均匀试验设计.docx

均匀试验设计
1. 问题 的提出

正交试验设计 是利用具有正交性的表格——正交表来安排试验，使试验点具有“均衡分散、综合可比”的特点。
“均衡分散”即均匀性，使试验均匀分布在试验范围内，每个试验点都具有一定的代表性，实现以部分试验反映全面试验的情况，大大减少试验次数。
“综合可比性” 使试验结果的分析十分方便，以利于分析各因素及其交互作用对试验指标的影响大小及规律性。
正交试验设计存在的不足之处：
u 为了保证综合可比性，对任意2个因素而言必须是全面试验，每个因素的水平必须有重复。
u 这样的试验点在试验范围内就不能充分均匀分散，即试验点数不能过少。对于水平数为t的正交试验，至少要做t2次试验。当水平数t较大时，t2会很大，试验次数会很多。
例如：t=9，t2=81，即试验至少要做81种组合，这在实际中是难以实施的。因此，正交试验设计只适用于因素水平不太多的多因素试验。
综上所述，正交试验设计为保证“综合可比性”，在相同的试验组合数下，使均匀性受到一定限制，试验点的代表性还不够强，试验次数不能充分的少。
2 均匀试验设计的基本思想

如果不考虑综合可比性，而完全保证均匀性，让试验点在试验范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的实验结果。
这种完全从均匀性出发的试验设计，称为均匀试验设计（uniform design）。
例如： 对于5因素3水平试验。
u 利用正交表L25(56)安排试验时，至少要做25次试验，每个因素的水平都重复做了5次。
u 如果每个水平只做1次，同样做25次试验，在因素水平范围内，每个因素分成25个水平，则可使试验点分布得更均匀。
u 由于均匀试验仅充分利用了试验点分布的均匀性，而舍弃了综合可比性，所获得的适宜条件虽然不见得是全面试验中最优条件，但至少也在某种程度上接近最优条件。
u 这样，不仅可以满足试验的一般要求，也为深入研究各因素的变化规律和进一步寻优创造了条件。
3 均匀试验设计的特点

a在因素水平较多的情况下，可以节省大量的试验工作量
例如 74试验，全面试验要做2401次，正交试验也至少要做72＝49次试验，而用均匀试验仅需7次。
因此，对于多水平的多因素试验、试验费用昂贵或实际情况要求尽量少做试验的场合，或筛选因素及收缩试验范围进行逐步寻优的情况，均匀设计都是十分有效的试验设计方法。
b.均匀设计的试验结果不具有综合可比性
由此，对其试验结果的处理不能采用极差或方差分析，而必须用回归分析，所以试验结果处理较为复杂，这是均匀设计的一个缺点。
4 均匀设计表

与正交试验设计相似，均匀设计也是利用一种表格来安排试验的，我们称之为均匀设计表（table of uniform design），简称为均匀表。
均匀设计表是根据数论在多维数值积分的应用原理构造而成的，它分为等水平表和混合水平表两种。
7.2.1 等水平均匀设计表
.等水平均匀设计表的表达形式→Un(tq)
各符号的含义如下：
均匀设计表 因素个数

U n（ t q ）

试验次数 因素水平数

常用等水平均匀设计表
附录中给出了常用的等水平均匀设计表。
表7-1是一张最简单的等水平均匀设计表U5(54)，它最多可安排4个因素，每个因素5个水平，共做5次试验。
表7－1 U5（54）均匀表

2. 等水平均匀设计表的特点
① 个因素的每个水平只做1次试验 ；
② 任意2个因素组成的试验组合画在平面格子点上，每行每列恰好有1个试验点；
例如 将U5（54）第1、第2列，以及第1、第4列各水平的组合分别画在如图7-1（a）和图（b）所示的平面格子点上，显然，每行每列恰好有1个试验点。

③ 水平均匀表任意两列之间组成的方案不一定是平等的
u 由图7-1可以看出，图（a）中试验点的分布比图（b）中的均匀性要好。
因此，使用均匀设计表时不能随意挑选列，而应选择均匀性比较好的列。
u 具体设计时应该怎么办？
一定要根据等水平均匀设计表的使用表安排试验。
表7－1 U5（54）均匀表

表7－2 U5（54）的使用表

表7-2为均匀设计表U5(54)的使用表。它规定我们在利用U5(54)表进行均匀试验时：
若有2个因素，应该用第1、第2列；
若有3个因素，应该用第1、第2、第4列。
附表中给出的均匀设计表，都附带一个使用表。进行设计时必须遵循使用表的规定，才能达到好的效果。
④ 平数为奇、偶数的表之间，具有确定的关系。
将奇数表划去最后一行，就得到水平数比原奇数表少1的偶数表；相应地，试验次数也少，而使用表不变。
例如： 将U7(76)划去最后一行，就得到了U6(66)，使用表不变。因此，附表中仅给出了水平数为奇数地均匀设计表。
⑤等水平均匀表的试验次数与该表的水平数相等。当水平数增加时，试验次数也随之增加。
例如 t=7 ® 8，
均匀设计 n=7 ® 8， “随着水平数的增加，试验次数的增加具有
连续性”。
正交设计 n=49 ® 64，“随着水平数的增加，试验次数的增加有
跳跃性”。
均匀设计中增加因素水平时，仅使试验工作稍有增加，这是均匀设计的最大优点。
7.2.2 混合水平均匀设计表
1.混合水平均匀设计表的一般形式
混合水平均匀设计表用于安排因素水平不相同的均匀试验。
其形式为： Un（t1q1×t2q2×t3q3）
式中：n为试验次数，
t1，t2，t3为不同的水平数，
q1，q2，q3分别是t1，t2，t3水平对应的列数。
2.混合水平均匀设计表的构造
混合水平均匀设计表是在等水平的均匀设计表的基础上，利用拟水平的方法得到的。
例7-1 某试验考察A，B，C 3个因素。A，B取3个水平，C取2个水平，这个试验直接用等水平均匀表是不可行的，但我们可采用拟水平法对等水平均匀设计表进行改造。
①选择均匀表U6(66)，按使用表的规定，应该采用该表的第1、2、3列；
②采用拟水平法对其进行如下改造：
u 对于第1、2两列的水平
将1、2→ 1， 3、4→ 2， 5、6 → 3；
u 对于第3列的水平， 将1、2、3→1， 4、5、6→2。
u 这样，便得到了如表7-3所示的混合水平均匀设计表U6(32×21)，将因素A，B，C依次放在U6(32×21)的第1、第2、第3列上进行试验即可。
表7－3 U6(66) → U6（32×21）

表7-3有很好的均衡性，如第1列和第3列，第2列和第3列的所有水平组合均出现，且只出现1次。但不同的拟水平设计，其均匀性效果是有差别的。
例7-2 某试验考察A，B，C共3个因素，A，B因素为5个水平，C因素为2个水平，用均匀设计安排试验。
u 若选用U10（1010）均匀设计表来进行改造，由使用表可知应选第1、5、7列。现作如下改造：
第1、5列的水平
（1，2）→1，（3， 4）→2，（5，6）→3，
（7，8）→4，（9，10）→5；
第7列的水平：
（1，2，3，4，5）→1，（6，7，8，9，10）→2
表7－4 拟水平设计的U10（52×21）

表7-4的第1、3列的水平组合中：
有2个(2，2)，但没有(2，1)；
有2个(4，1)，但没有(4，2)。 因此，该表的均衡性不好
若同样采用U10(1010)表，但选用第1、2、5列，可通过拟水平方法，获得如表7-5所示的U10（52×21）均匀表。该表具有很好的均衡性。

表7-5 拟水平设计的U10（52×21）

3.构造混合水平均匀设计表应注意的几个问题.
①所选择的均匀设计表的水平数应³需考察的因素中最大水平数。
②拟水平法构造混合水平均匀设计表时，为使生成的混合水平表有较好的均衡性，不能按使用表的指示选择列，而是通过比较确定选用哪些列去生成混合水平表。
③为了使用方便，附表中(P351)给出了常用混合水平表的构造方法，按照其指示生成的混合水平均匀表的具有较好的均衡性。
7.3 均匀试验设计的基本方法
与正交试验设计相同。主要包括方案设计、试验、结果处理与分析，以及验证试验四个部分。具体步骤如下：
1.根据试验目的，确定试验指标
2.选择试验因素与水平
u 进行均匀设计时，试验范围尽可能宽一些，以防最佳条件遗漏。
u 每个因素的水平可适当多取一些，使试验点分布更均匀。
u 若某些因素多取水平有困难，则可少取几个水平，即各因素的水平数可以不一样。
3.选择均匀设计表及表头设计
u 选择均匀设计表是均匀设计很关键的一步，应根据预研究的因素个数、水平数、试验次数来选择。
u 由于均匀设计的试验结果没有综合可比性，因此不能用极差或方差分析法对其进行处理与分析，而必须采用多元回归分析，找出描述m个因素（x1，x2，…，xm）与依变量y之间的统计关系，并建立回归方程。
均匀设计试验次数确定
① 若各个因素与依变量y之间的统计关系是线性时，多元回归方程为：

要求出这m个（不包括b0，b0可由这m个偏回归系数求出）偏回归系数bj（j=1，2，…，m），就要列出m个方程。
为了对求得的方程进行检验，还要增加一次试验，共需m＋1次试验。所以应选择试验次数n大于或等于m＋1的均匀设计表。

②当各因素与依变量的关系为非线性时，或因素间存在交互作用时，则回归方程为多元高次方程。
例如，各因素与响应均为二次关系时，回归方程为：

式中：xixj反映因素间的交互效应，
xi2 反映因素的二次项影响。
回归方程的系数的个数（含常数项b0）总数 为：

其中：m为因素个数，最后一项为交互作用项个数。
为了求解非线性方程式（7-2），必须选用试验次数大于回归方程系数总数的均匀设计表。 即：n ³ Q
例如：试验考察3个因素，即m=3时
①若各个因素与依变量之间均为线性关系
＝1+m=4，即：n³Q=4，可选用试验次数为5的U5(54)表安排试验。
②若各个因素的二次项对依变量也有影响
＝1+m+m＝7，试验次数应大于n³Q=7，至少选用U7(76)表安排试验。
③如果因素之间的交互作用也要考虑
Q=1+m+m+m(m-1)2=10
即：试验次数n³Q=10，可选用U10(1010)表安排试验。
由此可见：
u 因素的个数和所建方程的次方直接影响试验工作量
为了尽量减少试验次数，在安排试验之前，应该用专业知识判断一下各因素对依变量影响的大致情况，各因素之间是否存在交互作用，删去影响不显著和影响较小的交互作用项及二次项以便减少回归方程的系数，从而减少试验次数。
u 若因素的水平不相等，则选用混合水平均匀表
所选混合水平的列数应当与试验因素的个数一致，且某水平的列数应与试验因素具有相应水平的个数一致。
3. 制定试验方案
①等水平表 根据因素个数在使用表上查出可以安排因素的列号，再把各因素依其重要程度为序，依次排在表上。通常先排认为是重要的，或是希望首先了解的因素；
②混合水平均匀设计表 则按水平把各因素分别安排在具有相应水平的列中。各因素所在列确定后，将安排的因素的各列的水平代码转换成相应因素的具体水平值，就得到了试验设计方案。
③均匀设计表的水平数多于因素设置的水平时
例如 用U12(1212)表安排6水平因素的试验时，可采用拟水平的方法，将设置的每个水平重复一次按排入所用的均匀设计表中。
必须指出：在均匀设计时，其表中的空列（没有安排因素的列）既不能用于考察交互作用，也不能用于估计试验误差。
5.试验结果的计算与分析
由于均匀设计没有综合可比性，所以，对试验结果的分析不能采用极差分析和方差分析法，通常采用直接分析和回归分析法。
①直接分析法
即从已做的试验中挑选一个试验指标最好的试验点，该点相应的因素水平组合即为预寻找的较优的工艺条件。
由于试验点充分均匀分布，试验点中的最优的工艺条件，离在试验范围内通过全面试验寻找的最优工艺条件不会很远。这个方法看起来粗糙，但大量实践证明，它是十分有效的方法。
②回归分析法
均匀设计的结果分析应采用回归分析法。通过对试验结果的分析，可获取如下有用信息：
a.得出反映各试验因素与试验指标关系的最优回归方程；
b.根据偏回归系数显著性程度，或MSj、标准回归系数的绝对值大小，得出试验因素对试验指标影响的主次顺序；
c.根据方程的极值点，可得到最优组合条件。
7.4 均匀试验设计的应用
7.4.1 利用正规方程组，建立回归方程
例7-3 在啤酒生产的某项试验中，需考察底水、吸氨时间2个因素对试验指标吸氨量的影响。每个因素取9个水平，进行均匀试验。因素水平如表7-6所示，试验指标吸氨量（g）为越大越好­。
表7-6 啤酒生产因素水平表

1.试验方案设计与试验
显然，选U9(96)表比较合适，由U9(96)的使用表可知，因素z1，z2应安排在1，3列，试验方案及结果见表7-7。

表7-7 啤酒生产U9(96)均匀设计试验方案与结果

2.试验结果分析
① 直接分析法
从表7-7中试验数据可见，第2号试验的指标值6.3为最大，第2号试验对应的条件为较优的工艺条件。
即：底水137.0（g），吸氨时间240（min）。
② 回归分析法
a.建立反映各试验因素与试验指标关系的最优回归方程
为了计算方便，对因素z1，z2的各水平值作如下线性变换：

变换后的因素水平值正好是U9(96)相应列中的水平数字，如表7-7所示。这样就大大简化了计算。于是：

表7-7 啤酒生产U9(96)均匀设计试验方案与结果

正规方程组为：

根据上述计算结果与正规方程组得：

方程偏回归系数的显著性检验：

表7-8 啤酒生产U9(96)均匀试验结果的显著性检验
方差来源　
SS
df
MS
F

回归
9.230303
2
4.615152
5271.923
＊＊
x1
7.210247
1
7.210247
8240.282
＊＊
x2
2.826521
1
2.826521
3230.031
＊＊
离回归
0.005253
6
0.000875

总体
9.235556
8

注： F0.01(2,6)=10.92 ， F0.01(1,6)=13.75
将回归方程返回到z空间可得:

由表7-8可知回归方程、 Z1、 Z2均为高度显著，所以方程：

最优回归方程
b.判断试验因素对试验指标影响的主次顺序
u 根据平均偏差平方和MS的大小判断
由表7-8可得： Z1 ＞ Z2
计算标准回归系数，并根据其绝对值大小判断（略）
C.根据方程的极值点，求最优组合条件

显然，指标 y 随因素 z1 的增加而减少，随因素z2 的增加而增加。
当 z1＝136.5，z2＝250 时，指标
所以计算分析最优组合条件为：底水136.5g，吸氨时间250min。
该组合条件下：

可同时进行验证试验。
7.4.2 利用Excel回归分析工具软件处理，获得回归方程
例7-4 在发酵法生产肌苷中，培养基由葡萄糖、酵母粉、玉米浆、尿素、硫酸铵、磷酸氢二钠、氯化钾、硫酸镁和碳酸钙等成分组成,由于培养基成分较多，且通常采用的水平也较高，不便运用正交试验方法，拟通过均匀试验确定最佳培养基配方。
1.确定试验指标
根据本试验目的，以发酵液产肌苷量（mg/mL）作为试验指标，指标越大越好。
2.选择试验因素与水平
根据专业知识和有关资料，选用(NH4)2SO4、葡萄糖、尿素、酵母和玉米浆5种成分为试验因素，每个因素至少取5个水平。
3.确定试验次数
本试验考虑的因素共5个，考虑到有的因素与试验指标可能时二次关系，即至少要进行10次试验。
4.选择均匀设计表
根据因素个数以及确定的试验次数，每个因素可取10个水平，选取的因素水平如表7-9所示。故选用U10（1010）均匀表。

表7-9 发酵法生产肌苷试验因素水平表

5.制定试验方案，并进行实验
根据U10(1010)表的使用表，当5个因素时，应安排1，2，3，5，7列上。因此将x1，x2，x3，x4和x5分别安排在第1、第2、第3、第5、第7列上。再把每列的水平代码换成相应因素的水平值，即得到试验方案如表7-10。
表7-10 肌苷生产均匀设计试验方案及结果

6.试验结果分析
u 直接分析法
对表7-10试验结果进行直观分析，第9号试验的试验指标（肌苷产量）最好，其对应的条件即为较优的工艺条件。
u 回归分析法
利用Excel回归分析工具软件，处理表7-10数据，以获得最优回归方程。
① 立最优回归方程
设：拟构造的线性回归方程有如下形式：

表7-10 肌苷制备均匀设计试验方案及结果
试验号
x1
x2
x3
x4
x5
y
1
8.5
0.3
1.7
1.2
0.85
20.87
2
9
0.4
2
1.45
0.65
17.15
3
9.5
0.5
2.3
1.15
1
21.09
4
10
0.6
1.5
1.4
0.8
23.6
5
10.5
0.7
1.8
1.1
0.6
23.48
6
11
0.25
2.1
1.35
0.95
23.4
7
11.5
0.35
2.4
1.05
0.75
17.87
8
12
0.45
1.6
1.3
0.55
26.17
9
12.5
0.55
1.9
1
0.9
26.79
10
13
0.65
2.2
1.25
0.7
14.8
a.回归系数的求解
对试验结果，采用Microsoft Excel回归分析工具软件处理，得自变量x1、x2 、x3 、x4 、x5 的回归系数如下表：

表7-11 肌苷制备试验结果回归分析

Coefficients
标准误差
t Stat
P-value
Intercept
42.96882
21.39553
2.008308
0.115021
x1
0.779091
0.863137
0.902627
0.417765
x2
-4.85455
8.631373
-0.56243
0.603848
x3
-12.0545
4.315686
-2.79319
0.049152
x4
-9.14545
8.631373
-1.05956
0.349086
x5
9.281818
8.631373
1.075358
0.342754

b.回归方程的建立
根据表中所求回归系数，建立的回归方程为：

c.回归方程的显著性检验

df
SS
MS
F
Significance F
回归
5
94.2101
18.84202
1.672139
0.319323
残差
4
45.07286
11.26822

总计
9
139.283

注：F0.01(5，4)=15.52 F0.05(5，4)=6.26 F0.25(5，4)=2.07
经 F 检验，F ＝1.67＜ F0.05（5，4）＝6.26，所以回归方程不显著。
d.重新构造回归方程
由于采用上述回归系数构造的多元线性回归方程不显著。因此，必须重新构造回归方程。
设：拟构造的回归方程为二次项，其表达形式如下：

Ø 求解回归系数、建立回归方程
肌苷制备试验数据组成表

是否有其他的组成形式？？
根据上述试验数据组成进行回归计算，得自变量x1、x2 、x4 、x5、 x11、 x33 、x44、 x55的回归系数如下：

Ø 回归方程显著性检验

经 F 检验，F ＝3551.35＞ F0.05（8，1）＝238，表明所建立的回归方程显著。
Ø 偏回归系数的t检验

t33= 134.105＞t0.01(1)= 63.657 ® 高度显著
t1， t2， t4， t5， t11 ， t44， t55 均大于 t0.05(1)= 12.706 ® 显著
因此，上述所建立的回归方程：

最优回归方程
②.根据tj(偏回归系数显著性程度) ，判断出试验因素对试验指标影响的主次顺序
x5(玉米浆浓度)＞ x1(葡萄糖浓度)＞ x4(硫酸铵浓度)＞ x2(尿素浓度)
③.根据方程的极值条件，获得最佳组合条件