【三维设计】高考数学-第二章第十三节导数的应用(二)课后练习-新人教A版-.doc

"【三维设计】2013届高考数学 第二章第十三节导数的应用（二）课后练习 人教A版 "
一、选择题
1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是(　　)
A．0 B.
C. D.
解析：f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，
令f′(x)＝0，∴x＝1.
又f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值．
答案：B
2．已知f(x)＝x2－cos x，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是(　　)
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值，又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值，又有最小值的奇函数
解析：f′(x)＝x＋sin x，显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sin x，求导得h′(x)＝1＋cos x．当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．
答案：D
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)
A．0≤a<1 B．0<a<1
C．－1<a<1 D．0<a<
解析：∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.
答案：B
4．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为(　　)
A. B.
C. D.

解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.
设造价为y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·＝2πaR2＋，
∴y′＝4πaR－.
令y′＝0，得＝.
答案：C
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)
A．－13 B．－15
C．10 D．15
解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
答案：A
二、填空题
6．已知f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为________．
解析：由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0，或x＝2.
又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5，
∴f(x)max＝3，又f(x)≤a，∴a≥3.
答案：[3，＋∞)
7．若a>3，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根．
解析：设f(x)＝x3－ax2＋1，
则f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，
由于a>3，则在(0,2)上f′(x)<0，f(x)为减函数，
而f(0)＝1>0，f(2)＝9－4a<0，
则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根．
答案：1
三、解答题
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①
当x＝时，y＝f(x)有极值，
则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，
∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.
∴a＝2，b＝－4，c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
∴f′(x)＝3x2＋4x－4，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，y、y′的取值及变化如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2

1
y′

＋
0
－
0
＋

y
8
单调递增↗
13
单调递减↘

单调递增↗
4
∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
9．已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．
解：(1)∵f(x)＝x2＋ln x，
∴f′(x)＝2x＋.
∵x＞1时，f′(x)＞0，
故f(x)在[1，e]上是增函数，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，
最大值是f(e)＝1＋e2.
(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)
＝x2－x3＋ln x，
∴F′(x)＝x－2x2＋＝
＝＝
∵x＞1，∴F′(x)＜0，
∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数，
∴F(x)＜F(1)＝－＝－＜0.
即f(x)＜g(x)．
∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方．
10．(2012·宝鸡质检)设函数f(x)＝ln x－ax2－bx.
(1)当a＝b＝时，求f(x)的最大值；
(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0＜x≤3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝b＝时，f(x)＝ln x－x2－x，
f′(x)＝－x－＝，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．
当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以f(x)的极大值为f(1)＝－，
即f(x)的最大值是－.
(2)F(x)＝ln x＋，x∈(0,3]，
则有k＝F′(x0)＝≤在(0,3]上恒成立，
所以a≥(－x＋x0)max，
当x0＝1时，－x＋x0取得最大值.所以a≥.

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