数学物理方程与特殊函数.pdf

数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heM照等物理方程写特珠晶照数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。课程的内容三种方程、四种求解方法、二个特殊函数波动方程、热传导、拉普拉斯方程 分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法贝赛尔函数、勒让德函数数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四第一章一些典型方程和定解条件的推导一、基本方程的建立二、定解条件的推导三、定解问题的概念数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB、基本方程的建立例1、弦的振动-0.2-0.4-0.6-0.8-5-101条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。研究对象：(/)线上某点在t时刻沿纵向的位移。数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹翅因BBM.简化假设：(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。牛顿运动定律:数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heM其中：m=pd s(x+dx/)d u(x)|T-pg d s x mad x I d x a=d2u(x,t)d t2、d s p dx沏(x +dx/)T-pgd xd x d xp-dxd t2甘小 d u(x+d x.t)d u(x.t)d共中：-比-Td xd xd xd2u(x,t)d x=-d xd xd u2(x,t)F-Pgd xdx xd2u(x,t)PFdx数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMd x pd xT d u2(x,t)p d x2 IO U 22 a d t2忽略重力作用：d2ud t2ard2u(x,t)人 2 Tg h上/令：a=p 工Q3 一维波动方程自由项非齐次方程-=a2 齐次方程a%2数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB例2、时变电磁场从麦克斯韦方程出发:一 一 D xH=J+c 修N、D=p 万=0在自由空间：一 一D-E2=。，2=。月=万E x at t ime st ep=80500-50E y at t ime st ep=80H z at t ime st ep=80012.avi,Vx Hd HV x E=-u d tV E=0l方=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBBd Ef V x H=s d t x 石=一d Hd tV E=0V H=0对第一方程两边取旋度，得：f Vx Vx (Vx i)d t|根据矢量运算：Vx Vx H=V(V H)-V2H由此得：-寸二(d td Hd td t2a 2。2。2拉普拉斯算子：v2=+c 2 个 2 个 2o x o y o zd H 1 d H d H d H H-H-)o t o x o y o z磁场的三维波动方程同理可得：泛=Le d t电场的三维波动方程数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB例3、静电场确定所要研究的物理量：电势u根据物理规律建立微分方程：-Vu=E v f=p/s对方程进行化简：V 石=（一）=V.=V2 pl sV2l/=-p/泊松方程y2=o 拉普拉斯方程（无源场）数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四例4、热传导 热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。所要研究的物理量：温度根据热学中的傅里叶实验定律在d时间内从dS流入1/的热量为：d Q=k d Sd t=k(Vu-n)d Sd t=k Vu-d Sd t d n从时刻玄到3通过璇入 例热量为0,=广杼左V”d t高斯公式(矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分)Ql=(2k V2u d Vd t1 V数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四流入的热量：3=口 k 2u AVAt1 V流入的热量导致用的温度发生变化温度发生变化需要的热量为：Q=c pu x,y,z,t2)-u(x5 z9tx)dVv=IMVh d u.d/d V i d tVd t2=02vk 72u d Vd t=1M崇侬,?d u左V u-c p d t稳恒温度场：寿2=0=V2u=a2V2u 热传导方程 d t c p/_ hr”、2 2 八有热源：k=Q V +/d t数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导有界杆上的热传导（杆的两端绝热）Xit i26.a vi数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB二、定解条件的推导同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB1、初始条件一一描述系统的初始状态A、波动方程的初始条件系统各点的初位移0 系统各点的初速度、dt Z=0B、热传导方程的初始条件初始时刻的温度分布：（河/儿。=。（河）C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹翅因BBM.2、边界条件描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：“1=0=，或：=0(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。d uT d x0X Cld u d x=0 ux(a,t)=Ox=a(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧支承。d uT d xx=a或x=ad u-1-c u、d x二0 x-a=k7数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMB、热传导方程的边界条件(1)给定温度在边界上的值u=f S给定区域v的边界 第一类边界条件(2)绝热状态.=0 第二类边界条件(3)热交换状态 加,牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流 到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。d ud Q=k、(u%)dSd，=-k d Sd td n勺热交换系数;小周围介质的温度k一+a u=c rw j a=第三类边界条件d n c 5 k数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB三、定解问题的概念1、定解问题把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。定解问题的检验 解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB2、微分方程一般分类(1)按自变量的个数，分为二元和多元方程；按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程；按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。3、线性偏微分方程的分类按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导冏EBB多思考判断下列方程的类型c 2 02o u 2 o u-=Q x d t d xc 2 c 2O U 2 O Ur=Q +d x d td2u 2 d u-=a-1-xud x d t4、叠加原理 d(d u 1 d2u p d py d p)p SO0线性方程的解具有叠加特性Lu j f jJ=fLu j=0 Z/Lu 0U i VI几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。（物理上）数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB5、微分方程的解古典解：如果将某个函数代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。形式解：未经过验证的解为形式解。6、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四第二章分离变量法、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMd2U 2-a 0 x/0d t2 d x2（0）=0,（/）=0,，0a（x,o）（x,O）=0（x）,-=（x）,0 x II d t基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件 确定叠加系数。1/点a.物；向上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB有界弦的自由振动1求两端固定的弦自由振动的规律d2U 2a 0 x/0 8t2 8x2 0d u(x,0)(x,O)=0(x),-=(x),0 x /、d t令()=X(x)T(%)带入方程：X(x)T=/x(%)T)令 X(x)_ T(Q=_2X(x)-a 2 T X n(x)+2X(x)=0 T”+2a 2T=o带入边界条件 X(0)T)=0,X(/)T)=0X(0)=0,X(/)=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四X”(x)+2X(x)=0 X(0)=0，X(l)=0特征(固有)值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题特征(固有)值：使方程有非零解的常数值特征(固有)函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1)2 0 令;I=42,4为非零实数 X(x)=/c o s/7%+Asin/7%A=0B sin m=0n兀(=1,2,3,P 二2 2n 7i2:2n2 2n 7ti2(=1,2,3,T171X(x)=纥 smx(n=123,数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹 为2 个2O U 2 O U-a 0 x/08t2 d x2 0沏(x,0)(x,O)=0(x),-=(x),0 x C几 sm x 二夕d u(x.t)d t=i 00l n7ia n7iy Dn-sin x-i/(x)t=0 n=I I,/.2 r/1-COS(2n7l/)Isin-xd x=-Mx 二。/Jo 2 22，j i j i Z,n tcC=10(x)sin-xd x D=(x)sin xd x/Jo l 磔 J。I数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMf个2 个2C U 2 c uF=Q F，d t d x(0 N)=0,八、(、a(x，o)=(p(x),-=(x),d t分离变量(%)=x(X)T(00 x 0t 00 xlXf f+2X=0 TH+Aa2T=0求特征值和特征函数An=(/yX(x)=Js inn/r-x求另一个函数00求通解=2孙n=l,nm,n7iaT-C c o s-1+D sin-1n n I n I00 00=E XnTn=Z(0”c o s 受,+Dn sin=i n In7ia-/)sinn兀-x确定常数 Cn=f(p(x)sin 丝 x dx D=f(x)sin 竺 x dx/J。/nnah I分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB2解的性质n兀a n兀a 7u(X/)=(C c o s t+D sm Z)sm八 I n I I/?nj ia苴中 A Jc+D co=0-n N n n n/nr TITI厂x o时：un(x0,t)=An sin x0-L友时：%GM。)=4 c o s(GJ。6)sm-n=1.乃 o 2 sin x%=，l 力=2_c o _na _ _f-l g l/a*之F c z000 驻波法数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB例1：设有一根长为1。个单位的弦，两端固定，初速为零，初 位移为(x)=x(10-x)/10 0 0,求弦作微小横向振动时的位移。d2u 4-V=0 T，d t d x=i/(10,/)=05x(10-x)d u(x.O)u(x,0)=-，-=0,10 0 0 d t0 x 0t 00 x 10解：(x/)=X(x)T)XT”=104XTXX1 T104 T=XXf f+AX=OT+2104T=0(O/)=X(O)T)=O-X(0)=0(10/)=X(10)T)=0 kX(10)=0，X+4X=0,0 X 10X(0)=0，X(10)=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMX+4X=0,X(0)=0，0 x 10X(10)=02=-2 0?X+p2x=0X(0)=A=0X(x)=AePx+Be pxX(/)=/”+庆7=0X(x)=0X(x)=Ax+BX(x)=0X(x)=A c o s+B s in/3xX(10)=5sinl0 p=0 n)110,n=1,2,3，4=n2 j i2/10 0.、.n7iX(X)=6 sin-x 10数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施r个2 个2C U A o ur=10-d t d x0 x 0 0 x(10-x)d u(x.Q)i/(x50)=-5=0,0 x 1010 0 0 d t2=22/10 0,=23,Xn(x)=Bns m-x n 10Xf f+AX=0T+2104T=0T+2104T=0T+10 0 2 2T=0n nTn=cn c o s 10+D sin 10RUn 71-X3-Bn sin-c o s 10+D sin 10加)I。nn-(C7 c o s 10R+Dn sin 10R)sin-x00 00u=/un=(C c o s 10加+Dn sin 10R)sin-x=i=i 1数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMd t2 d x2 0i/(x50)=00 x(10 x)3i/(x50)，0 0 1010 0 0d t=Z(Q c o s 10 n7rt+Dn sM 10加)sinn=o oi/(x?0)=Z sin 10分=n=x(10-x)10 0 0nj i-x102 fio x(10-x).n7i 1C=-sin-x dx=-x(10-x)sin10 J。10 0 0 10 50 0 0 J。n兀-x dx102 0,=I-(1-c o s n7i)=45H 71.335 71d t00l nna nj rV D-sin-x=0乙/In=l I I为偶数为奇数D=0n 4u=y-c o s 10(2-1)加 sin5(2-If/(2-1)7T10X数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heM弦的振动振幅放大 100倍，红 色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3 时 的驻波。数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB例2求下列定解问题C U 2 C U a.d t d x(0/)=0,=0，d x/八、2 c7(x，)八u(x,0)=x-2/x,-=0,d t0 x 0t 00 x /解：(x/)=X(x)T)(0/)=X(0)T)=0XT=a XvTX 1 T”=-2 X a2 TXf f+AX=0Tf f+Aa2T=0d u(l.t),Lj-2=xf(/)r(o=o-d xX+2X=0,0 x 10X(0)=0,X(/)=0X(0)=04X(/)=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMX+；IX=O，0 xl X(0)=0,X(/)=02=-2 0+外=0X(x)=0X(x)=Ax+BX(x)=0X(x)=A c o s 分+5 sin/3xX(0)=A=0Xl)=B c o s)31=0Pn=(2 1)/2/,n=1,2,3,(2n-1)tt 4=(2 1)2 2/4/2 Xn(x)=Bn sm x数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹一=/0 x 0 X+AX=Od t d x 2T+X/t=o 0 4=(2“1)22/4/2W(x,0)=x2-2k 加 5)=0,0 Cn sm-x=xn=212-2/x2,9/2 T(2-1)tt 1 _ 321(x-2/x)sin-xd x=33。2/(2-1)式沏(x,0)_Da,一 乙 n%n=(2一1)乃-sm-x=02121D=0 n32/i u=-&(2-1)3(2n-l)7ia(2一1)c o s-1 sm-x2121数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heM32 1(2 1)q(2 1)%u=.-c o s-1 sin-x储 W(2h-1)21 21r c 2 c 2O U 2 o u-=d-,d t2 d x2(0/)=0,=0,d x,q 2 9 7 沏(x，)(x,U)=x-2/x,-St数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四例3求下列定解问题个2 个2 c u c ud t1 d x2 /)=t)=0,.d u(x,Q)u(x.O)=sm 7TX.-=0,d tk.解：=X(x)T)XT=XTXXT-=-XT0 x 0t 00 x 1(0/)=X(0)T)=0(l/)=)T)=0X(0)=0 Rl)=0Xf f+AX=0T+4T=0X+%=0,0 x 1X(0)=0,X=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四个2 个2c u c ud t1 d x2 i/(0,t)=n(l)=05.沏(x,0)i/(x5O)=sm 7ix.-=0,d t0 x 0t 00 x 1Xf f+AX=09 0 x 1X(0)=0，X=02=-2 0 Xrr+/31 X=0 X(x)=A c o s+B s in/3xX(0)=A=0,X(l)=Bs mj 3=0Pn=nj i.n=13 乙=22X(x)=Js in 放数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMd2ud2ud t2 d x1=i/(l,/)=050 x 0t 0/1rl=22,=u(x,O)=sin g,沏(x，0)=0，0 a:1 d tX(x)=5sin 放T+2T=0 窘+22,二 qTn=cn c o s 加+。：sin 加un=XJ=Bn sin 欣(C：c o s nj it+D sin nE)=(Q c o s 1171t+Dn sin sin 女00 00=V(C c o s n7it+D sin n7it sin n7ixn=n=lGO 1,(x,0)=ZC sin n7ix=s m 7ix=Jd u(x,0)d t00=V D n 7i s m n7ix=0N nn=lD=0nn=1 w 1u=c o s R sin g数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导个2c u c u-=7，0 x 0d t1 d x1 03i/(x,0)(x,0)=sin 7ix,-=0，0 x 1d tu=c o s 加 sin tzx23.a vi数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四例4求下列定解问题OU 2 C U 7-ct-9 Q x 0.d t2 d x2d u(中)J=0,-1-h u(/,0=0,Z 0d x/、/、9k(x，0),(x，0)=o(x),-=0，Q x Id t解：令(x/)=X(x)T)带入方程:=/丁X 1 T二=-XX a2 T(0/)=X(0)T)=0沏(/)-F nu(/)d x=X(l)T(t)+k XQ)T(t)二(/)+(/)/)=0X(0)=0,X(1)+7zX(/)=0X+4X=0T+2q2T=0X+2X=0，0 x /X(0)=0,X(/)+X(/)=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四X+2X=0,0 X /X(0)=0,X(/)+X(/)=0入=_02 0 X+X=0X(0)=/=0,X t a n 31-/3/hX(x)=Ax+BXXl)+h X(l)=A+h Al=0X(x)=0X(x)=A c o s 介+5 sin/3x)+h X(l)=BP c o s pi+劭 sin =0小八2,3,4二比X(x)=5sin Pnx数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四a U X 0d xa(x,o)(x,0)=o(x)，-=0,0 x ld tXf f+AX=0T+而 2T=o儿=尸;,=1,2,3,(X)=Bn sin/3nxT+%q2T=oT+62a2T=0h L n nT=Cf c o s B a t+Df s in 6 a t n n/n n/nu-XT-B sin/?xCf c o s B a t+sin/?a t n n n n k n L 几/n n/w J=g c o s pa t+Dn sin na t s m/3nx00 00=Z%=Z g c o s Pna t+Dn sin 尸/小in pnxnn=数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBBc 2 c 2O U 2 O U 丁 a ad t d x(0/)=0,-d x0 x 0,+h u(/)=0,/0M(x,O)_(x),ko,000 x /=Z g c o s Pna t+Dn sin qasin f 3nxn=lS(x，0)八.八上工=y D/?6Z sin/?X=0c/-nL n Ln=i00(x,0)=Z Q sin/3nx=q)(x)n=D=0no 0(x)g in J3md xj sin 2/3mxd x=j Cn sin 凡Sin/3=1=(x)sin f 3mxJOsin2mx dxcmCm00=S C c o s B a t s in B xN.n/n/nn=数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMsin x sin nxd x=0 m 彳 nw 0 m=n12(c o s(/3m+/?Jx-c o s(pm-pn)x dx JO s in（尸尸。/sin（分、一一/4 4+尸 凡12sin Bml c o s pn+c o s/3ml sin/3nl sin/3ml c o s/3n-c o s(3ml sin 0rliB+/3/m/nB-p/m/n-力（4+凡）（篇-凡）c o s pml sin pi-pn sin f 3ml c o s1 1 t a n B I t a n B I/n/m(3+3)(/3 一(3)B B c o s B I c o s f 3 I B BV/m/n 八 L m/n J/m/n/m L n 厂 n/m=0t a n/3l=_/3/h数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBBu(x,0)=(x)解：令(x/)=X(x)T)有限长杆上的热传导d u 2=a-5 0 x 0.d t d x2d u(l.t)w(0,/)=0,-F=0,t 0d x0 xl(0/)=X(0)T)=0加(/)-+h u(l,t)d x=X(l)T+k XQ)T=(/)+/zX(/)T)=0X(0)=0,X(1)+7zX(/)=0带入方程X 1 T-=I-=一2X a TX+4X=0T1+16z2T=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹X+2X=0,0 X /X(0)=0,X(/)+X(/)=02=-J32 0A=B=0X=0X(0)=B=0A=0X+/32X=QX(0)=A=0 t a n pl-13/h2=0X(x)=0X(x)=Ax+BXXl)+h X(l)=A+h Al=0X(x)=0X(x)=A c o s 4 sin/3xXQ)+h X(l)=Bj 3c o s j 3l+Bh sin 4/=00n=1,2,3,n/nX(x)=5sin Pnx数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹d u 2a，0 x 0,St d x 2=4/=123(0 0d xu(x)0)=(x)Q x u=V C e n a sin 13 x n n/nn=n=数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四9d u 2 d u 二 q r，d t d x（0,，）=0,-F（/）=0,d x（x,0）=0（x）0 x 0,t a n pl-/3/h00._,a 2 2,=C e sin P x n*nn=ti=0sin B x sin B xd x 00 x /m nm=n00（x,0）=Z sin/3nx-年（x）n=lf sin 2 x dxJo ml 8 I=j Z 0”sin 4“x sin 13mxAx=J（x）sin Bmxd xCmn=C=69（x）sin B xd x/sin2 xd x m Jo V 7 广团/Jo 广团00=V C c o s B a t s m B xN,n/n/nn-数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB例5求下列定解问题d u 2=a-，Q x Qd t d x2 Q(x，0)=Q x I解:令(x)=X(x)T 带入方程：TrX=a2TXf fTf X令-2=-=一丸v a 2 T XX+2X=0T+q22T=o(0/)=X(0)T)=0u(l Q=XQ)T(t)=0X(0)=0,X(/)=0X+2X=0 QxlX(0)=0,X(/)=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heM+AX=00 x 0X=0X=Ax BX=0X+(3?x=。X(0)=A=0X-A c o s+万 sin/3xX(l)=Bs m 例=02(乃 J九 n=Bn=，=1,2,3,一k I Jn7iX=5 sin-xn n p数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施d u 2二a-,d t d x2(0)=0,(x，0)=(x),Q x Qt 0Q xl2(乃、(二万=-，=1，3,一I I Jn兀Xn sin 丁 xTf+a2AT=0t.n7iu=C e s m-xn n r0T=A e n nu=、u=，Ce7.n/-nn=n=lnns in-xo o 72 兀m(x,0)=(x)=Z 0”sin-xn=I1一i.n n-A B e 1 s in-xn n r=f 0(x)sin x d xI J。Icn数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB例6求下列定解问题d u 2=a 0 x 0d t d x加(0)bu(l,t)=U,=0，t 0 d x-d x(x，0)=(x),Q x I解：a(o/),(x)=X(x)T-=x(o)r(t)=od xTX mJtx”Tf X-=一丸a 2T XX+XX=0T+q2=0d u(l.t),=X(/)T)=0d xX(0)=0,X(/)=0X+4X=0 QxlX(0)=0,X(1)=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMX+2X=0 0 x0 X+X=0X=As in)0 x+B c o s/3x2=0X(0)=/=0X”)=_/?sin)31=0n兀2nj iX=B c o s-xn n.数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMQU 2 标-Q d t d xd x d x（x，0）=0（x）,0 x 02=0 X=Bq(n兀、2=123T+a22T=0Q x0t 02nu=XT=A B e n n n n2 2 2 a n tin ti 5t n tic o s-x C e c o s-xi n Tl l a1 n nu=yu=Ca+yCe c o s-xN n 0 N n zn=0 n=l I数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heM u=Cn+Ce/n 0/.n0 x 0t 0Q x Cn c o s-xn=l Ic。1 J=-(x)dxI J。cn2 rl n7i=c p(x)c o s-xd xI J。I，思考 若0（x）=l则为多少？为什么会出现这 样的现象？数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹国heMo ou=、u=Cn+/.n 0=0o oV C e/j nn=2 2 2a n兀一 n7i1 c o s x有界杆上的热传导（杆的两端绝热）0（X）X,Q 1 051 1 0。1 ci I=-69（X）dx=/J。22 1 k兀Cn 0（x）c o s x dx2/（Z77T）2Xit i26.a vi数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施分离变量流程图数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹EBB三 拉普拉斯方程的定解问题1直角坐标系下的拉普拉斯问题O U C U力+”=，0 xa,Qybo x c y u(0,y)=y)=0,0 y bu(x,0)=(p(x),u(x,b)=(x),Q x a(O,y)=x-O(生 y)=X(a)Y(y)=0X(0)=0,X(a)=0“+孩=0，0 xaX(0)=X(a)=0u=XYXfY+XYf f=0X YX+4X=0y 4y=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四r c 2 c 2 o u o u-H-=05 0 a:6?0 y bc 2 c 2“o x o y u(Q,y)=u(a.y)=05 0 y b X+X=O,(x,0)=(p(x),u(x,b)=(x),Q x 0 X+X=0X=Ax+B X=0X=As in j 3x+B c o s/3xX(0)=B=0八 n兀13-na.nj iX=A s m-xn nX(a)=/sin/7a=02(7 Y2=分=，=1,2,3,一I Q Ja数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹2 个2O U C U-+-=05 0 x q，0 y c 2 c 2”o x o y u(0,y)=y)=0，Q y b(x，0)=0(x)，(x,b)=(x),Q x ab 2(7171 2=-,=123,I Q J.T171xn=4 sinxaY-AY=0 Y；K=0an7 n7iy-Y=C e。+Df e an n nUn-XYnun/nj r n 兀、y-yCfe 61+Dfe a A n n n7n7i smxa(n兀Cne an7r、-y+D e a sin n)1171-Xa00u=u=100=zn=(nnC e a nY17C、-y+D e a sin n)n兀-xa数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹d2u d x2=0,0 x。,0 y b(0,y)=0,Q y bw(x,0)=0(x),K(x,Z)=(x),Q x C e a/nYl-n7i-xann、-y+D e a s in n)n7i-xa00u(x.b)=W(x)=n=l(nnbC e a nn7vb 一 T171 a sin-xa2 ra nj iCn+Dn=0(x)sin-x dxaJo annb n7ibCne.(x)sin-xAx aJo an7ib n7i“(x)e一(p(x)s inxdx a2n兀bn兀b-Y171(x)e a-(x)s inxdx a2n冗bDe a-1ea-1数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹例7求下列定解问题d2u d x2d2u=,沏(0，y)d u(a.y)-=-=d x d x(x,0)=(p(x),u(x,b)=解：u=XrrY+XYrr=QXXY=X YXf f+AX=0Yf f-AY=00 x a.O y b0 y b0 x ad u(0,y),一=x(o)y(y)=od xSu(a.y)-=X(q)Y(y)=0d xX(0)=0,X(a)=0 X+2X=0,0 xa,X，(0)=X，(q)=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四 c u c ur-r=0，c 2 c 2o x o y沏(0，y)d u(a.y)-=U,d x-d x(x，0)=(p(x)u(x)b)=(x),0 x a,0 y by b J X+2X=0,Qxa0 x a(0)=(q)=02=-2 0 x +x=oX(0)=/#=0X=/3x+B c o s/3xX(a)=Bp sin pa 0Pnn兀a八 八2 n7i入n=Bn=#=1，3，I Q J7171X=B c o s-xn na数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四加(0,y)_ d u a.y _A U,d x d xi/(x90)=他(x),u(x,b)=(x),0 0 0 x q,0 y by b x 0u=X Yn n nynY1712 2n 7i2 a+o oU u/n=0Y=0nn7i-yDfe an=Co on7r n7ry-Y=C e。+Df e an n nBf c o sn)T171an兀yC e a+D en nnn、-y ac o sJn7i-xao o+zn=n7iJC r u r、-y+D e a c o s n)1171-Xa数学物理方程与特殊函数第1章 典型方程和定解条件的推导施c 2 c 2O U O Uc 2 c 2o x o y沏(0/)_d x=0,0(Q,J)d x=0,(x,0)=(p(x),u(x,b)=(x),0 x q,0 y b0 y b0 x 000(就+y C e a/nn=I+Den?r b、r u e a COS-XC2 n兀C n+Dn=一 0(x)co s-xdxa Jo an兀 co s-xdxa2n;r bDnnbn/r-xdxanj iba 0(X)nn co s-xd xae a-11 pa 1 paDo=0(x)dx C0Z+Z0=(x)dx a Jo a Jo2n7ib数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导施至四例8求下列定解问题c 2 c 2O U O U-r=，o x o y(0,y)=u(a,y)=0，h(x,0)=o(x)，(x,o o)=0,0 x q，0 y oo0 y oo0 x a解：u=XYXrrY+XYrr=0X YXrr+AX=0Yf f-AY=0M0)=X(0)y(y)=0(/)=X(a)Y(y)=0X(0)=0,X(a)=0“XH+AX=0,0 xaX(0)=X(a)=0数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹C U O U+-=0，0 x Q,0 yo od x d y(s，“仆 c w(09y)=u(a,y)=0，0 y oow(x,0)=o(x),(x,o o)=0，Q x a4=Q x X=0oX+J32X=0X(0)=B=0八 n兀B=-i na n兀X=B s m-xn nX=As m/3x+B c o s/3xX(a)=/sin z=02(nn入 n=Bn=，=一I Q Ja数学物理方程与特殊函数 第1章典型方程和定解条件的推导囹c 2 c 2O U O U-r+-r=，o x o y(0,y)=u(a,y)=0，w(x,0)=o(x),(x,o o)=0，/A2 n7i 0 XQ，0 yOO 一/I Q J0厂0=5 sinn n0 x aE=123,nn-x aYf f-AY=On兀 n兀 n7iy-y Y=Cfe a+Dfe a=Dfe an n n n7run=XnYn=Dr。a Bn sin-xYITC-y.