数形结合在高中函数中的巧用（朱克红）.doc

数形结合在高中函数中的巧用
安顺市第一高级中学 朱克红
（理科） （发报纸） 贵州安顺房伟华推荐（朱克红）老师.
所谓数形结合是指把问题的数量关系和空间形式结合起来考察，根据解决问题的需要，既分析其代数意义，又分析其几何意义，使二者巧妙地结合起来，恰当地进行转化，以求较简的解题思路。利用数形结合思想方法，一方面通过图形的直观性可以使许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，另一方面可以将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论，数形结合思想方法是高中数学中解决问题常用的一种解题方法和思想方法，尤其是在高中函数问题的解决中，它可以拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能力，故已经成为解决函数问题不可缺少的有力工具.下面我用几个典型的例题来呈现数形结合思想在高中函数中的巧妙之用。
一、解决复数中模的问题
例1 已知复数的模为2，求的最大值。
y
x
O
．i
．
-2i

Z
解法一（代数法）设

解法二（三角法）设
则

解法三（几何法，即数形结合）

如图所示，可知当时，
解法四（运用模的性质）
，而当时，
解法五（运用模的性质）

又

如图所示，可知当时，
【点评】由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这是一道“一题多解”的题目，而其中数形结合则是其中比较简洁快速的方法，是教师重点培养学生的方法之一。
二、解决函数中的不等式问题
例2. 解不等式
解 设 ，即 对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是。
【点评】此题也可以用代数方法分类解决，但是学生容易直接两边平方来解答，从而导致错误.而利用数形结合思想方法，可以轻松解决问题，大大减少了运算量，答案准确且不容易出错。
三、解决函数中的交点个数问题
例3.求方程的解的个数。
解 原方程的 解的个数等价于函数的图象与的图象的交点个数。由,先确定x的取值
为（0,10） 然后在同一平面直角坐标系中
作出两个函数的图象，如图，从图形上可
直观地看出两曲线有3个交点，故原方程
有3个实数根.
【点评】此题用代数方法解决是没法得到结论的，而通过方程与函数关系的转化，利用数形结合思想方法解决，简洁快速，事半功倍.
四、函数中的不等式问题
例4 已知求证：
分析1 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。
证法1 要证 只需证
即证 又因
故只需证
即
因为不等式恒成立，所以原不等式成立。
分析2 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）
证法2
即
分析3 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。
证法3 可设

分析4 数形结合法：由于条件可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而联系到点到直线距离公式.
x

M·
y
d

O
证法4 （数形结合思想）因为直线经过
圆的圆心O，所以圆上任意一点
到直线的距离都小于或等于圆半径1，
即
【点评】四种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法，尤其是数形结合思想方法，值得注意，掌握好这种方法，能够大大的提高解题的速度和效率。
从上面一些典型的例题中不难发现，数形结合的思想方法能扬数之长，取形之优，使得数量关系与空间形式相映生辉。因此，教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，为达到快速、有效地解决问题奠定良好的基础。