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【三维设计】2013届高考数学 第二章第十三节导数的应用（二）课后练习 人教A版 一、选择题1函数f(x)xex，x0,4的最大值是()A0 B.C. D.解析：f(x)exxexex(1x)，令f(x)0，x1.又f(0)0，f(4)，f(1)e1，f(1)为最大值答案：B2已知f(x)x2cos x，x1,1，则导函数f(x)是()A仅有最小值的奇函数B既有最大值，又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数D既有最大值，又有最小值的奇函数解析：f(x)xsin x，显然f(x)是奇函数，令h(x)f(x)，则h(x)xsin x，求导得h(x)1cos x当x1,1时，h(x)0，所以h(x)在1,1上单调递增，有最大值和最小值所以f(x)是既有最大值又有最小值的奇函数答案：D3函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A0a1 B0a1C1a1 D0a解析：y3x23a，令y0，可得：ax2.又x(0,1)，0a3，则方程x3ax210在(0,2)上恰有_个实根解析：设f(x)x3ax21，则f(x)3x22axx(3x2a)，由于a3，则在(0,2)上f(x)0，f(2)94a0，则方程x3ax210在(0,2)上恰有1个实根答案：1三、解答题8已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0.当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40.由解得a2，b4.由于切点的横坐标为x1，f(1)4，1abc4，c5.a2，b4，c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4，令f(x)0，得x12，x2.当x变化时，y、y的取值及变化如下表：x3(3，2)21y00y8单调递增13单调递减单调递增4yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.9已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)求证：当x(1，)时，函数f(x)的图象在g(x)x3x2的下方解：(1)f(x)x2ln x，f(x)2x.x1时，f(x)0，故f(x)在1，e上是增函数，f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2.(2)证明：令F(x)f(x)g(x)x2x3ln x，F(x)x2x2x1，F(x)0，F(x)在(1，)上是减函数，F(x)F(1)0.即f(x)g(x)当x(1，)时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方10(2012宝鸡质检)设函数f(x)ln xax2bx.(1)当ab时，求f(x)的最大值；(2)令F(x)f(x)ax2bx(0x3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处的切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，)当ab时，f(x)ln xx2x，f(x)x，令f(x)0，解得x1或x2(舍去)当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)的极大值为f(1)，即f(x)的最大值是.(2)F(x)ln x，x(0,3，则有kF(x0)在(0,3上恒成立，所以a(xx0)max，当x01时，xx0取得最大值.所以a.- 5 -