤1，因此定义域为 -3,1 ．
v.
如图是一个算法的流程图，则输出 的值是
a
．
8

b¬b-2
a¬a+4
N
Y
输出a
结束
9；
vi.
a,b 的变化如下表：
1
9
5
7
9
5
a
b
则输出时 = 9 ．
a
将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点为正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上
的点数之和小于 10 的概率是
．
5
；
6
( )
vii.
将先后两次点数记为 x, y ，则共有6´6 = 36 个等可能基本事件，其中点数之和大于等于 10 有
30 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4,6 , 5,5 , 5,6 , 6,4 , 6,5 , 6,6 六种，则点数之和小于 10 共有 30 种，概率为 = ．
36 6
{ }
已知 a 是等差数列， 是其前 项和．若a + a = -3 ， S =10 ，则 a 的值是
．
S
n
2
2
1
n
5
9
n
20；
(
)
viii.
设公差为d ，则由题意可得a + a + d = -3 ，5a +10d =10 ，
2
1
1
1
解得 a = -4 ， d = 3，则 a = -4 + 8´ 3 = 20 ．
1
9
[ ]
定义在区间 0,3π上的函数 y = sin 2x 的图象与 y = cosx 的图象的交点个数是
．
7；
ix.
画出函数图象草图，共 7 个交点．
9

y
1
x
O
-1
x
2
2
y
2
2
(
)
b
如图，在平面直角坐标系
中， 是椭圆
F
+
=1 > > 0 的右焦点，直线 = 与椭圆交于 , 两
xOy
a b
y
B C
2
a
b
点，且ÐBFC = 90° ，则该椭圆的离心率是
．
y
B
C
x
O
F
6
；
3
æ
3
ö
æ 3
ö
( )
b
a b
a b
x.
由题意得 F c,0 ，直线 = 与椭圆方程联立可得
-
,
，
,
，
y
Bç
÷ C ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
2 2
2 2
è
ø
è
ø
æ
ç
è
3
ö
æ
a b
3 ö
a b
由 ÐBFC = 90° 可得 BF ×CF = 0 ，
BF çc +
=
,- ÷ CF = çc -
，
,- ÷
，
÷
ç
÷
2
2
2
2
ø
è
ø
3
4
1
4
3
1
2
c
2
3
6
则 -
+
= 0 ，由b = a - c 可得
=
，则e = =
=
．
c
2
a
2
b
2
2
2
2
c
2
a
2
4
3
a
ìx + a
, -1£ x < 0,
ï
( )
) ( )
[
设 f x 是定义在 上且周期为 2 的函数，在区间 -1,1 上 f x = 2
R
í
- x , 0 £ x <1,
ï
5
î
5
9
æ
ö
æ ö
( )
其中 Î ，若 f - = f
，则 f 5a 的值是
．
a R
ç
÷
ç ÷
2
2
è ø
è
ø
2
- ；
5
5
1
1
9
1
2 1
= - =
1
æ
ö
æ
ö
æ ö
æ ö
xi.
由题意得 f - = f - = - + a ， f
= f
，
ç
÷
ç
÷
ç ÷
ç ÷
2
2
2
2
è ø
2
è ø
5 2 10
è
ø
è
ø
5
2
9
æ ö
1
1
3
æ
ö
÷
ø
由 f -
= f
可得 - + = ，则 = ，
a
a
ç
ç ÷
2
è ø
2
10
5
è
10

3
2
( ) ( ) ( )
则 5 = 3 = -1 = -1+ = -1+ = - ．
f a
f
f
a
5
5
ìx -
2y + 4 ³ 0,
ï
已知实数 x, y 满足 2x + y - 2 ³ 0, 则 x + y 的取值范围是
．
í
2
2
ï
3x - y - 3 £ 0,
î
é4
ê
ù
,13 ；
ú
û
5
ë
xii.
在平面直角坐标系中画出可行域如下
y
4
3
B
2
1
A
x
–4 –3 –2 –1
1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
x
2
+ y 为可行域内的点到原点距离的平方．
2
可以看出图中 点距离原点最近，此时距离为原点 到直线 2 + - 2 = 0的距离，
A
A
x y
-2
( )
2 2
2 5
5
4
= ，
5
d =
=
，则 x
+ y
4 +1
min
( )
图中 B 点距离原点最远，B 点为 x - 2y + 4 = 0与3x - y - 3 = 0 交点，则 B 2,3 ，
( )
则
+
=13 ．
x
2
y
2
max
如图，在 △ABC 中， 是 BC 的中点， E,F 是
上两个三等分点，BA×CA = 4， BF ×CF = -1，
AD
D
A
则 BE ×CE 的值是
．
7
；
8
B
C
D
xiii.
令 DF = a ， DB = b ，则 DC = -b ， DE = 2a ， DA = 3a ，
则 BA = 3a - b ，CA = 3a + b ， BE = 2a - b ，CE = 2a + b ， BF = a - b ，CF = a + b ，
11

则 BA×CA = 9a
2
- b
2
， BF ×CF = a
2
- b
2
， BE ×CE = 4a
2
- b ，
2
5
13
8
由 BA×CA = 4， BF ×CF = -1可得9a
2
- b
2
= 4 ， a
2
- b
2
= -1，因此a2 = ,
b2
=
，
8
4´5 13 7
= ．
8 8
因此
BE CE
×
= 4
2
- =
a b
2
-
8
在锐角三角形
中，sin = 2sin sin ，则 tan tan tan 的最小值是
．
ABC
A
B C
A
B
C
8；
( ) (
)
xiv.
由sin A = sin π - A = sin B + C = sin BcosC + cos BsinC ，sin = 2sin sin ，
A
B C
可得sin cos + cos sin = 2sin sin （*），
B
C
B C
为锐角三角形，则cos > 0,cos > 0 ，
B C
由三角形
ABC
B
C
在（*）式两侧同时除以cos cos 可得 tan + tan =2tan tan ，
B
C
B
C
B
C
tan B + tanC
( )
( )
B C
又 tan = -tan π - = -tan + = -
(#)，
A
A
1- tan BtanC
tan B + tanC
则 tan tan tan = -
´ tan tan ，
A
B
C
B
C
1- tan BtanC
(
)2
2 tan B tanC
由 tan + tan = 2tan tan 可得 tan tan tan = -
，
B
C
B
C
A
B
C
1- tan B tanC
令 tan BtanC = t ，由 A,B,C 为锐角可得tan A > 0,tan B > 0,tan C > 0 ，
由(#)得1- tan tan < 0，解得 >1
B
C
t
2t
2
2
tan Atan B tanC = -
= -
，
1 1
1- t
-
t
2
t
1 1 1 1
1
1 1
1
æ
ç
ö
÷
2
- =
-
- ，由 >1则 0 > - ³ - ，因此 tan tan tan 最小值为8，
t
A
B
C
t è t 2 ø
4
4
t
2
t
t
2
当且仅当t = 2 时取到等号，此时tan B + tanC = 4 ， tan BtanC = 2 ，
解得 tan = 2 + 2, tan = 2 - 2, tan = 4 （或 tan B,tan C 互换），此时 A,B,C 均为锐角．
B
C
A
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过
程或演算步骤．
（本小题满分 14 分）
12

4
π
在△ABC 中，
= 6 ，cos = ， = ．
B C
AC
5
4
⑴ 求
的长；
AB
π
æ
ç
è
ö
÷
ø
⑵ 求cos
-
的值．
A
6
7 2 - 6
⑴5 2 ；⑵
．
20
4
1.
cos = ， 为三角形的内角
B
B
5
3
\sin B =
5
AB
AC
=
sinC sin B
AB 6
\
= ，即：
AB
= 5 2 ；
3
2
5
2
(
)
a) cos A = -cos C + B = sin BsinC - cos BcosC
2
\cos A = -
10
又
A为三角形的内角
7 2
\sin A =
10
π
3
1
7 2 - 6
æ
ö
÷
ø
\cos A -
=
cos A + sin A =
．
ç
6
2
2
20
è
（本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱
ABC A B C
-
中， D,E 分别为 AB,BC 的中点，点 在侧棱
上，
F
B B
1
1
1
1
C
且
B D A F
^
，
^
．
A B
1 1
AC
1
1
1
1
1
A
B
1
1
求证：⑴ 直线 DE //平面 AC F ；
1
1
⑵ 平面 B DE ^ 平面 AC F ．
1
1
1
F
B
见解析；
C
E
2.
D,E 为中点，\DE 为 DABC 的中位线
\DE//AC
A
D
13

又
ABC A B C
-
为棱柱，\
//
AC AC
1
1
1
1
1
\DE//AC ，又
AC Ì
平面
AC F
1 1
，且 Ë
DE AC F
1
1
1
1
1
1
\DE// 平面 AC F ；
1
1
a)
ABC A B C
-
为直棱柱，\
^ 平面
AA
A B C
1
1
1
1
1
1
1
\ AA ^ AC ，又 AC ^ A B
1
1
1
1
1
1 1
且
= ，
AA A B
,
Ì 平面
AA A B
1
A
1
AA B B
1 1
1
1
1
1
1
\ AC ^ 平面 AA B B ，
1
1
1 1
又
又
又
DE//AC ，\DE
^ 平面
，\
AA B B
1 1
1
1
A F
1
Ì 平面
AA B B
DE A F
^
1
1
1
^
，
A F B D DE B D D
= ，且
DE B D B DE
Ì 平面
,
1
1
1
1
1
\ A F ^ 平面 B DE ，又 A F Ì AC F
1
1
1
1
1
\平面 B DE ^ 平面 AC F ．
1
1
1
（本小题满分 14 分）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P - A B C D ，下部分的形状是正四
1
1
1
1
棱柱 ABCD - A B C D （如图所示），并要求正四棱柱的高
是正四棱锥的高
的 4 倍．
PO
O O
1
1
1
1
1
1
P
⑴ 若 AB = 6 m ， PO = 2 m ，则仓库的容积是多少；
D
C
1
1
1
O
1
⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，当
⑴312 m3；⑵ 2 3 m ；
为多少时，仓库的容积最大？
A
B
PO
1
1
1
D
C
O
A
B
3.
PO = 2 m ，则OO = 8 m ，
1
1
1
= S
3
1
× PO = ´6
´ 2 = 24 m
，V
=S
×OO = 6 ´8 = 288 m ，
V
2
3
2
3
3
P- A B C D
ABCD
1
ABCD
- A B C D
ABCD
1
1
1
1
1
1 1 1 1
V =V
+V
= 312 m ，
3
P- A B C D
ABCD- A B C D
1
1
1
1
1 1 1 1
故仓库的容积为312 m3；
14

a) 设
= m ，仓库的容积为 ( )
PO x V x
1
则
= 4 m ， AO = 36 - x m ， A B = 2 × 36 - x m ，
OO
x
2
2
1
1
1
1 1
( )
(
)
1
= S
3
1
1
2
= 24x - x
3
2
V
× PO = ´ 72 - 2x
2
´ x = 72x - 2x
3
3
m ，
3
3
3
P- A B C D
ABCD
1
1
1 1 1
( )
2
V
=S
×OO = 72 - 2x
2
´ 4x = 288x - 8x m ，
3 3
ABCD- A B C D
ABCD
1
1
1 1 1
2
26
3
( )
V x =V
(
)，
+V
= 24x - x
+ 288x - 8x
= -
x
+ 312x 0 < x < 6
3
3
3
3
P- A B C D
ABCD- A B C D
1
1
1
1
1 1 1 1
( )
( )
(
)，
V ' x = -26x2 + 312 = -26 x2 -12 0 < x < 6
( )
( )
( )
当 Î 0,2 3 时，V ' x > 0 ，V x 单调递增，
x
( )
( )
( )
当 Î 2 3,6 时，V ' x < 0 ，V x 单调递减，
x
( )
因此，当 x = 2 3 时，V x 取到最大值，
即 PO = 2 3 m 时，仓库的容积最大．
1
（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 为圆心的圆 ： x + y -12x -14y + 60 = 0
M
M
2
2
( )
及其上一点 A 2,4 ．
⑴ 设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 = 6 上，求圆 的标准方程；
N
x
M
N
x
N
⑵ 设平行于OA的直线l 与圆 相交于 B,C 两点，且 BC = OA，求直线l 的方程；
M
( )
⑶ 设点T t,0 满足：存在圆 上的两点 P 和Q ，使得TA + TP = TQ ，求实数t 的取值范围．
M
y
( ) ( )
2x + 5或 y = 2x -15 ⑶ é2 - 2 21,2 + 2 21ù ；
M
⑴ x - 6 + y -1 =1⑵ y =
2
2
ë
û
( )
A
4.
因为 N 在直线 x = 6 上，设 N 6,n ，因为与 轴相切，
x
( ) ( )
O
x
则圆 N 为 x - 6 + y - n = n ， n > 0
2
2
2
( ) ( )
又圆 N 与圆 外切，圆 ： x - 6 + x - 7 = 25 ，
M
M
2
2
( ) ( )
则 7 - n = n + 5 ，解得n =1，即圆 N 的标准方程为 x - 6 + y -1 =1；
2
2
a) 由题意得OA = 2 5 ， k = 2 设l : y = 2x + b ，则圆心 到直线l 的距离
M
OA
15

12 - 7 + b
5 + b
d =
=
,
5
2 +1
2
( )
( )
5 + b
5 + b
2
2
则 BC = 2 5 - d = 2 25 -
， = 2 5 ，即 2 25 -
BC
= 2 5 ，
2
2
5
5
解得 = 5或 = -15 ，即 ： = 2 + 5 或 = 2 -15 ；
b
b
l
y
x
y
x
i.
TA + TP = TQ ，即TA = TQ - TP = PQ ，即
TA PQ
=
，
( )
TA = t - 2
+ 4
，
2
2
又
≤10 ,
PQ
( )
即 t - 2
+ 4 ≤10，解得 Î é2 - 2 21,2 2 21ù
，
+
2
t
2
ë
û
é2 2 21,2 2 21ù
对于任意 Î -
+
，欲使TA = PQ ，
t
ë
û
2
TA
此时
£10 ，只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 25 -
，
TA
4
必然与圆交于 、 两点，此时
P Q
TA PQ
=
，即TA = PQ ，
é2 2 21,2 2 21ù
因此对于任意 Î -
+
，均满足题意，
t
ë
û
é2 2 21,2 2 21ù
综上 Î -
+
．
t
ë
û
（本小题满分 14 分）
( )
(
x
)
已知函数 f x = a + b a > 0,b > 0,a ¹ 1,b ¹ 1 ．
x
1
⑴ 设 a = 2 ， = ．
b
2
( )
① 求方程 f x = 2 的根；
( )
( )
② 若对于任意 xÎR ，不等式 f 2x ≥ mf x - 6 恒成立，求实数 的最大值；
m
( ) ( )
⑵ 若0 < a <1，b >1，函数 g x = f x - 2 有且只有 1 个零点，求ab的值．
⑴ ① x = 0 ；② 4 ；⑵1；
1
1
æ ö
( )
x
( )
5.
① f x = 2 +
，由 f x = 2 可得 2 +
= 2，
x
ç ÷
x
2
è ø
2x
16

( )
( )
则 2
2
- 2´ 2 +1= 0 ，即 2 -1
2
= 0 ，则 2 =1， = 0 ；
x
x
x
x
x
1
1
æ
ö
÷
ø
② 由题意得2 +
≥ m 2 +
- 6 恒成立，
2x
ç
x
22x
2
x
è
1
1
令 = 2 + ，则由2 > 0可得 ≥ 2 2 ´
= 2 ，
t
t
x
x
x
2x
2x
t2+ 4
4
此时t - 2≥mt - 6 恒成立，即 ≤
= + 恒成立
2
m
t
t
t
4
4
∵ ≥2 时 + ≥ 2 × = 4，当且仅当 = 2 时等号成立，
t
t
t
t
t
t
因此实数 的最大值为4 ．
m
élna
ù
x
æ ö
b
( ) ( )
( )
g x = f x - 2 = a + b - 2 ， '
= ln + ln = ln
+
，
ú
ç ÷
g x a a b b a bê
x
x
x
x
x
lnb
a
è ø
ê
ë
ú
û
x ln
b
( ) æ b ö
a
( )
，则 h x 递增，
由 0 < <1， >1可得 >1，令 h x =
+
a
b
ç ÷
lnb
a
è a ø
ln a
lnb
æ
ö ( )
而 lna < 0,ln b > 0 ，因此 = log -
时 h x = 0 ，
x
0
ç
÷
è
ø
0
b
a
(
)
( )
( )
因此 xÎ -¥, x 时， h x < 0 ， a lnb > 0 ，则 g ' x < 0 ；
x
0
(
)
( )
( )
xÎ x ,+¥ 时， h x > 0 ， a lnb > 0 ，则 g ' x > 0 ；
x
0
( ) (
)
(
)
( )
( )
则 g x 在 -¥, x 递减， x ,+¥ 递增，因此 g x 最小值为 g x ，
0
0
0
( )
( )
① 若 g x < 0， x < log 2时， a > a
= 2，b > 0，则 g x > 0 ；
log 2
x
a
x
0
a
( )
x > log 2 时， a > 0 ，b > blog 2 = 2，则 g x > 0 ；
x
x
b
b
( )
( ) ( )
因此 x < log 2 且 x < x 时， g x > 0 ，因此 g x 在 x , x 有零点，
1
a
1
0
1
1
0
( )
( ) ( )
x > l o g 且2 x > x 时， g x > 0 ，因此 g x 在 x , x 有零点，
2
b
2
0
2
0
2
( )
则 g x 至少有两个零点，与条件矛盾；
( )
( )
( )
( )
② 若 g x ³ 0，由函数 g x 有且只有 1 个零点， g x 最小值为 g x ，
0
0
( )
可得 g x = 0，
0
( )
由 g 0 = a + b - 2 = 0 ，
0
0
因此 x = 0 ，
0
17

ln a
lnb
lna
æ
ö
÷
ø
因此log -
= 0 ，即 -
=1 ，即ln + ln = 0，
a
b
ç
lnb
è
b
a
( )
因此ln ab = 0 ，则 =1．
ab
（本小题满分 14 分）
{ }
{
}
记 = 1,2, ,100 ．对数列 a （ ÎN ）和 的子集 ，若 = Æ ，定义 = 0 ；
U
n
*
U
T
T
S
n
T
{
}
{
}
若T = t ,t , ,t ，定义 S = a + a + + a ．例如： = 1,3,66 时， = + +
．
T
S
a a a
1
2
k
T
t
1
t
t
1
3
66
T
2
k
{ }
{ }
现设 a （ ÎN ）是公比为3的等比数列，且当 = 2,4 时， = 30 ．
n
*
T
S
n
T
{ }
⑴ 求数列 a 的通项公式；
n
{
}
⑵ 对任意正整数k （1≤k ≤100），若 Í 1,2, , ，求证： <
；
T
k
S
a
k+1
T
⑶ 设C ÍU ， D ÍU ， ≥ ，求证： S + S
≥ 2S ．
D
S
S
C
D
C
C
D
⑴ a = 3 ；⑵⑶详见解析；
n-1
n
a
{ }
6.
当 = 2,4 时， = + = + 9 = 30 ，因此 = 3，从而 = =1， a = 3 ；
a a
T
S
a
2
a
2
a
a
1
2
n-1
T
2
4
2
3
n
3 -1
k
a)
a a
≤ + +
=1+ 3+ 3 + + 3 =
< 3 =
；
S
a
2
1
a
k +1
k-
k
2
T
1
2
k
(
)
(
)
i. 设 A = ð C D ， B = ð C D ，则 A B = Æ ， S = S + S ， S = S + S
，
C
D
C
A
C D