大学物理第3章 刚体的定轴转动讲义.pdf

第三章刚体的定轴转动刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变受力不发生形变3：1E嗡福分次马FUZHOU UNIVERSITY 一 ,一“i 一 一 _ 一 一 一 一 一一 一 一3.1刚体定轴转动的描述3.1.1刚体的运动刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各 种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。刚体的平动是指刚体在 运动过程中其中任意两点的 连线始终保持原来的方向（或者说，在运动的各个时 刻始终保持彼此平行）。平动的刚体可看作质点模型。33 2E福分次马FUZHOU UNIVERSITY刚体的转动比较复杂，我们只研究刚体的定轴转动。刚体的定轴转动是指 刚体上各点都绕同一直线 作圆周运动，而直线本身 在空间的位置保持不动的 一种转动。这条直线称为转轴。33 3E1-福分/9、FUZHOU UNIVERSITY 一 3.1.2刚体的角量描述1.角坐标 描写刚体转动位置的物理量。过P作垂直于转轴的横截面（转动平面），转动平面与 转轴的交点为O。在转动平面内，过O点作一 极轴，设极轴的正方向是水 平向右。连接OP,OP与极轴之间的夹角为立e角称为角坐标（或角位置）。角坐标为标量。但可有正负。单位：弧度，rad33 4E在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：9=0(t),叫做转动方程。2.角位移 描写刚体位置变化的物理量。t时刻，质点在P点，角坐标为0,_t+Z t时刻，质点到达Pt角坐标为。/。上二丁角坐标的增量为：=s-。/丁工称为刚体的角位移角位移的大小表示了刚体在一/时间内角位置变化的多少。?单位：弧度，rad31 5EH3.角速度描写刚体转动快慢和方向的物理量。平均角速度 方=仝2（瞬时）角速度夕 d O单位：弧度/秒，rad/s 的（瞬时）角速度方向：满足右手定则，u 沿刚体转动方向右旋大拇指指向。（瞬时）角速度是矢量，但对于刚体定Qlzzmz 轴转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时角速度的正负数值就显示 I m用速度的方向，不必用矢量表示。33 6E.电福分女子FUZHOU UNIVERSITY 一一一一 il-一 一.一“，一 一一.“一 一 一,一 一”4,角加速度 描写角速度变化快慢和方向的物理量。t至Ut+A t时亥（J,刚体角速度的增量为:A69平均角加速度 c o（瞬时）角加速度P=单位：弧度/秒2,rad/s2A。6yol c o d c o d23 lim-=-/一。AZ d t d t2方向：角速度变化的方向。闵J3WA CD3：7EFUZHOU UNIVERSITY角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度 的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的 正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。总结:对于刚体的定轴转动问题，我们可用角坐标、角位移、角速度和角加速度来描述。5.定轴转动刚体上任一点的速度和加速度路程与角位移的关系As=rA0线速度与角速度的关系v=rc o加速度与角加速度的关系可将作圆周运动的质点的加速度沿圆 周轨道的切向和法向分解为两个分量。+。方切向加速度：q=?法向加速度：at圆周运动时加速度与角量的关系d v d c o=r-=rpd t d t/（r。）？2=-=rc o33 9E)福分火电FUZHOU UNIUERSIT Y 一-一-，一 一一，.一一.一一3.2刚体定轴转动定律3.2.1刚体定轴转动定律1.力对转轴的矩 _ _力对固定点的矩M=rxFMzF八转动平面k心7尸力对固定轴的矩(0力垂直转轴 对轴的矩就等于力对固定点O的矩。(2)力与转轴不垂直可以把力分解为平行于转轴的 分量和垂直于转轴的分量。平行转轴的力不产生转动效果，对轴的矩为零。即 M=亍 x F,大小:二Fr sm产，33 10EFUZHOU UNIVERSITY.一 .一,一*一 i ”一 一.口一 一 一 一“，一 一 一.说明：a）力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为零；b）同一个力对不同的转轴的矩不一样；c）当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力 对交点。的矩等值。但不能说完全相同。d）在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体 上，它们的作用可以与某一个力矩相当，这个力矩 叫做这几个力的合力矩。合力矩与合力的矩是不同 的概念，不要混淆。力矩的计算计算力对某一转轴的力矩，若力的作用点不固定在同一处（如例1）,则应当采取分小段的办法，先计 算每一小段上的作用力（分力）产生的矩，再求和。一3J 11EF UZ HOU UNIUEf例1:一匀质细杆，长为/质量为小，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩M阻。解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩因离轴的具体不同而不同 3m细杆的质量密度2=0 x d m、m d x,质元质量d m=Ad x质元受阻力矩：d M=-jLid mgx细杆受的阻力矩 rl 1-2 1乂阻=阻=_0几gxc bc=-/imgl/乙_ _m=AI33 12E电福分大9 FUZHOU UNIVERSITY 一一 一一 一一 一一 一 一 一一 一一2.刚体定轴转动定律考虑刚体上某一质元A心，刚体外其他物体对它的合作用 力（外力）为F.,刚体上其它质 元对它的作用力为力,对A%.用牛顿第二定律：耳+力=A叫用法向：Fin+fin=miain法向力作用线通过转轴，力矩为零。切向：F 十九=4mait3 13EH切向：Fit+fit=Amiait两边乘以j，有:F.tr.+f.tr.=/叫/对所有质元的同样的式子求和，有：，F.tr.+V f.r-V Am a.fr.=Am r2)/it i/j it j/i it i/i i j左边第一项z，力表示合外力矩，记作左边第二项Z/储表示内力矩之和，等于零右边Z(Amzr2)只与刚体的质量和质量相对转轴的 分布有关表示，称为刚体对轴的转动惯量，记作J则上式可简写成M=如刚体定轴转动定律14CHFUZHOU UNIVERSITY刚体定轴转动定律M=邛刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等 于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作 用下所获得的角加速度的乘积。注意几点：1.上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。2.M.J、力是对同一轴而言的。3.具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。4.转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。5 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。33 15EF UZHOU UNIVRSIT Y-一,一一-一 一 一一.一 一一，“一 一 ”一 一 一 ，一 一 i，,_ 一 1,一 3.2.2定轴转动刚体的转动惯量转动惯量 J=Y（miri2）=YJi刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至 转轴的垂直距离的平方的乘积之和。刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布 以及转轴的位置有关。对于质量连续分布的刚体：J=r2d m=f r2pd VJv J/J=r2d m=r2od S（面质量分布）Js Jsy=J r2d m=J r2/ldZ（线质量分布）在（SI）中，J的单位：kgm2 量纲：ML231 16EH噬“WD 4七&“7土 FUZHOU UNIVERSITY.一-一一 .一 一 一 1一-例：半径为质量为的圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。解：分割质量元dzn圆环上各质量元到轴的距离相等,MJ=J R2 d m=R2.M 9d m=MR oo绕圆环质心轴的转动惯量为J=MR2例：在无质轻杆的b处3b处各系质量为加和m的 质点，可绕o轴转动，求：质点系的转动惯量J。2 2解：J=Am.r2=2mb2+m(36)2-116Z=13 17CH例：一质量为相，半径为A的均匀圆盘，求对通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解:d m=c r 2ti rd ry=J r2dm=2 7icr J r3drJ=2 71 cr.R r3dr 0兀b火421 2=mR 231 18CEF UZ HOU UHIUERSIT Y 一,一 一，,一 一 1一 一 .一 一 一 一 一,.一 阍-.例：如图所示，一质量为m、长为/的均质空心圆柱体(即圆筒圆筒)其内、外半径分别为&和&。试求对几何轴OZ的转动惯量J。1 z解：在半径为r(Rx r dx-L 2=J r+m(一)2Jc.JOA o tXLB二xXMl 20 EF UZ HOU UNIVERSITY.一 一 八 ”-上例中Jc表示相对通过质心的轴的 厂;转动惯量，Ja表示相对通过棒端JA=JC+m(-)的轴的转动惯量。两轴平行，相距-L/2oJ A=J CSY+m UJ=-mL1121 2 1 2+mL=mL4 3平行轴定理定理表述：刚体绕平行于质心轴 的转动惯量/等于绕质心轴的 转动惯量Jc加上刚体质量与两 轴间的距离平方的乘积。J-Jr+md 2刚体绕质心轴的转动惯量最小。31 21EFUZHOU UNIVERSITY例 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为 半径为r,摆杆质量也为相，长度为2人）解：摆杆转动惯量：人=一m（2,）2=摆锤转动惯量：72 1 2/V 19/2=7C+md=mr+m3r)=一4 2mr34 2 19 2 65 2J=J.+J2=mr T-mr=mr3 2 631 22 IE0 I A，J*/OFUZHOU UNIUERSITf-3.2.3刚体定轴转动定律的应用例 一个质量为叫、半径为R的定滑轮(当 作均匀圆盘)上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m2的物体定轴。R而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m2由静止 hm2下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。7“r 9/加殂 h解：对M=TR=J3,J=m、R212 2.对m2：m2g T=m2a2 a2=R0?卷超哙阚侬；髓 m2a2=-77gm2+mi/2 V 1(J)-一=一R R4m2gh2n12+mx4m2gh2mo+mv 不 2 a Ml 23 EIV例二蔗基为m,长为七的均质秀,春轴在。点,今使 棒从静止开始由水平位置绕。点转动，求：（1）下摆到 角e时，细棒所受的重力矩；（2）水平位置的角速度 和角加速度；（2）垂直位置时的角速度和角加速度。解：（1）在棒上取质元dm,设其 距O点的水平距离为x,贝 dm受到 的重力矩为 d M G xgd m棒受到总的重力矩MG=xgd m=gxd m 即以=I xd in i据质心定义Xc=-得 MG=mg-cos 0m 23:24 H(2)水平位置=1 2J mR/3(3)任意角度。MG=mgd c o d c o 又 B=,d t d t垂直位置产 rT 3g cos 0f c od co=f2 d 6Jo Jo 2L-0 M G=mg 一Mc 3g 3=二旦J 2LL M 3g cos 0cose p=j=力-2 J 2Ld O d c o 3g cos 0=CD=d e d e 2L解得。=匚 B=。33 25 EH/FUZHOU UNIVERSIT Y 一-.一 一一 -u 一 一 一 一 ，一一一 一 一 .例 两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘 的半径为r,质量为相；大圆盘的半径r，=2r,质量相，=2机。组合轮 可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴。转动，对。轴的 转动惯量J=9/m2。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为利的物体力和这一系统从静止开始运动，绳与盘无相 对滑动且长度不变。已知r=10cm。求：(1)组合轮的角加速度;(2)当物体上升h=0.4m时,组合轮的角速度。解:T-mg=ma 解得:=2g 13r)mg-Tf=ma=10.3rad-s-2Tr)-Tr=9mr2 p/1a=r/3 aa，=(2r)0W 26 EH(2)设夕为组合轮转过的角度，则：9=/z g02=2p0 0=(2力力)1/2=9.08 rad-s-13.3定轴转动刚体的功与能1.力矩的功刚体在力F作用绕轴转过一微小角位移d e,z力/作功为：一7d A=F-d r=F cos(-(p)d r 2=F sin(p d r =Fr sin(pd 0=F sin cpdsFr sin(p=Md A=Md 0力信使刚体由然转到夕时，力矩的功为AdQMd0 刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功等于 相应力矩和角位移的乘积。Ml 27EH注意：1)力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种 表达方式。2)内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。2.刚体的动能第i个质元的动能：1 2 1 2 2kz=rnivi=-Am.r.整个刚体的转动动能：E.=SE、.一Am./2K/KZ/c I I2=(Amz r 2)21 2E.=一 Jc o2Ml 28 E福分/9FUZHOU UNIVERSITY-一 一 一-1-一 一 一一 一一 一 一 一 一 一-3.定轴转动刚体的动能定理设在外力矩的作用下，刚体绕定轴发生角位移d。元功：OA=Md 0由转动定律m=J d t*d。有 d W=J d 0=Jc oc od t初 1 2 1 2W JcDdlCO=J co2 J CDx刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所 做的功等于刚体转动动能的增量。Ml 29 E例题 一长为/,质量为阳的均匀细长杆04,可绕通过其一端点。的水平轴在铅垂面内自由摆动，已知另一端点力过最低点时的 速率为,杆对通过端点。而垂直于杆长的轴的转动惯量/=用2方,若空气阻力及轴上的摩擦力都可以忽略不计，求杆摆动时4点升 高的最大高度。解：作用于杆的力有重力及 轴对杆的支承力其力矩为零.重力矩为mg sin 0.I 2dA-mg sin 0 d3 2I./A=-mg-sin 8 d。=-mg (1-cos 0m)将/z=/(I cos 0)代入上式得 A-.mghm 2由转动动能定理得1 1 2 1 V；mgh=0 J q 一 J IN,N过。点,解得*和D。）共3FUZHOU UNIVERSITY4.刚体的重力势能E=5 m gh.p 2 i2 叫也=mg-m=mgh ch 质心的局度 v*,5.定轴转动刚体的功能定理刚体仍是个质点系，根据质点系的功能原理:/外+/内非=kl+Ep2)因d+Epl)若14外+L4内非=0,贝|Ek+Ep=常量.-机械能守恒定律I 31EIFUZHN衣33.4定轴转动刚体的角动量守恒定律3.4.1定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量 质元Am对点的角动量为L=R.x(Am.r.)L Am.R.v.i i i iZ,沿转轴Oz的投影为71L.=L.cos(-r)=Am R v.sin yiz i 2/1 1 1/=Am.r.r.=Amr2 co i i i iiMl 32 EFUZHOU UH2%=八利q二八加力口刚体对Oz轴的角动量为Lz=Jz冈体对OZ轴 的转动惯量得刚体定轴转动时，上式可简写为L=JcdMl 33 E工FUZHOUN衣3UNIVERSIT定轴转动刚体的角动量定理刚体定轴转动定律：M=邛=Jdo)d Jo)dL dt dt dtdL:.M=dt定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量 对时间的变化率。Md t=f=，。理积分形式一作用在刚体上的冲量矩等于在作用时间内角动量的增量。31 34 EFUZHOU UNIVERSITY342转动刚体对定轴的角动量定理守恒定律刚体对定轴的角动量定理M=(2Md t=L2-Ld t L当 M=0 时，贝1J L=Jc o=刚体对定轴的角动量守恒定律：当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕 定轴转动的任意物体系统。F 35EE福分次豕FUZHOU UNIVERSITY.一 一 一“i ”一 “一 一 一 一 ,一 一.说明：1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度 的乘积不变。2.对定轴转动的单个刚体，定轴转动惯量J是常量，当合 外力矩M为零时，角速度将保持不变，刚体匀角速转动。3.几个物体（或质点）组成的系 统，绕一公共轴转动，如果各个物 体（或质点）相对于转轴的距离可 以发生变化，则对该公共转轴的合 外力矩为零时，该系统对此轴的总角动量守恒尸恒量31 36EH例二卷谢薪氏桌面上有细 3%,杆，质量为 m、长度为/,以初/7 始角速度g绕垂直于杆的质心/轴转动，问细杆经过多长时间、-一/停止 羲动。L-1-/解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。确定细杆受的摩擦力矩细杆的质量密度为：2=m/l分割质量元dzn d m=Ad x质元受的摩擦力矩d M=-jud mgx r/2 1,细杆受的摩擦力矩M=f d M=-1LimglW 37EH始末两态的角动量为：Lq=Ic oQ,L=0由角动量定理：f Md t=L L。1 dr,I i-umgl d t=0-Jo 41 7 1Limgl t=-4 12lc t=-3 g本题也可用运动学方法求解，由M=J0,和o=g+Pt,求出 t=-0)q/P oMl 38EFUZHOU UNIVERSIT Y-一-i.一,一 一一.一 一-_例：人与转盘的转动惯量Jo=6Okgm2,伸芯;前 臂时臂长为1m,收臂时臂长为0.2m。/墓 人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心 上，每只手抓有质量zn=5kg的哑铃。伸 二 臂时转动角速度电=3 s-i,求收臂时的角 R解曝毕过程合外力矩为零，角动量守恒4 1=J 2 2人=人+2疝：=60+2x5x1=70 kg-m2 0 2J.=人+2ml；=60+2x5x0.22=60.4kg-m26=3x70=i由转动惯量的减小，2一人 60.4 角速度增加。I 3J 39 E,F U N X O U U N|U 2 R V QTY irrri-_ i-nr.i*rrriT iirr-_ mr_ i r.JTM11._ Iirfi._例 有一长为/,质量为%的均匀细棒，静止平放在光 滑水平桌面上，它可绕通过其端点O,且与桌面垂直 的固定光滑轴转动。另有一质量为冽2、水平运动的 小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端/相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小 滑块与细棒碰撞前后的速率分别为V和，则碰撞后棒 绕轴转动的角速度G为多大？解：对于整个系统不考虑轴 间摩擦阻力矩，则系统不受外力矩作用，碰撞前后角动量守恒.m?vl=Jc o m?ul细棒绕。转动的转动惯量为代入上式求得=史士叫/31 40 E例：质量所长/的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固 定轴0转动，如果一质量为胆，的小球以速度 是直落到 棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。求：碰后 小球的速度及杆的角速度。u 杆的角速度/肯定如图,m I 叫v 假设小球碰后瞬时的速 J 度取向上，如图所示。co解：以小球+细杆组成的系统为研究对象，M外=0,系统的角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的 内力矩相比可以忽略）31 41EFUZHOU因为弹性碰撞，机械能能守恒1 f 2 If 1 2)一mu ml2 2112)联立(2)解得m 3m)uv=；m+3m1 2+mfv2 (2)26mfuco(m+3m)/讨论：当机3加时/0（向上）当阳=3阳时，y=0（瞬时静止）当机3加时（向下）33 42 EFUZHOU UNIVERSITY 一 一一一 一一 一 一 一 一 一 一 一一.-一-一.一 一.一 一-一,一”例如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同 一点，杆的质量旭与单摆的摆锤相等。开始时直杆自 然下垂，将单摆的摆锤拉到高度厮，令它自静止状态 下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆 下端达到的高度从解:碰撞前单摆 摆锤的速度为 尸 u N Hi O U U N|u 巨 R$IT Y，一一-.一 一.一-.一 一 一 一_ _ i 一,_-i1-.一 一 一一.一 一._ i1 一一一令碰撞后直杆的角速度为处摆锤的速度为。由角动量守恒，有：ml(vo y)=Jc o,4 中 J=ml 2 在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的：m(v vr2)=Ja)2 2 2二式联立解得：L=色，g=要按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为=生1 o 4而杆的质心达到的高度满足-jc=mhc3h由此得h=2h1=一231 44 H例5：两个共轴飞轮转动惯量分别为，、J2,角速度分 别为电 曲,求两飞轮啮合后共同的角速度外。啮合 过程机械能损失。解：两飞轮通过摩擦达到共同速度，合 外力矩为零，系统角动量守恒。c7 69+J9699=(J+J)CD J_J_/、J_ 乙，G9N%共同角速度刃=J、CD.+J9699 J-J-/啮合过程机械能损失:J1+J2 1 2 1 2E=En E=(Je Jzz 0 0 1 1 0 N NJ32(1 口2)22(4+4)7)-(J+J 2)G31 45 E