一次函数在解决数学问题中的作用.doc

一次函数在疑难问题和生活中的作用
朱玉清
一次函数是函数中应用最普遍，最简单的一种函数。它涉及了多种函数方法和思想，比如数形结合，分类讨论这些思想，还有待定系数法，排除法等方法。
一次函数包括以下方面的运用：一、利用图像和题目中给出的数据进行分析和计算（数形结合）。二、对于有多种答案或方法的题目进行分类计算，在某些特定题目中还可选择最佳答案（分类讨论）。三、一次函数还可以解一些用一般方法解不了或很难解的题型。四、在生活中也能够解决一些数据复杂多变的数学问题。各种类型的例题可以反映不同的思想：
例1、对于一次函数y=（2k－5）x＋（k－4）. y
x
O
图1
（1）若其图像经过第一，三，四象限，化简＋．（2）若函数为正比例函数，且与y=mx的图像关于x轴对称，求m的值.
分析 ：要解此题，需先画出一次函数y=（2k－5）x＋（k－4）的图像，如图1.∵图像经过一，三，四象限，∴2k－5﹥0，k－4﹤0，根据这两个条件求出k的取值范围，就可以解第（1）题了。而第（2）题，∵该函数是正比例函数，∴k－4=0且2k－5≠0，再求出此时k的值以及函数解析式∵两正比例函数的图像关于x轴对称，系数值互为相反数，∴m的值等于此函数解析式中“k”的相反数的值。
例题1主要是考察我们对函数图像的理解及运用，其中还运用了数形结合这种比较常用的数学思想,像这种题型的题目，并不少见，在函数图像上得出的结论必须很好地运用在题目中，才能更好地解决题目。
例2、我市天然气供应站根据实际情况，每天从零点开始至凌晨4点，只打开进气阀和供气阀，20：00——24：00只打开供气阀，已知气站每小时进气量和供气量是一定的，图2反映了某天储气量y（米2）与x（小时）之间的关系：
（1）求0：00——20：00之间气站每小时增加的储气量；
（2）求20：00——24：00时，y与x的函数关系式，并画出函数图像；
y
O
（3）照此规律运行，从这天零点起三昼夜内，经过多少小时气站储气量达到最大？并求出最大值。
x
图2
分析 ：由图2可知在0：00——4：00之间气站储气量从30米3增加到230米3，那么0：00——4：00之间气站每小时增加的储气量就是增加的气量和时间的商；同理可得4：00——20：00之间气站每小时增加的储气量，最后再算出气站每小时的供气量。
y
图3
在第（2）小题中，用第（1）小题求出的气站每小时供气量算出24：00时的储气量，再用待定系数法设函数关系式为y=kx＋b，最后求出函数解析式，画出函数图像。
x
O
通过第（2）小题算出的24：00时气站储气量再算出每天储气量增加的数量，再由图3可知，每天20：00时气站储气量达到最大值，因此，三昼夜内，第三天的20：00时，即经过了24×2＋20=68小时，气站的储气量达到最大，最后用238加上2乘以每天储气量增加的数量所得出的答案就是储气量的最大值。
例2体现了一次函数在生活中的应用，其中最大的特点就是运用了待定系数法，巧妙地求出所画函数图像上的一个未知点的坐标，并求出函数解析式。同时也说明了看图解题时，要注意转折点以及直线方向上的变化，并从直线上点的坐标分析出一些必要的关系。
例3、我市某乡A，B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨。现将这些柑橘运到C，D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元。设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A，B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元和yB元。

收
地
运
地

C
D
总计
A
x吨
（200－x）吨
200吨
B
（240－x）吨
（60＋x）吨
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
（1）求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运输费用较少；
（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．
分析 这道题所涉及的数据多，需要列表格（如上表），由题意得，A村运往C仓库x吨柑橘，运往D仓库就是（200－x）吨；C仓库已有x吨柑橘，还需（240－x）吨，所以B村要运往C仓库（240－x）吨柑橘，而D仓库已有（200－x）吨柑橘，B村还需运往此处（60＋x）吨。
根据表格列出函数关系式：yA=20x＋25（200－x）=﹣5x＋5000（0≤x≤200）；yB=15（240－x）＋18（60＋x）=3x＋4680（0≤x≤200）。再对A，B两村的运费高低进行分类：yA=yB；yA＜yB；yA＞yB．分别计算三种情况下各自x的值。由第（3）小题的题意得yB≤4830，接着用代入法把yB=3x＋4680代入yB≤4830求出x的取值范围．设两村运费之和为y，y= yA＋yB=﹣2x＋9680，由于y随x的增大而减小，所以当x的值最大时，两村运费之和最小。
例题3也是一道一次函数运用在生活中，并且充分体现分类思想的典型例题。遇到这种问题，特别是在讨论函数关系式，条件过多而又复杂时，可以利用表格法使条件进一步明了。这道题还需注意的一个地方是：在利用一次函数的单调性解决实际问题时，要注意x的取值范围。
总得来说，一次函数是指由一个变量和一些常量，通过任何方式（有限的或无限的）形成的解析表达式，它是通过一些其它的量经过一系列的运算而得到的。一次函数不仅能解决疑难问题，还能运用在一些生活问题中，比如当时间一定时，路程是速度的一次函数；当单价一定时，总价是数量的一次函数等等。一次函数就是这么一个奇怪的东西，只有认真，深入地去研究它，才能发现它所蕴藏的秘密。