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巧借复习课,培养数学思维能力
新课程背景下,数学复习课不仅要注重解决基础知识、基本技能，形成知识的系统化和网络化，更要在此基础上培养学生的数学思维能力,创新能力．培养学生的思维能力是当前每个一线教育工作者面临的首要任务，在长期的工作实践中,笔者积累了一些数学复习课堂，以习题为载体，培养学生的思维能力的有效途径.
1．回顾解题过程，培养思维严谨性
思维严谨性是数学学科的基本特点，要求学生对课本概念、定理理解充分、完整，逻辑推理步步有据．在教学中，教师善于抓住学生概念、定理理解不透彻，条件运用不成熟而发生的错误，适时加以点拨引导学生反思自己的解题过程，不仅加深对概念、定理的理解掌握，而且能培养思维的严谨性．在九年级数学复习课中，笔者给学生出示了下面这道题：
已知如图1 ： 在 △ABC中∠B=60°， AB=2BC,
求证：∠C=90°（2011年上海市中考试题改编）
大部分学生给出以下证法：
因为SinA=,AB=2BC，所以SinA=,由特殊角三角函数值得 图1
∠A=30°，又因为∠B=60°，所以∠C=90°
学生解完此题，脸上露出欣喜之色，感觉复习课做这道题简直太简单了．笔者巡视整个班级后，没有做过多的评价，只是点拔：请同学们认真反思自己的解题过程，看有没有推理不严密、思考不严谨的地方．笔者的话引起学生的窃窃私语，有的学生甚至面露疑惑地张望着笔者，但是几分钟后，一位学生大呼：我知道了，第一步错用了正弦的定义，锐角三角函数定义运用的前提条件是直角三角形，而这道题要证的结论是直角，所以我们犯了逻辑性的错误．一语惊醒梦中人，其他学生也恍然大悟．
通过教师引领与点拨,学生自觉反思自己的思维过程,辨别错在何处,解析错误原因,加深了对概念与定理的理解,培养了自己缜密思考的能力．
2．反思解题策略，培养思维的灵活性
2.1 一题多解，发散思维
思维灵活性是思维品质的核心，也是培养创新能力的重要体现，它常常表现为思维过程的发散性．一题多解是针对一道数学题，从不同角度，不同方法去思考问题，得出多种解决问题的途径，最终达到殊途同归的效果．一题多解不仅加深学生知识间的横纵向联系，而且达到训练发散思维的目的．
学生通过对上题仔细分析，认真思考，找到了以下三种证题方法．
证法1：取中点法　如图2-1所示，取AB的中点D，连结CD，易证△BCD是等边三角形，从而CD=AD=BD，所以∠ACB=90°．
证法2：加倍延长法　如图2-2所示，延长BC至E，使CE=BC，因为AB=2BC，所以AB=BE，又因为∠B=60°，所以△ABE是等边三角形，再结合三线合一的性质得∠ACB=90°．
证法3：构造垂直关系证相似如图2-3所示，作CE⊥AB，垂足为E，因为
∠CEB=90°∠B=60°，所以∠ECB=30°，BE=BC，即，所以，又∠B=∠B，所以△BCE∽△BAC，所以∠CEB=∠ACB=90°

2--1

通过对上述几种方法的探究，能调动学生已有的知识经验，使其思维始终处于发散的状态，既培养了学生的解题能力及综合运用所学知识分析问题的能力，又训练了学生从多角度思考问题、解决问题的习惯，思维灵活性得到训练．
2.2　　一题多变，举一反三
充分运用变式训练，发散学生的思维，培养思维的灵活性．变换题目的条件，探索相应的结论；变换结论，探索成立的条件；也可以变化原来的题型，如把证明题改为填空题、选择题或计算题．这样学生能针对不同的情况，灵活处理不同的问题，调动每一个层次学生的学习热情，以不变应万变，从而达到举一反三、融会贯通，发展思维的灵活性．
在中考《特殊四边形》的复习中，我先向学生出示下面这道题
如图1所示，正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明；
这是一道运用正方形基本性质以及全等来解决的基础题,同学们都能很快独立加以完成；在复习课上,为了提高同学们的应变能力以及灵活的思维能力,我做了如下变形：将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）说明理由；
问题的抛出立刻激发了学生探究的热情，同学们纷纷猜想出了结论．两条线段的数量关系明显不相等，BE=KDF,位置关系确是仍然垂直．教师顺势引导，这样的比值关系还能运用两个相关的三角形全等吗？那么可以用我们学到的什么知识解决呢？相似的方法水到渠成．这样的变换既拓宽了学生思维的广度，又提高了学生的灵活应变能力，同时增强了学生数学知识综合运用的能力．
在问题的最后，我又把条件作了进一步的变换：将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=a，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β．

此时学生持续探究的热情，同学们开始以小组为单位，纷纷画图猜结论，数量关系运用刚才第（2）问中类似的方法很快得出，但角a与β之间的关系很难得出，教师再次点拨引导，激活学生的思维．
3．加强引导探究，培养思维的深刻性
思维深刻性是指较高水平的认知活动，在探究知识的过程中引导发现规律，揭示事物的本质．我在多边形复习课中，练习过以下这道题：
正方形截去一个角后，得到的多边形内角和是多少度？刚开始许多同学由图（3-1）得出结论：因为截得的图形是三角形，所以内角和是180°，也有学生觉得结论不够完整，于是同学们纷纷用剪刀剪，用正方形纸折叠，经过反复的操作、观察、思考，发现有三种情况：第一种情况如图（3-1）所示，当截线过正方形对角线时，截得的图形为三角形，内角和为180°；第二种情况如图（3-2）所示，当截线经过一个顶点和邻边上的一点（不是顶点）时，截得的图形为四边形，内角和为360°；第三种情况如图（3-3），当截线经过邻边上的两点（不是顶点）时，截得的图形为五边形，内角和是540°．
根据以上的探究，若把正方形改为五边形呢？所得的结果还是三种情况吗？这三种情况对任何多边形都成立吗？一连串探究性问题点燃了学生思维的火花，课堂气氛顿时活跃起来．根据正方形探究的经验，学生很快得出五边形截去一个角后，得到的多边形边数分别为四、五、六，内角和依次为：360°、540°、720°，这个结论是否可以推广到n边形，经过合作交流，学生得出显然有一个特例不符合，即原图形为三角形时，截得的图形只有两种情况，如图（3-4和3-5）所示，内角和分别为：180°、360°．
综上所述，同学们进一步归纳得出，对于任意n边形，当n＞3时，截去一个内角，所得的多边形有三种情况，边数比原来减少1，边数不变，边数增加1，所以内角和相应的比原来减少180°、不变、增加180°．
通过上述这道题的研究，学生的思维层层递进，同时并用动手操作、归纳猜想等得出相应的结论，最后由特殊到一般，总结出规律性的经验，在此过程中，学生的学习产生了质的飞跃，思维的深刻性得到很好的训练．
“授人以鱼，不如授人以渔”，教会学生一道题很简单，但更重要的是教会学生此类问题思考的方法，在此过程中培养学生思维的能力，使其终身受益，而复习课更应该注重学生思维能力的提高，做到以不变应万变，这样才能避免学生陷入题海中，使学生学得轻松愉快，真正做到乐学、善学，适应新课改下素质教育的要求．