地转偏向力的数学分析.pdf

文章编号:1008-7613(2001)04-0058-04地转偏向力的数学分析孙锦龙(河南大学 环境规划学院,河南 开封475001)摘要:分析了物体在地球表面作水平面运动或非水平面运动时,所受到的地转偏向力fP的大小;除赤道上作非水平面运动外,地转偏向力都可用fP=2mv1sin表达,其中v1是物体在水平面内的运动速度,或是非水平面内的运动速度v在水平面内的分量的大小(v的另一个分量须平行于)。赤道上作非水平面内运动的物体所受的地转偏向力并不等于零。关键词:科里奥利力;地转偏向力;水平面中图分类号:P183.2文献标识码:A当物体相对于匀速转动的参照系运动时,它除了受到惯性离心力(方向与向心力相反,大小为m2r)外,还要受到科里奥利力的作用,科氏力的大小和方向由:Fk=2m(v)确定,其中v是物体相对于参照系运动的速度,是参照系转动的角速度矢量,科氏力的大小为2mvsin,是v与 的夹角;由于vsin是速度v在转动平面内的投影矢量,故科氏力的大小等于2mv影,科氏力在(平行于)转动平面内垂直于v。地转偏向力是地球表面的运动物体受到科里奥利力在水平面的分力。科氏力虽然是一种惯性力,但它对物体存在着力的作用效果。由于地球在不停地自转和公转,严格地说,地球是一个非惯性参照系,相对它运动的物体就必然受到科氏力以及它在水平面内的分力地转偏向力的作用。但是地球自转的向心加速度只有33.94mm?s2,公转的向心加速度也只有6mm?s2,由它们带来的非惯性系效应是很小的,因此科氏力及其分力地转偏向力的量级是很小的。例如当物体的质量为104kg,相对地面水平运动的速度v=10m?s,在纬度为30 的地方,它受到的地转偏向力只有7.2910-4N,此力对物体运动的影响小到可以忽略的程度。因此在大多数情况下,地球还是一个“相当好”的惯性参照系。因此,物理学研究的许多现象,都把地球看成惯性系。只有在物体的质量很大,如大的气团、洋流等,运动速度很大,在较大范围内运动时,地转偏向力的影响才能显现出来;或者是物体在水平面内不受其他力,只受地转偏向力时;或虽然受力,但都是小力的情况下,才不得不考虑地转偏向力。如果在所受力的合力中,地转偏向力几乎没有什么地位,不能支配物体的运动,就无须考虑它的大小。本文只讨论(需要考虑地转偏向力作用的情况下,)地转偏向力fp的大小问题。1如果物体相对于地球运动的速度方向与地球自转角速度 矢量平行,因科氏力等于零,则地转偏向力也等于零。2除赤道外,当物体在水平面内以速度v1运动时,因Fk=2m(v),故科氏力在物体所在地(纬度为)的纬圈平面或其平等平面内垂直于v1,由于地转偏向力是Fk在地平面内的分力,(另一个分力在天顶方向),故地转偏向力又在水平面内垂直于物体的运动速度v1(如图1)。因此它只改变物体运动的方向,而不改变运动速度的大小,在北半球使物体运动发生右偏;南半球发生左偏(均沿物体前进方向)。地转偏向力一般不与 垂直(速度在经线方向和两极时除外)。85第15卷第4期2001年11月新乡师范高等专科学校学报JOURNAL OF X I NX I AN G TEACHERS COLL EGEVol.15,No.4NOV.2001收稿日期:2001205207作者简介:孙锦龙(1945-),男,河南商丘市人,河南大学环境与规划学院副教授,从事天文学研究。图1科氏力和地转偏向力因科氏力的大小是2mv1sin1,(1是v1与 的夹角),地转偏向力的大小应是Fk在水平面内的投影矢量大小,故fP=Fkcosx,(x即Fk与水平面的夹角,如图1中的KA P);图1中,因sinx=K P?A K KGcos?A K=A Ksincos?A K=sincos,其中 是Fk与 该 地 纬 线 方 向 的 夹 角,故fP=2mv1sin1(1-sin2cos2)1?2另外从速度大小考虑,图1中,因Fk垂直于v1和,故v1在纬圈面内的投影v 垂直于Fk,所以v与该地半径方向(A B)的夹角也为;则v21sin21(1-sin2cos2)=v2-v2sin2cos2=A F2-B F2cos2=A F2-B F2+B F2sin2,因v1的经向分量是A H=CE,纬向分量是A C,v 的经向分量是A B=vcos,纬向分量也是A C(=B F)=vsin,A B=CF=CEsin,所以v21sin21(1-sin2cos2)=A H2sin2+A C2sin2=v21sin2,即sin1(1-sin2cos2)1?2=sin,故fp=2mv1sin。由此可见,作水平运动的物体所受地转偏向力的大小,除决定于物体的质量、地球自转角速度 以外,与物体所处地理纬度有关,与物体水平面运动速度的大小有关,而与水平速度的方向无关,表达式中不含与速度方向有关的量。此时科氏力在天顶(底)方向(垂直于水平面)的分力大小是fZ=2mv1sin1sinx=2mv1sin1sincos=2mv纬cos,其中v纬即速度的纬向分量。在两极,因=90,故fP=2mv1;fZ=0。3如果物体的运动速度不在水平面内,同样受到科氏力的作用,其大小和方向仍由公式Fk=2m(v)确定,其大小为2mvsin,(是运动速度v与 的夹角),其方向仍在(平行于)纬圈的平面内垂直于v。为了求得此时地转偏向力的大小,我们约定:将v分解成水平面内的速度v1与平行于 的速度之和,因后者不产生科氏力的作用(等于零),故只有水平面速度v1才产生科氏力的作用,经在水平面内的分力即是物体受到的地转偏向力,所以问题又归结为上述2的情况,即不在水平面内运动的物体所受地 转 偏 向 力 的 大 小 是fP=2mv1sin1(1-sin2cos2)1?2,(其中 1是水平分量v1与 的夹角),且fP=2mv1sin,方向仍是在水平面内垂直于v1;问题的关键是如何按上述约定分解v,从而求得用v表示v1大小的表达式。图2中,物体在纬度为(不等于零)的A点作非水平面运动,速度为v,设v与A点经线平面的夹角为(FA H),v与 的夹角为,将v分解为水平面内的v1和平行于 的速度IH,AM C为纬圈面,A B I为水平面;在A IH中,应用余弦定理:A I2=A H2+H I2-2A HH Icos,由H I=M H-M I,M H=A Hcos,FH=B I=CM=A Hsin,和图2v的分解和投影M I=B C=A Bcos,A B2=A I2-B I2,可得:v1sin=v(sin2-sin2cos2)1?2故fP=2mv(sin2-cos2)1?2=2mv1sin;另 外 在 图2中,由M C=FH可 得:sin=sinsin;vsin=v1sin1=v(v在纬圈面内的投影),故v1sin1(1-sin2cos2)1?2=v(1-sin2cos2)1?2=v(sin2-sin2cos2)1?2;但它们都等于v1sin;由此可见,无论物体在水平面内运动或不在水平面内运动,物体所受地转偏向力均为fP=2mv1sin;其中v1是水平面内的速度,或是按约定95第4期孙锦龙:地转偏向力的数学分析分解的v在水平面内分量的大小。同理,此时科氏力在垂直于水平面(天顶)方向上的分力fZ=2mv纬cos,其中速度的纬向分量v纬=vsin=vsin在两极,=90,fP=2mv1,其中v1=vsin,因Fk在水平面内,fZ=0.下面是物体在非水平面的几种特殊方向上运动时受到的地转偏向力的大小。3.1速度v在纬度不为零的某地经圈平面内,按约定把v分解出v1,由图3可知v1sin=vsin,故fP=2mv1sin=2mvsin。事实上,此时科氏力在A点纬线方向上,Fk与fP的大小相等,均为2mvsin。(1)若速度v在天顶(底)方向上,按约定分解出v1如图4,因=90-,v1=v?tg,故v1sin=vcos,fP=2mvsin=2mv1sin=2mvcos;3.1.1若速度v在天底方向上,按约定分解出v1如图4,因=90-,v1=v?tg,故v1sin=vcos,fP=2mvsin=2mv1sin=2mvcos;3.1.2若速度v在A点的地球半径方向上,=90按约定分解出v1如图5,v1=v?cos(90-),故fP=2mv1sin=2mv;图3v在经圈面内图4v在天顶方向图5v在半径方向图6v在纬圈面内3.2物体的速度v即v 在纬度 不为零的A地纬圈平面内,=90,=,按约定分解出v1如图6,因v1sin=v(1-sin2cos2)1?2,故fP=2mv(1-sin2cos2)1?23.3若v在过A点纬圈的切线并垂直于纬圈面的平面内,因v1=vsin,故fP=2mv1sin=2mvsinsin图7v在赤道上4赤道上运动的物体所受地转偏向力的大小不都为零,只有在赤道水平面内运动时,fP=0,但此时的科氏力不为零,它在垂直于水平面的方向上,故水平面内的分力为零。这与fP=2mv1sin的计算结果一致。如果赤道上物体的运动速度不在水平面内,如图7中的A H,它不可能同时分解成平行于 的速度分量与水平面内的分量v1之和,而可分解成平行于 的速度分量与平行于赤道面内的分量(如图7中的A B和B H)之和。或分解为水平面内的分量与另一个非水平面内的速度之和,此时科氏力虽然在赤道面内,但不与水平面垂直,它在水平面内的分量不为零,故不能用fP=2mv1sin计算地转偏向力,fP0。如3中所述,此时可用fP=2mv(sin2-sin2sin2)1?2计算,其中是v与A地经线平面的夹角。图7中,由于FH=vsin,CD=A Dsin,和v=A D=vsin,也 可 得:sin=sinsin,故fP=06新乡师范高等专科学校学报第15卷2mvsincos,其中 是v在赤道面投影v 与经线平面(A地半径方向)的夹角。4.1若v就在过A点的经线平面内(=0),如图7中的A F,科氏力在赤道水平面内垂直于v,fP=Fk=2mvsin;4.2若v即v 在赤道面内,如图7中的A D,因=90,故fP=2mvcos,而科氏力在赤道面内垂直与v,大小为2mv。4.3若v在赤道半径方向上,=90,=0,科氏力在水平面内,故Fk=fP=2mv。综上所述,除赤道外,物体在地球表面运动时所受地转偏向力的大小,都可由fP=2mv1sin计算;当物体的运动速度不在水平面内时,v1是将速度v按平行于 的分量和水平面的分量v1分解而得出,且v1sin=v(sin2-sin2cos2)1?2;当物体的运动速度v即v 在纬圈平面内时,地转偏向力为2mv(1-sin2cos2)1?2;以上 是v与 的夹角,是v与某地经线平面的夹角,是v在纬圈平面的投影v 与A地半径方向的夹角。赤道上运动物体的地转偏向力可由fP=2mvsincos计算,其中是v在赤道面内的投影与赤道半径方向的夹角。以上是对北半球具有东向分量速度的运动物体所受地转偏向力大小的分析,当物体具有西向分量的速度,或是物体在南半球运动时,它受的地转偏向力,也有类似的结果。Mathematic Understanding of Deflection Force of Earth RotationSUN Jin2long(Department of Geography,Henan U niv,Kaifeng 475001,China)Abstract:This paper makes a concrete analysis of the deflection force of earth rotation(fP)w hich acts on theobjects in horizontalmotion or in mon2horizontalmotion.Except the equator,thefPcan all be expressedw ith formulafP=2mv1sin,w here v1is either themotion velocity of the objects in non2horizontalmotion,w hile the another component is parallel to.On the equator the deflection force of earth rotation w hichacts on the objects in non2horizontalmotion is not equal to zero.Key words:Coliolis force;deflection force of earth rotation;horizontal plane【责任编校邢怀民】16第4期孙锦龙:地转偏向力的数学分析