九年级(上)期中数学模拟试卷附详答案.doc

九年级（上）期中数学模拟试卷

一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）下列各图中，不是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（4分）方程x2=x+1的根是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（4分）下列方程中，无实根的方程是（　　）

A．

B．
x2+x=0
C．
x2+x﹣1=0
D．
x2﹣x=0

4．（4分已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（　　）

A．
45°
B．
60°
C．
75°
D．
90°

5．（4分）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（　　）

A．
15°
B．
20°
C．
25°
D．
30°

6．（4分）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（　　）

A．
M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）
B．
M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）
C．
M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）
D．
M（﹣1，3），N（1，﹣3）

7．（4分）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（　　）

A．
与x轴相离，与y轴相切
B．
与x轴，y轴都相离

C．
与x轴相切，与y轴相离
D．
与x轴，y轴都相切

8．（4分）等边三角形边长为a，则这个三角形外接圆面积为（　　）

A．
πa2
B．

C．

D．

二、填空题（每小题4分共16分）
9．（4分）把下式配方：x2﹣x+　_________　=（x﹣　_________　）2．

10．（4分）Rt△ABC的斜边AB=5，直角边AC=3，若AB与⊙C相切，则⊙C的半径是　_________　．

11．（4分）关于x的方程x2﹣3mx+m2﹣m=0的一个根为﹣1，那么m的值是　_________　．

12．（4分）给定下面一列分式：，（其中xy≠0）则给定的这列分式中的第7个分式为　_________　，第n个分式为　_________　．

三、解答题
13．（8分）解下列方程：
（1）x（x+2）﹣x﹣2=0

（2）x2﹣6x+1=0．

14．（4分）在实数范围内分解因式：x4+x2﹣6．

15．（5分）已知三角形的两边长分别是方程x2﹣3x+2=0的两根，第三边的长是方程2x2﹣5x+3=0的根，求这个三角形的周长．

16．（5分）某电视机厂1994年向国家上缴利税400万元，1996年增加到484万元，则该厂两年上缴的利税平均每年增长的百分率．

17．（5分）要建一个面积为150平方米的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为18米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35米，求鸡场的长与宽各为多少米？

18．（5分）△ABC为如图所示的平面直角坐标系中的格点三角形．
（1）将△ABC向x轴负半轴方向平移4个单位得到△A1B1C1，画出图形并写出点A1的坐标；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出图形并写出点A2的坐标．

19．（5分）如图△ABC中，∠BAC=90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，如果AP=3，那么△APQ的面积是多少？

20．（5分）如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线．

21．（6分）已知关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0①有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围：
（2）若m为整数，且m＜3，a是方程①的一个根，求代数式的值．

22．（6分）（2006•青岛）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

23．（6分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”
（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．请你帮小亮完成证明．
（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ=CP”仍然成立吗？若成立，请你就图②给出证明．若不成立，请说明理由．

24．（6分）（2007•绵阳）已知x1，x2是关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）=（p﹣2）（p﹣m）的两个实数根．
（1）求x1，x2的值；
（2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

25．（6分）在边长为2的正方形ABCD内求一点P，使得PA+PB+PC之和为最小，并求这个最小值及此时PA、PB、PC的大小．

学九年级（上）期中数学模拟试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）（2008•大庆）下列各图中，不是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
中心对称图形；生活中的旋转现象。1102933
分析：
根据中心对称图形的概念和各图形的结构特点求解．
解答：
解：A、C、D都既是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、只是轴对称图形．
故选B．
点评：
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要明确中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．

2．（4分）方程x2=x+1的根是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
解一元二次方程-公式法。1102933
专题：
计算题。
分析：
先观察再确定方法解方程，此题可以采用公式法或配方法．采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
解答：
解：∵x2=x+1
∴x2﹣x﹣1=0
∴a=1，b=﹣1，c=﹣1
∴b2﹣4ac=5
∴x=．故选B．
点评：
此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意采用公式法时首先要将方程化简为一般式．

3．（4分）下列方程中，无实根的方程是（　　）

A．

B．
x2+x=0
C．
x2+x﹣1=0
D．
x2﹣x=0

考点：
无理方程。1102933
专题：
计算题。
分析：
把A选项先两边平方，化为整式方程，然后利用根的判别式进行判断，B、C、D选项直接利用根的判别式解答．
解答：
解：A、方程两边平方得，x2=x﹣1，
x2﹣x+1=0，
a=1，b=﹣1，c=1，
△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×1=1﹣4=﹣3＜0，
所以原方程无实根，故本选项正确；
B、x2+x=0，
a=1，b=1，c=0，
△=b2﹣4ac=12﹣4×1×0=1＞0，
所以原方程有实根，故本选项错误；
C、x2+x﹣1=0，
a=1，b=1，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=1+4=5＞0，
所以原方程有实根，故本选项错误；
D、x2﹣x=0，
a=1，b=﹣1，c=0，
△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0，
所以原方程有实根，故本选项错误．
故选A．
点评：
本题主要考查了无理方程，一元二次方程的根的情况的判断，利用根的判别式进行判断即可，准确找出方程中的a、b、c的值是解题的关键．

4．（4分）（2008•泸州）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（　　）

A．
45°
B．
60°
C．
75°
D．
90°

考点：
圆周角定理；正多边形和圆。1102933
分析：
连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC=90°，再根据圆周角定理，得∠BPC=45°．
解答：
解：如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．
故选A．

点评：
本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．
这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．

5．（4分）（2006•绍兴）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（　　）

A．
15°
B．
20°
C．
25°
D．
30°

考点：
切线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质。1102933
分析：
先由PC为⊙O的切线得出∠PCO=90°，再用等腰三角形性质求出∠ACO=∠PAC=35°，最后利用三角形内角和即可求解．
解答：
解：连接OC，PC为⊙O的切线，所以∠PCO=90°，
因为OA=OC，则∠ACO=∠PAC=35°，
在△ACP中，∠P=180°﹣35°﹣35°﹣90°=20°．
故选B．

点评：
本题是考查圆的切线的性质、等腰三角形性质、三角形内角和的综合运用能力．

6．（4分）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（　　）

A．
M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）
B．
M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）
C．
M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）
D．
M（﹣1，3），N（1，﹣3）

考点：
坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-对称。1102933
分析：
根据轴对称和中心对称图形的概念解答．
解答：
解：A，M关于原点对称，A的坐标是（1，3），∴M（﹣1，﹣3）；
∵A，N关于x轴对称，A的坐标是（1，3），∴N（1，﹣3）．
故选C．
点评：
两个点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数，两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．

7．（4分）（2008•南昌）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（　　）

A．
与x轴相离，与y轴相切
B．
与x轴，y轴都相离

C．
与x轴相切，与y轴相离
D．
与x轴，y轴都相切

考点：
直线与圆的位置关系；坐标与图形性质。1102933
分析：
本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．
解答：
解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
如图所示：
∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．
故选A．

点评：
直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．

8．（4分）等边三角形边长为a，则这个三角形外接圆面积为（　　）

A．
πa2
B．

C．

D．

考点：
三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质。1102933
专题：
探究型。
分析：
根据题意画出图形，由垂径定理求出∠AD的长，由等边三角形外接圆的性质求出∠DAO的度数，进而得出OA的长，从而得出结论．
解答：
解：∵等边三角形的边长为a，
∴AD=，
∵∠DAO=∠BAC=×60°=30°，
∴OA===a，
∴这个三角形外接圆面积=（a）2π=πa2．
故选C．

点评：
本题考查的是三角形的外接圆与外心及等边三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

二、填空题（每小题4分共16分）
9．（4分）把下式配方：x2﹣x+　　=（x﹣　　）2．

考点：
配方法的应用。1102933
分析：
由于二次项的系数为1，所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半的平方．
解答：
解：∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为﹣，等号右边正好是一个完全平方式，
∴常数项为（﹣÷2）2=，
∴x2﹣x+=（x﹣）2．
故答案为，．
点评：
考查完全平方公式在配方法中的应用：若二次项的系数为1，常数项是一次项系数一半的平方．

10．（4分）Rt△ABC的斜边AB=5，直角边AC=3，若AB与⊙C相切，则⊙C的半径是　2.4　．

考点：
切线的性质。1102933
专题：
计算题。
分析：
根据题意画出相应的图形，如图所示，当圆C与AB相切于点D时，连接CD，根据切线的性质得到CD垂直于AB，此时CD即为圆C的半径，在直角三角形ACB中，由AB及AC的长，利用勾股定理求出BC的长，再由三角形ABC的面积等于两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD来求，根据面积相等可得出斜边上高CD的长，即为此时圆C的半径．
解答：
解：根据题意画出图形，如图所示：

∵Rt△ABC的斜边AB=5，直角边AC=3，
∴根据勾股定理得：BC==4，
∵圆C与AB相切于点D，连接CD，
∴CD⊥AB，
又∵S△ABC=AB•CD=AC•BC，
∴CD===2.4，
则AB与圆C相切时，圆C的半径为2.4．
故答案为：2.4．
点评：
此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形的面积求法，利用了数形结合的思想，其中圆的切线垂直于过切点的直径，且此时圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握这些性质是解本题的关键．

11．（4分）关于x的方程x2﹣3mx+m2﹣m=0的一个根为﹣1，那么m的值是　﹣1　．

考点：
一元二次方程的解。1102933
分析：
把x=﹣1代入方程x2﹣3mx+m2﹣m=0中，解关于m的一元二次方程求m的值．
解答：
解：当x=﹣1时，方程x2﹣3mx+m2﹣m=0为1+3m+m2﹣m=0，
即m2+2m+1=0，解得m1=m2=﹣1，
故答案为﹣1．
点评：
本题考查了一元二次方程的解的定义．使方程左右两边相等的未知数的值即为方程的解．

12．（4分）给定下面一列分式：，（其中xy≠0）则给定的这列分式中的第7个分式为　　，第n个分式为　　．

考点：
分式的定义。1102933
专题：
规律型。
分析：
分子中x的次数是分式的序次的2倍加1，分母中y的次数与序次一致，分式的序次为奇数时，分式的符合为正，分式的序次为偶数时，分式的符合为负，于是这列分式中的第7个分式为，第n个分式为（﹣1）n+1．
解答：
解：这列分式中的第7个分式为，第n个分式为（﹣1）n+1．
故答案为；（﹣1）n+1．
点评：
本题考查了分式的定义：叫分式，其中A、B都是整式，并且B中含有字母．也考查了从特殊到一般的规律的探究．

三、解答题
13．（8分）解下列方程：
（1）x（x+2）﹣x﹣2=0
（2）x2﹣6x+1=0．

考点：
解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法。1102933
专题：
计算题。
分析：
（1）提取公因式（x+2），然后利用因式分解法求解；
（2）先配方，把（x﹣3）看作一个整体，然后利用直接开平方解答．
解答：
（1）解：x（x+2）﹣x﹣2=0，
x（x+2）﹣（x+2）=0，
（x+2）（x﹣1）=0，
x+2=0，x﹣1=0，
解得x1=﹣2，x2=1；

（2）解：x2﹣6x+1=0，
x2﹣6x+9﹣8=0，
（x﹣3）2=8，
x﹣3=±2，
解得x1=3+2，x2=3﹣2．
点评：
本题考查了因式分解法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，找出公因式并准确分解因式是解题的关键，配方法的关键在于熟练掌握完全平方公式，根据公式结构整理．

14．（4分）在实数范围内分解因式：x4+x2﹣6．

考点：
实数范围内分解因式。1102933
分析：
把四次三项式看作关于x2的二次三项式因式分解，再利用平方差公式，在实数范围内作进一步的因式分解．
解答：
解：x4+x2﹣6
=（x2+3）（x2﹣2）
=（x2+3）（x﹣）（x+）．
点评：
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．

15．（5分）已知三角形的两边长分别是方程x2﹣3x+2=0的两根，第三边的长是方程2x2﹣5x+3=0的根，求这个三角形的周长．

考点：
一元二次方程的应用。1102933
专题：
几何图形问题。
分析：
先分别求得两个方程的解，再根据三角形的三边关系求得三角形的三边，进一步可求得周长．
解答：
解：解方程x2﹣3x+2=0，得
x1=1，x2=2
∴三角形的两边长分别是1，2．
解方程2x2﹣5x+3=0，得
x1=1，x2==1.5
∵1+1=2，1+1.5＞2
∴第三边的长是1.5
∴这个三角形的周长为1+2+1.5=4.5．
点评：
此类题目要读懂题意，准确的找到等量关系列方程，解出方程的解后要注意代入实际问题中判断是否符合题意，进行值的取舍．

16．（5分）某电视机厂1994年向国家上缴利税400万元，1996年增加到484万元，则该厂两年上缴的利税平均每年增长的百分率．

考点：
一元二次方程的应用。1102933
专题：
增长率问题。
分析：
等量关系为：1994年利税×（1+增长率）2=1996年利税，把相关数值代入计算求得合适的解即可．
解答：
解：设每年增长率为x，
400（x+1）2=484，
（x+1）2=，
x+1=±，
x1= x2=﹣，
∵x2不合题意，舍去，
∴x==10%．
答：每年增长百分率为10%．
点评：
考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的关系式为a（1±x）2=b．

17．（5分）要建一个面积为150平方米的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为18米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35米，求鸡场的长与宽各为多少米？

考点：
一元二次方程的应用。1102933
专题：
几何图形问题。
分析：
设围在两边的是xm，则只围了一边的是（35﹣2x）m，x和（35﹣2x）就是鸡场的长或宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
解答：
解：设围在两边的是xm，则只围了一边的是（35﹣2x）m
x（35﹣2x）=150，
﹣2x2+35x=150，
2x2﹣35x+150=0，
解得：x1=10，x2=．
当x=7.5时，长为20厘米，不符合题意，
答：长为15m宽为10m．
点评：
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题是用35米的篱笆围成三个边．

18．（5分）△ABC为如图所示的平面直角坐标系中的格点三角形．
（1）将△ABC向x轴负半轴方向平移4个单位得到△A1B1C1，画出图形并写出点A1的坐标；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出图形并写出点A2的坐标．

考点：
作图-旋转变换；坐标与图形变化-对称。1102933
专题：
作图题；网格型。
分析：
（1）根据平移的概念，保持移动后形状大小不变，各点距离相等即可；
（2）利用旋转的性质，找出各个关键点的对应点，连接即可．
解答：
解：（1）如图实线三角形所示，A1（﹣1，3）；

（2）如图虚线三角形所示，A2（﹣3，3）．

点评：
本题考查的是平移变换与轴对称变换作图．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．旋转时，是将每个点都绕对称中心旋转，然后连线．

19．（5分）如图△ABC中，∠BAC=90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，如果AP=3，那么△APQ的面积是多少？

考点：
旋转的性质。1102933
分析：
首先根据旋转的性质，证明△PAQ是等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解．
解答：
解：∵将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后与△ACQ重合，
∴△ABP≌△ACQ，
∴AP=AQ=3，AB=AC．
∵∠BAC=90°，
∴∠PAQ=90°，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
∴．
点评：
本题主要考查了旋转的性质及三角形的面积公式，其中证明△PAP′是等腰直角三角形是解题的关键．

20．（5分）如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线．

考点：
切线的判定。1102933
专题：
证明题。
分析：
要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可．
解答：
如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，
求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接AD、DO；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵E是AC的中点，
∴DE=AE（直角三角形中斜边中线等于斜边一半），
∴∠EAD=∠EDA．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=∠EAD+∠DAO=∠CAB=90°．
∴OD⊥DE．
DE是⊙O的切线．

点评：
本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．

21．（6分）已知关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0①有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围：
（2）若m为整数，且m＜3，a是方程①的一个根，求代数式的值．

考点：
根的判别式；一元二次方程的解。1102933
专题：
方程思想。
分析：
（1）由一元二次方程的定义知，二次项系数不为0，即m2﹣m≠0；然后根据根的判别式△=b2﹣4ac＞0列出关于m的不等式，根据这两个不等式解答m的取值范围；
（2）由（1）中m的取值范围求出整数m的值，然后将其代入关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0，得到关于a的一元二次方程的解析式，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
解答：
解：（1）∵关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得，m＞0，且m≠1；
∴m的取值范围是：m＞0，且m≠1；

（2）∵m为整数，m＜3，
由（1）知，m＞0，且m≠1；
∴m=2，
∴关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0的解析式是：2x2﹣4x+1=0；
∵a是方程的一个根，
∴2a2﹣4a+1=0（或者2a2=4a﹣1）；
∴=2a2﹣4a+1﹣+2=0﹣0+2=2，
即=2．
点评：
本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式．解答此题的关键地方是根据（1）与（2）的m的取值范围来确定整数m的值．

22．（6分）（2006•青岛）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

考点：
垂径定理的应用；勾股定理。1102933
专题：
应用题。
分析：
如图所示，根据垂径定理得到BD=AB=×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
解答：
解：（1）先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．

（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．

∵OE⊥AB
∴BD=AB=×16=8cm
由题意可知，ED=4cm
设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD2+BD2=OB2
∴（x﹣4）2+82=x2
解得x=10．
即这个圆形截面的半径为10cm．
点评：
本题主要考查：垂径定理、勾股定理．

23．（6分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”
（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．请你帮小亮完成证明．
（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ=CP”仍然成立吗？若成立，请你就图②给出证明．若不成立，请说明理由．

考点：
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。1102933
专题：
证明题；探究型。
分析：
此题的两个小题思路是一致的；已知∠QAP=∠BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠QAB=∠PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS证得△ABQ≌△ACP，进而得出BQ=CP的结论．
解答：
证明：（1）∵∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP﹣∠BAP=∠BAC﹣∠BAP，
即∠QAB=∠CAP；
在△BQA和△CPA中，
，
∴△BQA≌△CPA（SAS）；
∴BQ=CP．

（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：
∵∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，
即∠QAB=∠PAC；
在△QAB和△PAC中，
，
∴△QAB≌△PAC（SAS），
∴BQ=CP．
点评：
此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键．

24．（6分）（2007•绵阳）已知x1，x2是关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）=（p﹣2）（p﹣m）的两个实数根．
（1）求x1，x2的值；
（2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

考点：
二次函数的最值；根与系数的关系。1102933
专题：
开放型。
分析：
（1）化简方程，用分解因式法求出两根；
（2）直角三角形的面积为x1x2，利用根与系数的关系可以得到关于p的关系式，然后利用二次函数可以求出什么时候有最大值．
解答：
解：（1）原方程变为：x2﹣（m+2）x+2m=p2﹣（m+2）p+2m，
∴x2﹣p2﹣（m+2）x+（m+2）p=0，
（x﹣p）（x+p）﹣（m+2）（x﹣p）=0，
即（x﹣p）（x+p﹣m﹣2）=0，
∴x1=p，x2=m+2﹣p；

（2）根据（1）得到
直角三角形的面积为x1x2=p（m+2﹣p）
=p2+（m+2）p
=﹣（p﹣）2+，
∴当p=且m＞﹣2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为．
点评：
本题是综合性较强的题，利用了分解因式法求方程的根，利用了根与系数的关系来化简有关式子，还有利用二次函数求最值．

25．（6分）在边长为2的正方形ABCD内求一点P，使得PA+PB+PC之和为最小，并求这个最小值及此时PA、PB、PC的大小．

考点：
正弦定理与余弦定理。1102933
分析：
顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形，若PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，求出AF的值即可．
解答：
解：顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形．
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如图：可得最小PA+PB+PC=AF．
则由余弦定理，得
AF2=AB2+BF2﹣2AB•BFcos∠ABF
=AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠150°
=22+22+2×2×2×
=8+4，
∴AF==，即PA+PB+PC的最小值是+；
此时，PC=PA=，PB=+﹣=﹣．

点评：
本题主要考查轴对称﹣路线最短问题，正弦定理与余弦定理．解答本题的关键是熟练掌握旋转的知识．