二项-二维对数正态分布及其在极端海况预测中的应用.pdf

二项二维对数正态分布及其在极端海况预测中的应用丁京华1，付殿福2，庞亮1*（1.中国海洋大学工程学院,山东青岛266100；2.中海石油（中国）有限公司北京研究中心,北京100028）摘要：极值分析是进行海洋灾害概率预测和海洋工程工况计算的必要方法。样本资料缺乏会影响极值分析结果的合理性。阈值法和基于复合极值分布理论的过程取样法是扩充样本的有效方法，但依然依赖于长期海况资料。为了构建一种利用短期海况资料代替传统年极值序列的极值模型，本文将阈值取样法和复合极值理论结合，建立了基于短期海况资料的二项二维对数正态复合极值分布模型。该模型既考虑了极端海况的出现频次，又能反映不同海况要素间的相关性，同时降低了对资料序列长度的要求。将该模型应用于黄海某区域设计波浪要素的计算，结果表明二项二维对数正态分布对短期海况序列具有良好的拟合效果，与采用长期数据所得概率预测结果相差不大，能够合理反映极端海况的概率分布特征。该模型可在海洋水文资料匮乏条件下为海岸工程设计提供可靠依据，并适用于防灾减灾领域极值预测计算。关键词：复合极值分布；对数正态分布；极端海况；短期数据；概率预测中图分类号：P731.33文献标志码：A文章编号：1002-3682（2023）02-0140-09doi：10.12362/j.issn.1002-3682.20220711002引用格式：丁京华,付殿福,庞亮.二项二维对数正态分布及其在极端海况预测中的应用J.海岸工程,2023,42（2）：140-148.DING J H,FU D F,PANG L.Binomial-bivariate log-normal compound model and itsapplicationinextremeseaconditionpredictionJ.CoastalEngineering,2023,42（2）：140-148.我国领海面积达 300 万 km2，海岸线长约 1.8 万 km1，具有良好的海洋开发前景。沿海地区作为海洋开发的前沿和基地，同时也容易受到热带气旋、寒潮大风等自然灾害的侵袭。上述极端海况通常可以用极值理论描述。利用实测海洋水文数据或经验证的后报资料2，选择相符的极值模型进行拟合分析，就可以计算不同重现期的海洋要素设计值，作为工程设计依据。在此类研究中，最常采用的模型是基于长期资料年极值取样的极值分布，如 Gumbel 分布、Weibull 分布及对数正态分布等。但传统极值模型受限于样本序列的长度，某些海区水文数据匮乏，传统模型的拟合结果往往无法满足工程要求。尤其在海洋工程设计中，更受关注的是高分位数问题。相同置信水平下样本容量越大置信区间越小，结果越精准。传统的极值理论采用的年极值取样方式舍弃了很多有用的信息，往往造成高分位数计算结果的误差。采用阈值取样（PeakOverThreshold,POT）的 GPD（GeneralizedParetoDistribution）模型和采用过程取样的复合极值分布（CompoundExtremeValueDistribution,CEVD）模型能够有效扩充样本序列，但仍然依赖于长期（通常不少于 20a）观测或后报资料。收稿日期：2022-07-11资助项目：中国海洋石油集团有限公司课题（20210384）作者简介：丁京华（1998），男，硕士研究生，主要从事极端海洋环境预测方面研究.E-mail：djh2020T*通信作者：庞亮（1980），男，副教授，主要从事极端海洋环境预测及风险评估方面研究.E-mail：（李燕编辑）第42卷第2期海岸工程Vol.42No.22023年6月COASTALENGINEERINGJune,2023同时，海洋工程结构面临的是多种要素共同作用的复杂环境，并且多种海洋环境要素之间具有复杂的相关性3，多元极值模型逐渐成为发展的趋势。1967 年，Gumbel 和 Mustafi4提出了多元极值理论对称 Logistic 模型。此后 Galambos5、Leadbetter 等6学者从概率统计、随机序列过程等方面将该理论进行了系统总结。在 Feller7提出的复合分布概念基础上，1979 年，马逢时和刘德辅8提出将离散分布与连续型极值分布结合，组成复合极值分布模型，得到了推求海洋要素设计值的新方法，在工程界得到了普遍的认可。21 世纪初，刘德辅等又将该理论由一维扩展到二维、多维，具有广泛的应用意义9-10。2008 年，刘德辅等11提出双层嵌套概率模式，将多维复合极值分布与后报模型相结合，解决极值预测中资料序列匮乏的问题。综上所述，在极端海况概率预测领域，合理扩充样本序列和不同环境要素合理组合是两个关键问题。本文在复合极值分布理论的基础上，提出基于短期数据的二项二维对数正态复合极值分布模型（Binomial-BivariateLog-normalCompoundExtremeValueDistribution，BBLCED），采用阈值法对极端海况取样，同时考虑不同海洋环境要素的相关性，可以用于求解不同重现期下海况要素组合设计值。1二项二维对数正态复合模型极 值 理 论 中 常 用 的 两 种 取 样 模 型 分 别为 BMM（BlockMaximumMethod）和 POT（PeaksOverThreshold），这两者都只关注尾部分布。由于 BMM 划分区域时的偶然性，可能会忽略掉一些有效的信息，而 POT 则有效地使用了极端观察值，具有更良好的统计推断12-13。2001 年，Liu 和 Li14建立的二项对数正态分布是从日极值序列中简单挑选符合对数正态分布的样本，不确定性较大。为减少取样不确定性，本文将 POT 模型筛选超阈值得到的二项分布与二维对数正态模型进行组合，构建二项二维对数正态复合模型。1.1二维复合极值分布(,)(,)G(x,y)g(x,y)Gx(x)(i,i)(,)iN(,)设为二维连续型随机变量，的联合概率分布函数记作，联合概率密度函数为，其中 的分布函数记作。记为的第 次观测值，设为与独立的取值为非负的整数的随机变量，其分布函数记作：P(n=k)=pkk=0,1,，（1）k=1pk=1。(X,Y)定义随机变量：(X,Y)=(i,i)|i=max0iNiN 1，（2）(X,Y)通常作为观测数据中的台风过程极值序列。(X,Y)当采用 POT 法进行取样时，得到(X,Y)=(i,i)|i=POT0iNiN 1，（3）(X,Y)经刘德辅等9证明，的联合分布函数为：F(x,y)=k=1PkkwywxGk1x(u)g(u,v)dudv。（4）1.2二项二维对数正态分布m(i,i)（i=1,2,m）nXj（j=1,2,n）XjXjYj假设 天的观测数据为独立同分布的随机变量，对于一个充分大的阈值，假设有 个数据超过阈值，满足，则称为超阈值，和对应的组成超阈值序2期丁京华，等：二项二维对数正态分布及其在极端海况预测中的应用141Xj,Yjknm,pP(n=k)=Ckm pk(1 p)mk p列（）。超过 的样本序列长度为。服从参数（）的二项分布，为pk的平均值。n年内出现超阈样本次数 符合二项分布，式（4）转换为以下形式：F0(x,y)=(1 p)n+k=1(nk)pk(1 p)nkkwywxGk1x(u)g(u,v)dudv，（5）对式（5）求导得f(x,y)=k=1(nk)pk(1 p)nkkGk1x(u)g(x,y)，（6）Xj,Yj又有()服从二维对数正态分布如下：g(x,y)=1212xyxyxyexp12(12xy)(ln xx)22x2xy(ln xx)(ln yy)xy+(ln yy)22y(x0，y0)，（7）x、y、x、y、xyx、yXj、Yjx、yXj、YjxyXj、Yj式中：均为常数；分别为序列的均值；分别为序列的标准差；为序列的相关系数。对数正态的边缘分布：Gx(u)=wx012xxe(ln xx)222xdu，（8）将式（7）、式（8）代入式（5）中即得二项二维对数正态分布。2算例2.1阈值选取（Xj,Yj）阈值的合理选取是 POT 模型成功拟合的关键15。将高于阈值的波高数据及对应（伴随）的周期数据作为二项二维对数正态复合模型的样本。本文以黄海某海洋站 19921996 年日最大波高及周期数据为初始序列，运用 Hill 图法选取阈值，选取原则为观察尾部指标，找到图形尾部相对稳定的线段作为起始点，则将该点的横坐标对应的数据作为阈值。绘制 Hill 图，如图 1 所示。12345678阈值201001020304050607080图1Hill 图Fig.1Hillplot142海岸工程42卷（3.1，3.5）由图 1 可以看出，中尾部首次达到平稳状态时横坐标对应的值约为 3.3。为了检验阈值是否合理，结合参数稳定性估计图进一步判断。判断方法为：在 Hill 图确定的阈值范围内，以规定的步长选取若干点进行参数（波高超阈值序列均值）和（波高超阈值序列方差）的试算，选取令 2 个参数的极大似然估计值达到稳定的最大值作为最终确定的阈值。依据前文的计算，将=3.3 作为初始阈值，在之间均匀选取 81 个值作为阈值，观察计算得到的 2 个参数的极大似然估计值在区间内的稳定性。在上述阈值的选取范围内，参数的变化趋势图如图 2 所示。3.101.61.20.80.4(a)(b)3.123.143.163.183.203.223.24阈值3.263.283.303.323.343.363.383.403.423.443.463.483.503.100.81.21.62.03.123.143.163.183.203.223.24阈值3.263.283.303.323.343.363.383.403.423.443.463.483.50、图2不同波高阈值下参数的最大似然估计值Fig.2Themaximumlikelihoodestimatesofparameters,atthresholdsofdifferentwaveheights由图 2 可以看出，各参数均在（3.100,3.295）阈值内保持相对稳定，为确保 POT 模型拟合的准确性，本文选取相对稳定区间内的较大值作为最终阈值，即=3.295。将大于阈值的波高数据提取出来，并提取出这些波高数据伴随的周期数据。2.2参数估计确定阈值后，利用极大似然估计法对二项二维对数正态复合模型中的各个统计参数进行估计，结果见表 1。将表 1 中参数代入式（4）中，可得日最大波高周期联合分布函数。表1二项二维对数正态分布复合模型统计参数Table1StatisticalparametersofBBLCEDmodel统计参数xyxyxyp估计值1.42231.90480.25520.13790.76770.0090图 3、图 4 分别为对数正态分布模型拟合上一步中得到的超阈值序列的波高和周期数据诊断图。由 P-P 图（图 3a、图 4a）和 Q-Q 图（图 3b、图 4b）看出，实测数据的经验分布较为贴近理论分布。CDF 图（图 3c、图 4c）和样本的累计分段函数基本一致，PDF 图（图 3d、图 4d）和样本的频率直方图也是吻合的。因此 4 个诊断图都支持拟合的对数正态分布模型，即该模型拥有较好的拟合效果。2期丁京华，等：二项二维对数正态分布及其在极端海况预测中的应用143426810波高/m累积概率(a)概率图(P-P 图)426810波高/m00.20.40.6分位数(b)分位数图(Q-Q 图)51015波高/m00.51.0累积概率概率(c)累积概率分布图(CDF 图)累积分布函数经验分布函数(d)概率密度函数图(PDF 图)54678波高/m00.20.40.60.8频率直方图概率密度函数0.010.500.99理论分布参考线波高数据理论分布延长线理论分布参考线波高数据图3波高数据诊断结果Fig.3Diagnosticresultsofwaveheightdata46810周期/s累积概率46810周期/s0.200.20.40.6分位数51015周期/s00.20.40.60.81.0累积分布函数经验累积函数51015周期/s00.20.40.80.6频率直方图概率密度函数累积概率概率(a)概率图(P-P 图)(b)分位数图(Q-Q 图)(c)累积概率分布图(CDF 图)(d)概率密度函数图(PDF 图)0.010.500.99理论分布参考线周期数据理论分布延长线理论分布参考线周期数据图4周期数据诊断结果Fig.4Diagnosticresultsofwaveperioddata144海岸工程42卷2.3多年一遇波高与周期预测以及方法比较将前文求得的模型参数，代入到二项二维对数正态复合模型计算多年一遇波高和周期设计值。另 外，选 用 泊 松混 合 冈 贝 尔 模 型（Poisson-GumbelMixedCompoundExtremeValueDistribution，PGMCED）计算所得结果作为复合极值分布的对照。同时，基于黄海某区域 20a 的年极值波高和周期数据资料，选用混合冈贝尔模型（GumbelMixedExtremeValueDistribution，GMED）、对数正态模型（BivariateLog-normalExtremeValueDistribution，BLED）计算多年一遇波高和周期设计值作为传统方法的对照。从各模型的联合累积分布图的概率值为 0.90、0.95、0.98、0.99（分别对应 10 年一遇、20 年一遇、50 年一遇、100 年一遇）的等高线图提取出概率密度最大的 4 个点，分别记作 A、B、C、D，这 4 个点对应的波高与周期值即为推求的波高与周期联合设计值。这 4 种模型所得的结果如图 5和图 6 所示，统计结果如表 2 所示。0151510周期/s波高/m10550(a)BBLCED 累积分布(b)BBLCED 概率密度0.20.40.60.81.01.201210周期/s波高/m810546200.10.20.30.4联合累计概率联合累计概率图5波高和周期联合概率累积分布图、波高和周期联合概率密度分布图Fig.5Cumulativedistributionanddensitydistributionplotsofwaveheightandperiodjointprobability8910AAABCDBCDBCDABCD50 a20 a100 a10 a20 a10 a50 a10 a50 a100 a20 a100 a20 a50 a100 a10 a11(a)BBLCED(b)PGMCED波高/m波高/m(c)BLCED(d)GMCED波高/m波高/m周期/s周期/s周期/s周期/s12A 点坐标:(9.9,9.1)B 点坐标:(10.5,9.8)C 点坐标:(11.2,10.7)D 点坐标:(11.7,11.5)A 点坐标:(10.7,9.9)B 点坐标:(11.1,10.6)C 点坐标:(11.6,11.4)D 点坐标:(12.0,11.9)A 点坐标:(9.6,10.6)B 点坐标:(10.3,11.2)C 点坐标:(11.2,12.0)D 点坐标:(11.9,12.6)A 点坐标:(10.4,9.3)B 点坐标:(10.8,9.7)C 点坐标:(11.0,10.3)D 点坐标:(11.5,11.0)131415910111213141515891011121314159101112131489101112131415910111213141589101112131516171491011121314171516图64 种模型在不同重现期下的波高和周期的设计值Fig.6Thewaveheightandperiodvaluesdesignedbyusing4modelsunderdifferentreturnperiods2期丁京华，等：二项二维对数正态分布及其在极端海况预测中的应用145表24 种模型的不同重现期下的波高和周期重现水平Table2Waveheightandperiodrecurrencelevelsobtainedby4modelsunderdifferentreturnperiods计算模型10 年一遇20 年一遇50 年一遇100 年一遇波高/m周期/s波高/m周期/s波高/m周期/s波高/m周期/sBBLCED10.49.310.89.711.010.311.511.0PGMCED9.99.110.59.811.210.711.711.5BLED10.79.911.110.611.611.412.011.9GMED9.610.610.311.211.212.011.912.6根据表 2 可以看出，二项二维对数正态复合模型下的不同重现期的波高重现水平与其他 3 种模型差距不大，相对来说结果更接近二维对数正态模型拟合结果。而该模型的不同重现期的周期重现水平与其他 3 种模型相比结果偏小，但差异很小，相对来说其更接近泊松混合冈贝尔模型拟合结果。而本文所建立的二项二维对数正态复合模型选用了 5a 的海况资料，可以与选用 20a 海况资料的其他 3 种模型达到类似的效果，即为该模型最大的优点。2.4稳定性分析本文提出滑动重现期这一概念：在固定序列长度内，按样本顺序依次改变序列起始值，得到一系列重现期结果。从 19911998 年的海况资料滑动选取 5a 的数据用二项二维对数正态模型推求 50 年一遇的波高和周期，结果如表 3 所示。由表 3 可以看出，波高的滑动重现期水平较为平稳，且波动都在 0.5 以内，而周期的滑动重现期整体也是较为平稳的，不确定性较小，所以该模型是适用的。3结论本文基于 POT 模型筛选出超阈值样本序列，其年内出现超阈值的次数符合二项分布。对极端海况出现时的波高及其“伴随”的周期数据分别进行边缘分布拟合，发现均很好地符合对数正态分布，由此建立采用 POT 取样的二项二维对数正态复合模型，用于短期波高及其伴随的周期数据的概率预测，并得出以下主要结论。运用该模型对黄海某海洋站 5a（19921996 年）的波高和周期数据进行实例分析，模型拟合结果较好；分别预测了不同重现期下的波高和周期，并自定义了滑动重现期对其验证。结果显示：二项二维对数正态分布对短期海况资料具有良好的拟合效果，与采用长期海况资料所得概率预测结果相差不大，能够合理反映极端海况的概率分布特征，且在 19911998 年的滑动重现期水平较为平稳，即二项二维对数正态复合模型在短期海况预测方面是适用的。因此，用 5a 的序列构造出的基于短期海况资料的极值分布的结果能代替使用 20a 长期海况资料的传统极值方法。同时还发现，现有的数据很难达到完全精确，并且模型本身也存在一定的不准确性，导致各种复杂的统计模型也会产生误差，因此没有一种方法是可以在所有情况下适用的。本文提出的二项二维对数正态复合极值模型基于阈值法取样，能够充分利用有效数据，从而表3不同时间段的 50 年重现期的波高和周期水平Table3Waveheightandperiodlevelsof50-yearreturnperiodunderdifferentyears时间段50 年一遇波高/m50 年一遇周期/s19911995 年11.411.919921996 年11.010.319931997 年11.010.319941998 年11.010.3146海岸工程42卷降低了对资料序列长度的要求。同时 BBLCED 考虑了极端海况出现频次与各要素间的相关性，可为工程设计提供更为合理可靠的依据。此外，该模型也适用于各类工程设计和防灾减灾领域极值预测的计算。参考文献(References)：韩婕妤.中国近岸海域环境质量演变及驱动因素研究J.资源开发与市场,2019,35(9):1133-1137.HANJY.StudyontheevolutionanddrivingfactorsofenvironmentalqualityinChinascoastalwatersJ.ResourceDevelop-ment&Market,2019,35(9):1133-1137.1YANZD,WANGZL,PANGL.StudyofthewindconditionsintheSouthChinaSeaanditsadjacentseaareaJ.JournalofOceanUniversityofChina,2022,21(2):264-276.2CHENGYJ,YANZD,PANGL,etal.ProbabilityanalysisonthetyphooninducedseastatesoftheSouthChinaSeaC/NewYork:2018OCEANS-MTS/IEEEKOBETECHNO-OCEANS(OTO),2018.3GUMBELEJ,MUSTAFICK.SomeanalyticalpropertiesofbivariateextremaldistributionsJ.PublicationsoftheAmericanStatisticalAssociation,1967,62(318):569-588.4GALAMBOSJ.TheasymptotictheoryofextremeorderstatisticsM.NewYork:JohnWiley&Sons,Inc.,1978.5LEADBETTER M R,LINDGREN G,ROOTZEN H.Extreme and related properties of random sequences 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of Engineering,Ocean University of China,Qingdao266100,China；2.CNOOC China Limited,Beijing100028,China）Abstract:Extreme value analysis is a necessarymethod forpredictingthe probability of marine disasters and calculatingtheconditionsofmarineengineering.However,therationalityofextremevalueanalysisresultscaneasilybeaffectedbythelackofsampledata.Althoughthepeaksoverthreshold(POT)methodandtheprocesssamplingmethodbasedonthecompoundextremevaluedistribution(CEVD)theoryareeffectivemethodstoexpandsamples,theystillrelyonlong-termseaconditiondata.Inordertoconstructanextremevaluemodelwhichusesshort-termseaconditiondatainsteadoftraditionalannualextremevalueseries,aBinomial-BivariateLog-normalCompoundExtremeValueDistribution(BBLCED)modelwhichisbasedonshort-termdataisestablishedbycombinationofPOTandCEVD.Thismodelnotonlyconsidersthefrequencyofextremeseaconditions,butalsocanreflectthecorrelationbetweendifferentseaconditionelementsandreducetherequirementforthedataserieslength.ThemodelhasbeenappliedtothecalculationofdesignwaveelementsinacertainareaoftheYellowSeaandtheresultsindicatethattheBBLCEDmodelhasagoodfittingtotheshort-termseaconditionsequence.Thereisnotmuchdifferentfromtheprobabilitypredictionresultsobtainedbyusingthelong-termdata,indicatingthatthemodelcanreasonablyreflecttheprobabilitydistributioncharacteristicsoftheextremeseaconditions.Thismodelcanprovideareliablebasisforthecoastalengineeringdesignundertheconditionoflackofmarinehydrologicaldata,anditisalsosuitablefortheextremevaluepredictioncalculationinthefieldofdisasterpreventionandmitigation.Keywords:compoundextremevaluedistribution；Log-normaldistribution；extremeseacondition；short-termdata；probabilitypredictionReceived:July11,2022148海岸工程42卷