探索勾股定理.doc

《勾股定理》教学设计
教学目标：
知识与技能：
（1）理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够运用勾股定理进行简单计算和运用；
（2）通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
过程与方法：
在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。
情感态度与价值观：
（1）在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣。
（2）利用远程教育资源突出介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
教学重点及难点：
【教学重点】勾股定理的证明与运用
【教学难点】用面积法和拼图法等方法证明勾股定理
【难点成因】对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。 
一、创设情境，探索新知
情景导入：

问题1：你如何与外星人沟通？
假如我们一旦和外星人见面，你会使用什么语言呢？
使用“符号语言”与外星人联系是最经济和最有效的，外星人也最可能使用数学语言。数学家华罗庚认为，我们可以用“数形关系”（勾股定理）作为与外星人交谈的媒介。
（激发学生的兴趣点，体会数学符号语言的意义）
问题2：听说过勾股定理吗？说说你搜集到关于“勾股定理”的关键词？
（掌握学生对勾股定理的认知水平，最好能说出与勾股定理的具体的内容，更方便的引入新课）
二、实例结合，掌握新知
活动一：穿越古代，提前发现勾股定理。
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边之间的某种数量关系。恰巧你穿越古代，你也刚好在场，可否比他提前发现？

活动任务：比毕达哥拉斯提前发现直角三角形的三边之间的某种数量关系，尽可能的说出你更多更深入的发现。
活动要求：
（1） 对正方形进行剪切、拼贴然后再将它们关联，组员先自己发现，总结自己的发现
（2） 小组总结本组内发现的数量关系。
展示要求：两人出示图形，一人讲解过程。
学生预设1：丰富的图案都是由等腰直角三角形色块作为基本单元构成。不同的组选取了不同的等腰三角形。
抛出问题1：请展示你找到的基本单元结构。
学生预设2：通过进一步的观察或者手工拼图可以发现用等腰直角三角形拼正方形的基本方法，从而发现等腰三角形与正方形的结构关系。

A    　　　           B
抛出问题2：你找到的等腰三角形与正方形的结构关系是怎样的，请展示。
学生预设3：以不同的等腰直角三角形的三边为边长建立正方形，而且它们之间有面积关系以两腰为边长的正方形的两个面积和等于以斜边长为边长的面积。（基本从拼接角度）

抛出问题3：小组探究的过程及其思路能否展示？(小组展示)
教师：勾股定理在等腰直角三角形中的体现，两腰的边长的平方和等于斜边的平方。
抛出问题4：是不是任何一个等腰三角形都满足？其他的直角三角形中三边呢 ？会存在什么样的数量关系？
（通过讲传说故事来激发学生学习兴趣，引导学生进入学习状态。 分别以等腰直角三角形的三边为边长建立正方形，不仅能体现出数形结合的思想还能启发我们进一步地讨论直角三角形的有关性质）
活动二：寻找其他直角三角形三边的数量关系

(把注意力从地面图案转移到书桌上，让学生感知正方形网格图的实用性与便捷性。）
活动任务：利用网格探究直角三角形中三边数量关系：
活动要求：（1）利用测量工具，利用计算，利用网格独立探究直角三角形中的数量关系
（2）小组总结发现。
展示要求：两人出示图形，一人讲解过程。
学生预设1:画一个两直角边分别为2,3的直角三角形，并以它的三边为边长建立正方形，利用面积证明。

抛出问题1：你是如何计算那个建立在直角三角形中斜边上的正方形面积的？
关于斜边上正方形的面积计算，除了突出正方形的水平外框，还可以（运用图形中存在的整体与部分、部分与部分之间的关系）展开探索性的联想，以获得算法多样性体验。
学生预设2: 如图画四个两直角边分别为3，5的直角三角形。
（部分学生预习工作做到的话会想到，如果学生未想到，教师补充）
抛出问题2：如何证明直角三角形的三边的数量关系呢？讲解详细思路。
定理得证：直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
活动三：让学生模仿数学家的思维过程，亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力.
抛出问题1：同学们提到关于勾股定理的关键词“赵爽” ，我国是最早发现勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载：公元前1100年人们已经知道“勾广三，股修四，径隅五”. 故将此定理命名为勾股定理。
哪个小组能够展示下赵爽的证明过程。(难度系数高，可教师讲解)
赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空部分是小正方形（黄色）。

赵爽的弦图证明方法，动态展示。

抛出问题2：我们看见了什么？我们想到了什么？我们知道了什么？我们要做什么？你能找到其她证明方法吗？
学生预设1：由建立在斜边上的正方形面积等于两个正方形的面积之和想到：选定其中一个直角三角形，在它的两条直角边上建立的正方形，并标明相关线段的长度。

展示分割、拼接的过程，展示拼图出的效果鼓励学生代表作示范演示，再利用多媒体动画演示把两个正方形拼接的底边和（a+b）根据加法交换律写成（b+a），再建立大正方形的斜边。
抛出问题3：说说对赵爽弦图的证明过程的感受。 
赵爽弦图表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智：它找到了一个：把两个较小的正方形通过分割、拼接成一个大正方形的方法，同时还以动态效果证明了勾股定理！既有理论目标又有指导实践服务于生产生活应用的意义。
（让学生模仿数学家的思维过程，亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力。）
活动四：实践应用——拓展提高
1、已知一个直角三角形的两边分别为3,4则另一边为
2、三角形的三边长为,则这个三角形是( )
A.等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
3．在△ABC中，∠C=90°AC=9m，BC=12m ．
①求△ABC的面积；
②求斜边AB的长；
③求高CD。
4．如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了多少？

5．试一试：你能把两个边长分别为5，12的正方形经过切割然后拼成一个正方形吗？
得到的新正方形它的边长又是多少呢？
（熟练应用勾股定理解决实际问题。）
活动五 ：回归小结——各抒己见