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我与小学数学
纳雍县雍熙一小：王成华
《义务教育课程标准》（2011年版）指出数学是研究数量关系和空间形式的科学。我是一名小学教师，因此与小学数学结下了不解之缘，下面谈谈我对小学数学及小学数学教学的一些认知，与各位同仁分享，不妥之处，敬请谅解。
一：从“乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海”的良好感觉开始。
接触小学数学有两次特别的时间段。
在启蒙读书的时候，一年级开始就有数学这门学科。在我的记忆里老师教学的方法是：概念教学先把概念抄在黑板上，不管教科书上有没有对相应的概念，然后就背概念，我的记性不差，在很多时候能够把老师写出的概念一字不漏地背出来，甚至能够默写出来。有时候同学记不了某个概念，老师会对其他同学说去问问王成华，那种感觉真好。如果是计算教学：老师会把计算法则写出来，让我们写在书上，然后背，背书是我的强项，一般情况下，我属于先背得来，法则背得来，计算时边记法则边计算，慢慢的套算，训练的时间多了，法则也背得熟练了，计算的速度也就快了。在这样的学习环境中，能背就是好，其他背不来的同学数学成绩自然赶不上我们背书厉害的那一批同学。
期末考试下来，我们能背的这一批同学的分数自然在班上是属于高分，在班上考试厉害的学生就是老师心目中的好学生。记得我的邻居与我是同一个年级，他爸爸是一个老师，在城里工作，也就带着他在城里读书，每次他回老家总是要找我玩，每次我们相聚的时候都会问问彼此考试的分数，我的考试分数就是比他低。后来我干脆和他比赛背书，我能背好多数学概念和计算法则，而他却不知道我背的好多东西是什么。当他问我所背的内容是什么的时候我也说不清楚，支支吾吾过去了。于是我就想分数高算什么，我能背，心里特别得意，能背就是好。
参加工作，选择了小学数学学科的教学。在师范学校里也学了小学数学教学的基本知识和掌握了小学数学教学的基本技能。于是拿着小学数学书，凭着自己的经验，开始教书，让学生把法则背起来，把概念记下来，再加上自己的理解，给小学生讲授的数学知识的时候口若悬河，滔滔不绝，一、二年级的知识能用四、五年级的知识来讲解，在教科书的第二学段才出现的知识，我能在第一学段就教给学生了。有一种“乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海”的良好感觉。当时的心里就想上课没什么困难，尤其是数学课，真是顺手拿来。
比如在教学认识符号“=”、“>”、“<”的时候，我是这样教学的：“看开口，开口大的一边对着大数，尖角那边对着的是小数。同样多就用“=”。学生在考试做题目不会错，心想这真是一个好方法。
用背诵文本法则，死记计算公式和概念，凭感觉上课的教学效果好与不好？检验就知道，上课过后学生知其然，不知其所以然。学生考试的成绩不理想，在现实生活中学生不知道数学的运用有哪些，学生感觉到数学与现实生活没有联系，感觉数学真难学，不能把文本法则转化为有依有据的个人经验法则。
二：从“道可，道非，常道”到“无可奈何花落去，似曾相识燕归来”的犹豫徘徊。
偶然的机会，调到纳雍一小。在这儿，学校里的老师比下面乡镇学校的老师多了很多，有了和大家交流和请教的机会。学校很注意教师教学业务能力的培养与提高，每个学期都要搞很多的教研教改活动，上课，观课，议课，评课，说课。刚开始的时候老师们的评课和说课的内容对我来说，犹如天外飞仙，空中来客。比如杨兴文校长，肖成显，穆飞，曾维蔚，杨莉，陈圆，王淑彬，王弢，杨洪文，郭远琴等老师，他们能对一节数学课说出好多优点，有哪些新的理念，表现在什么地方，也能提出需要改进的意见，让上课的老师有所成长。我对他们非常羡慕，想想哪天才能像他们一样该多好啊！
俗话说得好，认为自己聪明的人其实是最愚蠢的，做事情感觉太好不一定结果都好，要看你的路子和方法对不对。一时间我就想到“南辕北辙”，“缘木求鱼”等故事在生活中竟然有好多的模型，而我就是其中的一个。我开始反思，把自己想成一个不聪明的人，于是就不自作聪明，笨鸟就先飞。我向老师们请教，寻找治愚之法，于是得到：“书，犹药也，善读可治愈。”读什么书？读能改变自己原来不好的想法和做法的书。在我的诚恳的请求下，大家为我推荐了这些书。《义务教育数学课程标准》，《和吴正宪老师一起读数学新课标》，《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》，《小学数学教师》，《吴正宪给小学数学教师的建议》，《吴正宪课堂教学策略》，《听吴正宪老师上课》，《听吴正宪老师评课》等。
这样我知道了义务教育阶段的数学分成四部分：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。
数与代数部分有：数的认识（整数的认识，分数、小数和百分数的认识、负数的认识、数的整除性、数的简单应用）、数的运算（整数运算，分数、百分数、小数的运算，估算、计算器及算法的交流，问题解决与常见的数量关系）、常见的量（货币单位，时间单位，质量单位）、探索规律、式与方程（用字母表示数，简易方程）、正比例和反比例（比和按比例分配，比例、正比例和反比例）这六部分。
图形与几何部分有：图形的认识（线和角，图形的特征，观察物体）、测量（线段，角，平面图形，立体图形，不规则图形）、图形的运动（平移，旋转，轴对称，图形的缩放）、图形与位置（方向，位置，线路图）这四部分。
统计与概率有：统计（数据，统计表，统计图，平均数）、概率（必然现象，随机现象和等可能现象）这两部分。
综合与实践不是在其他数学知识外增加新知识，而是增强数学知识的整体性，现实性和应用性。它沟通了生活中的数学与课堂上数学的联系，使得“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”的知识以综合的形式出现，从而让学生加深对这些内容的理解，体会各部分之间的联系，帮助学生全面地认识数学、了解数学。
案例：百数表—数的顺序

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教师教学用书的指导，可以按三种顺序教学填数：
1、横行填数（从左到右就就是从小到大），发现规律，每一行数的前9个数个位不同，十位相同，都是由相同的十和不同的一组成的，而最后一个数都是几十九加一，每相邻的两个数之间相差1，前一个数比后一个数少1，后一个数比前一个数多1。
2、竖列填数（从上到下就是从小到大），发现规律，同一列的数个位相同，十位不同，都是由相同的一和不同的十组成的，每相邻两个数之间相差10，上一个数比下一个数少10，下一个数比上一个数多10。
3、斜排填数：从左上到右下填数（从小到大），发现规律，每一斜排相邻的两个数之间相差11，；从右上到左下（从小到大），发现规律，每一斜排相邻的两个数相差9。
我对教科书的解读，两个卡通（萝卜和番茄）代表两个小学生，用自己的语言说出了横行填数和竖列填数的规律，而茄子卡通（老师）提出了你还发现什么？这时班上部分学生就举出还可以斜排填数，当我问举手的学生是怎样想的？学生都回答不上来。这时我就想：“教科书示范了两种填法，而这两种填法学生在老师的引导下多数都能知道规律，并能看着百数表说出规律；而斜排填数，学生没有学过两位数加、减两位数，如果引申过多，就会让学生疲倦，关键是学不懂，于是就放弃斜排填数的规律的寻找，把主要精力用于熟练横行填数和竖列填数的规律。”有经验的老师说过，一节课不可能面面俱到，要抓住重点，学生已经懂了的不教，教了学生还是不懂的不教。
数学知识的编排是分段编排，螺旋上升，同一知识在不同学段的要求不相同，绝不是同一知识的重复。在教学的过程中知道那些是基础、哪些是突破，哪些是孕伏，能处理知识之间的生长、突破和孕伏，对似曾相识的知识能区分主次，了解教科书编排的意图，不到处延伸，相对能够抓住重点，难点，而不是平均用力，抓住数学与生活，数学与其他学科之间，数学知识之间的联系，把12本教科书联系在一起，加强数学知识之间的前后联系，尽量做到课堂的有效。
三：从“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”到“初谓不及，中则过之，后乃通会”的逐渐清晰。
参加了贵州省杨兴文小学数学名师工作室，收获颇多，这里数学教学高手云集，是一个提升数学教学和业务能力的好地方，受杨校长的熏陶和感染，向各位同仁取经。我发现数学是一门研究关系的科学，数学与生活的联系，数学与其他学科之间的联系，数学知识之间的联系，数学的教学是思想的传授，领悟数学思想是小学数学教学的理想境界。
在2011版《课标》中的十个核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、计算能力、推理能力、模型思想，应用意识和创新意识。在数学思想方面都对这十个核心概念有所涉及。最主要的三种数学思想：数学抽象的思想，数学推理的思想，数学建模的思想。从每一种基本思想中又派生出一些数学思想。
数学抽象思想及派生思想：
1、抽象思想：指脱离了具体内容的形式和关系。舍弃了事物的其他方面而仅保留数量关系和空间形式，数学所研究的那些“抽象的东西”是源于客观世界的，源于人类经验的。数学中的任何概念、定理、法则等，都有抽象性。比如，自然数1就是从生活中的一个人、一棵树、一只鸟等这些具体的事物中，去掉质的内容，抽象出数量“一”，用“1”这个符号表示。当然，数学概念中也有很多不是从现实原型中抽象出来的。比如，虚数、复数等概念的抽象就是在数学抽象的基础上构建出来的，并不是从自然界的某个原型中抽象出来的，也就是数学不同于其他学科的特点。
2、分类思想：根据对象的某一属性特征把事物不重不漏地划分为若干类。科学的分类一般要遵循逻辑原则：(1)变域明确原则：分类对象的集合即变域必须是明确的。（2）标准同一性原则：每一次分类的标准必须是统一的。（3）不漏原则：分类必须是完整的，不出现遗漏。（4）不重原则：所有分类之间必须是互斥的，即所分的各类别之间不能有交叉重叠，一个对象只能归属一类。分类结果在统一标准下的一致性和不同标准下的多样性是分类活动的基本特点。
3、集合思想：把事物或事物之间的联系概括成总体或总体间关系的思想方法。
4、数形结合：通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。《课标》在对“几何直观”进行阐述时指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。这里凸显了数形结合是几何直观的重要方法和手段。华罗庚（1964）先生在他撰写的《谈谈蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中有这样一首小诗：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。数形结合的具体体现为“以形辅数”和“以数解形”。在小学主要是以形辅数。
5、对应思想：指两类事物（集合）之间建立某种联系的思想方法。比如，比一比中，学生通过一个对着一个摆和连线活动，体会着对应的思想，在直观的基础上理解“多”、“少”、和“同样多”的含义；在倍数及分数解决问题中，抓住量和率的对应关系是解决问题的关键；在用数对确定位置中，数对与平面上的点一一对应。如数和形的对应、量和量的对应、量和率的对应、数量的变化规律，都需要寻找对应的关系，利用对应的关系解决问题。
6、符号表示思想：用一种符号代替原物，不用原物而用符号进行表示、交流、运算等活动的思想。在2011版《课标》中，符号意识作为十个核心词之一得到明确：符号意识指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。如表示数量关系的“=”，“〉”、“〈”和“≈”，四则运算的符号“＋”、“－”、“×”、“÷”等。
数学推理中的思想。
1、化归思想：可以理解为“转换”和“归结”。就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
2、类比思想：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出他们在其他方面也可能相同或相似的推理方法。比如四则运算定理和性质由整数到分数、小数的推广。郑毓信（2008）在论述数学的类比时指出：成功运用类比的关键是“求同存异”。所谓“求同”，就是在抽象分析的基础上找到两个对象的相似之处，这是产生联想的必要前提。所谓“存异”则是指新的猜想并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作。特别是由已知事实去引出新的猜测时，必须注意分析两者之间存在的差异，依据具体情况做出调整。
3、极限思想：指变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及趋向的数值。极限包括数列极限和函数极限。如，圆面积公式的推导渗透极限思想。
4、代换思想：又称等量代换，即在数量关系中，将一个量用它相等的一个量来代替。用等式的性质来体现就是等式的传递性。代换的价值在于使问题简单化。在代换时要有优化意识，如存在倍数关系和相差关系的两个量用较小数代换较大数会比较好计算。
5、假设思想：通过对数学问题的一些数据做适当的改变，然后根据题目的数量关系进行计算和推理，在根据计算的数据与原数据的差异而进行修正和还原，最后使得问题得到解决的思想方法。如“鸡兔同笼”，解决分数问题时把总量看成“1”，反证法等。在小学数学里假设思想的运用有“假设替换”和“假设调整”两种情况。
数学建模思想中的函数思想：函数，就是一个量（应变量）随着另一个量（自变量）的变化而变化的一个数学模型。在变化中寻找不变，并把握规律的重要性。函数的核心就是刻画变化中的不变，变化的是“过程”，不变的是“规律”。学生愿意去发现规律，并能将规律表示出来的意识和能力，就是函数思想在数学中的渗透。
案例：综合与实践—包装中的数学
1、如何根据需要进行包装，联系实际，哪种包装节省用纸。
2、渗透对应、分类、化归、极限等数学思想。
材料：长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是4厘米。（有若干个）
步凑：
（一）尝试拼摆
选2个这样的纸盒包装在一起，会有几种不同的包法？想象一下。每个学生拿出两个，开始拼摆。学生汇报交流。共有3种摆法。（图略）
（A）上、下重叠，（B）前、后重叠（C）左、右面重叠
（二）讨论交流
问题一：那种包装方法最省包装纸？学生选择（A）
方法一：用组合的长、宽、高进行面积计算。
方法二：用两个盒子表面积的和减去重叠的两个面的面积。
问题二：如果不计算，你能判断出哪种包装方案最省包装纸吗？
通过刚才的拼摆活动，学生根据当两个盒子拼在一起时重叠消失了两个面，重叠的面越大，消失的面积也越大，而A重叠的是最大的面，所以它的表面积也就最少。教师借助课件帮助学生理解，并得出重叠最大的面可以使包装纸尽可能减少的结论。
（三）由浅入深，探究规律
1、如果有4个这样的长方体，可以有多少种包装方法？怎样包装最省纸？还是重叠最大面吗？
2、小组合作尝试拼摆，记录拼摆的方法。
3、学生汇报交流、展示（图）

4、出示学生拼摆的方法数据：
共有（6）种方法
长（cm）
宽（cm）
高（cm）
1
40
6
4
2
10
24
4
3
10
6
16
4
20
12
4
5
10
12
8
6
20
6
8
5、观察表格：发现列举时有那些规律？
前三种长、宽、高依次扩大4倍，后三种两两扩大2倍。
共有（6）种方法
长（cm）
宽（cm）
高（cm）
1
10×4
6
4
2
10
6×4
4
3
10
6
4×4
4
10×2
6×2
4
5
10
6×2
4×2
6
10×2
6×2
4
问：能将摆出的图案与表上的数据对应起来吗？
学生对应：1—C,2—A,3—B,4—D,5—E,6—F
6、提出问题：还是重叠最大面的包装省纸吗？为什么？
交流发现：现在第E种表面积最小。因为两两组合成表面积最小的图形，现在最大的面不是前面，而是上面。所以。应该把两个图形上下叠摞起来。
7、交流发现：最省纸的方法为长、宽、高都比较接近。
（四）发现规律，运用规律
1、提出问题：如果个数增加到6个，可以有多少种包装方法？怎样包装最省纸？你打算怎样研究？小组交流。
2、汇报结果：有的小组要继续拼摆，有的小组根据列表进行选择。
3、自助选择：根据自己选择的方案—可以单一用一种，也可以结合使用，进行小组研究。
4、汇报
5、拼摆的方法如下（图）：

问：说说是按照怎样的顺序摆的？
可以分成一层、两层、三层的顺序进行分类摆。还可以把前后重叠后形成的立体图形从前后、左右、上下摆，有3种；同样，把左右重叠的立体图形按三个方向摆也是3种；把上下重叠的例体图形按三个方向摆还是3种。这样最终共有9种。
6、列表的方法如下
共有（9）种方法
长（cm）
宽（cm）
高（cm）
1
60
6
4
2
10
36
4
3
10
6
24
4
20
18
4
5
30
12
4
6
10
12
12
7
10
18
8
8
20
6
12
9
30
6
8
7、交流
问:最省包装纸的是哪一组？
在拼摆的图形中是G,在列表中是第6种，及“10，12,12”这一组。
问：能否发现其中的特点？
从拼摆的图形中可以看出，这个长方体比较接近正方体；从列表的数据中可以看出长、宽、高三组数据比较接近。
问：从两个长方体—四个长方体—六个长方体的探究过程，在寻找最省纸的方案中，你发现了什么？
（1）量变到质变：起初是重叠前面的大面，后来变成四个长方体后就要重新考虑大面了，变成了上下面：增加到六个面后，同样需要考虑那个面最大，然后重叠。
（2）变中蕴含不变：就是从一开始数量的变化，发展到不论怎样变化都要保证每次重叠最大的面，这就是不变的规律。
（3）拆分与组合：从列表的规律中可以看出，要想找到共有多少种方法，只需先将个数拆分成两个或几个数相乘，然后分别与长、宽、高相乘，进行组合，就可以得到一共有多少种了。
（4）拼摆与列举：起初简单的两个、四个长方体，大家都喜欢摆，但随着数量的增加，很多学生拼摆时总是出现重复或遗漏的情况，但是如果用列举就显得简单多了。从动手操作到动脑思考，按照顺序与规律进行列举，是一种飞跃。最后，还可以根据列举的结果对应着进行直观想象，这样可以更好地建立空间观念。
（五）小结
生活中的包装也不一定都是从节约的角度去考虑的。可以根据美观新颖，广告宣传，寓意等，我们要灵活选择包装标准。
数学是一门科学，小学数学是一门基础的学科。义务教育阶段数学课程的基本理念是：人人都能受到良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。数学的本质在于思考的充分理由，让学生抓住数学与生活的联系，数学与其他学科之间的联系，数学知识之间的联系，解决问题有依有据。《西游记》里有这样一首小诗，讲述唐僧师徒西天取经路上的艰辛：“十里长亭无客走，九重天上观星辰。八河船只皆收港，七千州县尽关门。六宫五府回官宰，四海三江罢钓纶。两座楼头钟鼓响，一轮明月满乾坤。”真正的把小学数学教好，其艰难程度也不亚于唐僧师徒的西天取经。在小学数学教学中要求取真经，多问问经验丰富的老前辈，多向经验丰富的专家、同行学习、请教，只有思想正确，方法得当，才能事半功倍。