构造法闪亮的思维火花（中国数学教育稿件).doc

构造法 闪亮的思维火花
——海南省2012年中考数学第23题的解法赏析与教学思考
孙孝武（海南省教育研究培训院）
邓之淮（海南省文昌中学）

摘要:海南省2012年中考数学第23题是以矩形为基本图形，综合三角形、四边形与图形变换等主干知识的一道“压轴题”.分析此题的解题思路和方法，指出构造法是一种创造性解题思维，是闪亮的思维火花．教学中应注意让学生体会构造法的数学思想和方法，培养学生的探究能力与创造性思维.
关键词: 构造法、试题、解法赏析、教学思考
构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法，这个数学模型可以是一个图形、一个方程或者一个函数等．合理运用构造法可以在条件与结论之间架起一座“桥”，把一个复杂问题的条件明朗化，使问题获得简捷明了的解答方法，以下结合海南省2012年中考数学第23题第（3）小题的解答，赏析构造法在解题过程中的运用．
一、考题分析
海南省2012年中考数学第23题是以矩形为基本图形，综合三角形、四边形与图形变换等主干知识的一道“压轴题”，注重对数学思想方法与学生探究能力的考查，第23题为：

收稿日期：2012年07月23日
作者简介：
孙孝武，1963年3月出生，男，海南省海口市人，中学数学高级教师。
电话：[phone] 邮箱：sunwu22@ 身份证号：460004196303100075
邓之淮， 1973年12月出生，男，海南省文昌市人，中学数学高级教师，是海南省初中数学中心组成员之一，已发表数篇文章在省级以上刊物上，主要研究初中数学命题与初中数学教育，经常从事各种数学命题工作与教师培训工作。
住址：海南省文昌中学第36幢教师楼302房 邮编：571321 电话：[phone]
邮箱：327938408@ 身份证号：460022197312061255

如图11（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN ．
（1）求证：△ADN≌△CBM；
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗?请说明理由；
（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点， 连接PQ、CQ、MN，如图11（2）所示，若
PQ＝CQ，PQ∥MN，且AB＝4cm，BC＝3cm，求PC的长度．
P
Q
图11（2）
A
B
C
E
D
F
N
M
图11（1）
A
B
C
E
D
F
N
M

此题设置三个小题，有非常明显的梯度——易、中、难，其中第（3）小题融汇数学主干知识与核心数学思想方法于一体，具有较强的探索性，考查学生对数学主干知识与核心数学思想方法的深层次理解与掌握．第（3）小题只是在平时常见的图形——图11（1）上加上MN、PQ、CQ构成， “PQ＝CQ，PQ∥MN，”这个条件让图形存在诸多的等量关系，解题途径多却很隐蔽.学生在中考时交出了很多精彩解答，限于篇幅，本文仅就第（3）小题中的构造法解题方面进行分析．
二、解法赏析
在解第（3）小题的过程中能够求出线段BM、CN或DN、AM是解答此题的关键，而推敲出PC与BM、CN或PC与DN、AM之间的联系则是一个难点，使用普通的方法很难构建起它们之间的联系，倘若结合矩形的性质与“PQ＝CQ，PQ∥MN ”，从条件往结论推理，再由结论倒过来做假设与猜想，可发现图形中存在着的许多等量关系，抓住等量关系就能找到解题的突破口！ 而“构造法”往往可以使数与形结合，在条件与结论之间建立起一座桥梁，化繁为简，化未知为已知。因为线段PC的解法也非常丰富，故以下分析，在探究“线段BM、CN或DN、AM”解法的同时均采用不同的方法解答PC.
P
Q
图11（2）A
A
B
C
E
D
F
N
M
G
解法一:如图11（2）A

由（2）知DN=NF ，∠D=∠NFA=90°，
则∠NFC=90°． 又∠DCA=∠FCN ，
所以△ADC ∽△NFC ， 所以．
又AC==5 cm，
设DN=x，则NF=x，CN=4-x
则 ，解得x=1.5．
则有NF=DN=BM=1.5 cm， NC=2.5 cm．
作QG⊥CD于点G ，则BQ=CG=PG．
因为PQ∥MN ， CD∥AB， 所以NP=MQ．
所以PG=NC-（NP+GC）， 即PG=NC-BM=1 cm．
又PQ=CQ，所以PC=2PG=2 cm．
P
Q
图11（2）B
A
B
C
E
D
F
N
M
K
【探究与拓展】解法一利用△ADC 与△NFC相似对应线段的比相等构造方程，未知数的引入抓住了解题的关键，使求解BM与NC的值的过程大大化简．在求线段PC的长度时，通过作QG⊥CD构造直角三角形，利用勾股定理求解，分析解答的过程，抓住图形中存在的等量关系也是求解的重点——PG=NC-BM．求线段PC的长度时，也可以向外添加辅助线构造平行四边形与直角三角形，如图11（2）B，过点C作CK∥PQ交AB的延长线于点K ，发现图形中存在的等量关系有NP=MQ、PC=QK、QB=BK、NC=MK等，易得BK=MK-BM ，PC=QK=2BK=2BQ，求线段PC的思路水到渠成，在此，构造法在解题的过程中处处显示出它的优点．

P
Q
图11（2）C
A
B
C
E
D
F
N
M
H
G
解法二:如图11（2）C

设BM=x，则ME=BM=x，AM=4-x．
因为AC==5 cm，
所以AE=5-3=2cm．
因为∠CEM=∠B=90°，所以∠AEM=90°．
所以△AEM是直角三角形．
所以（4- x）2 -x2=22 ， x=1.5 ．
所以DN=BM=1.5 cm．
过点N作NH⊥AB于点H ，
则AH=DN=BM=1.5 cm ，所以MH=1 cm．
因为PQ∥MN，又CD∥AB ，所以MN=PQ ．
过点Q作QG⊥CD于点G，
则有NH=GQ，所以△MNH ≌△PQG．
所以PG=MH=1 cm ． 又PQ=CQ，
所以PC=2PG=2 cm ．
【探究与拓展】勾股定理本身就是一个等式，抓住这点引进未知数，就能够构造起有关线段之间的一个方程．图形中存在若干个相关联的直角三角形，如Rt△AEM、Rt△CFN与Rt△ABC等，用勾股定理构造方程求解，是一种常见的解题思路，而此解不同之处就在于能根据翻折原理进行等量代换，把BM移到Rt△AEM 中，根据BM、EM、AM与AB之间的等量关系，用勾股定理构造方程，突破了思路的瓶颈；而在求PC的长度时，是构造△MNH 与△PQG全等来解决的，构造全等三角形，可以如“图11（2）C”那样构造，也可“过点D作DH∥MN交AB于点H，过点Q作QG⊥CD于点G ”来构造全等三角形，如“图11（2）D”，解法类似．
P
Q
图11（2）D
A
B
C
E
D
F
N
M
H
G

P
Q
图11（2）E
A
B
C
E
D
F
N
M
G
解法三:如图11（2）E

在Rt△ABC中 AC==5 cm，
又由（2）知DN=NF ，∠D=∠NFA=90°，
则∠NFC=90°．
所以．
设DN=x，则NF=x， CN=4-x，
则 ，x=1.5．
所以BM=DN=1.5 cm ， CN=2.5 cm．
因为CD∥AB， PQ∥MN， 所以PN=MQ．
过点Q作QG⊥CD于点G ，
因为PQ=CQ ，BC⊥CD， 所以CG =PG =BQ．
设BQ=y，则PC=2y，MQ=PN=1.5-y．
因为PC+PN=CN=2.5 cm，
所以2y +(1.5-y) =2.5． y=1 cm．
所以PC=2y=2 cm．
【探究与拓展】在直角三角形或能构造出直角三角形的图形中三角函数就存在，三角函数说得直观点就是边的比值，观察、分析图形中的直角三角形，可知NF、NC的比与AD、AC的比相等，引入未知数就能巧妙构造出方程．“解法三”存在两个亮点，一是用三角函数构造方程求BM与CN，二是用线段与线段之间的等量关系构造方程求PC．构造方程，使几何问题与代数解法相结合，使数形结合而易于求解，在求PC时，利用PN=MQ、PC+PN+DN=4、BQ=0.5PC等均可构造方程（或方程组）解答，比如用BQ+MQ=1.5与PC+PN=2.5可列出方程组；又如结合，设BQ=x，NP=y，则PC=2x ，BM=DF=DN=x+y，NC=2x+y，则，则x=2y，再结合等式NC+DN=4 ，可列出方程（2x+y）+（x+y）=4,解出x=1，PC=2cm．这种求线段PC的方法很巧妙,思路简明，在解答的过程中甚至不用求任何一条线段的长度，通过解方程就可以求出线段PC的值．用线段间等量关系构造方程（或方程组），使问题由难变易，可以衍生出许多种精彩的解法．

P
Q
图11（2）F
A
B
C
E
D
F
N
M
G
解法四:如图11（2）F

在Rt△ABC中 AC==5 cm，
设BM=x，则ME=x．
则有，
，
所以，x=1.5．
所以BM=DN=1.5 cm，CN=AM=2.5 cm．
又PQ∥MN ， CD∥AB ，所以NP=MQ．
过点Q作QG⊥CD于点G，
因为PQ=CQ ，所以BQ=GC=PG，
所以NC=BM+BQ，设BQ=y，则NC=1.5+y
由
得，解得y=1
∴PC=2CG=2 cm．
【探究与拓展】“等积法”是构造方程的一种好办法，图形中有几个多边形的面积是可求的，比如△ACD与△ABC的面积为6，梯形AMND与梯形BCNM的面积也是6，而△ACM、△BCM、梯形AMND与梯形BCNM等多边形的面积均可用代数式表示，因而可围绕着三角形的面积或梯形的面积来构造方程；在求线段PC的长度时，除了可以用线段间的等量关系，还可以利用面积来构造方程求解．构造方程，把抽象的几何推理化归为解方程，让解答化难为易，化繁为简，令人耳目一新．
P
Q
图11（2）G
A
B
C
E
D
F
N
M
H
G
解法五:如图11（2）G

在Rt△ABC中 AC==5 cm，
因为把∠B、∠D分别沿CM、AN翻折，点B、D落在对角线AC的点E、F处，
所以AN是∠DAC的角平分线．
所以AD：AC=DN：NC．
设DN=x，则NC=4-x．
则（4- x）：x=5：3，解得x=1.5．
所以DN=1.5 cm，CN=AM=2.5 cm．
过点N作NH⊥AB于点H ，过点Q作QG⊥CD于点G，所以HM=AM－DN=1 cm．
因为PQ∥MN，又CD∥AB ，
所以PQ=MN，NH=GQ=3cm．
所以PQ=MN= cm．
又PQ=CQ，所以PG =CG ==1cm．
所以PC =2PG=2 cm．
【探究与拓展】用角平分线的相关性质构造方程是不多见的解法，不过一些对角平分线进行过深入研究的学生会利用这一性质．因为“翻折”，所以图形中存在着轴对称，AN与CM分别是∠DAC与∠ACB的角平分线，故
AD：AC=DN：NC与BC：AC=BM：AM，利用这两个比例式都可以构造方程；为了显示PC的不同解法，“解法五”中采用了与前面完全不同的方法——“过点N作NH⊥AB于点H ，过点Q作QG⊥CD于点G”构造直角三角形，利用勾股定理分别求MN与PG的值，继而求出PC；另外利用勾股定理求MN与PQ，也可以通过连接NE、MF，如图11（2）H所示，在Rt△NFO中求出NO或MO，再求出MM与PQ．
P
Q
图11（2）H
A
B
C
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G
O

探究与总结海南省中考数学第23题第（3）小题的解法，无论是前部分——“求线段BM、CN（DN、AM）的值”，还是后部分——“求线段PC的值”，“构造”都是最闪亮的解题思路，从以上分析可看出有了形的多样构造,从而可利用形的数量关系构造方程，解方程得PC的值。这种由形到方程，再回到形（求出线段PC的值），充分体现了数形转化思想，在转化过程中构造法起到了关键的作用，不同类型的构造体现了解题思路的创新和发展，同时也体现了数学的构造美．
三、教学思考
根据海南省考生答题信息，这道题的得分率不高，能够正确解答第（3）小题的学生较少，其中主要的缘由是不懂得抓住图形中的等量关系，对问题进行深入分析，找出“条件”到“结论”之间的“路”，而会应用构造法“铺路”的同学更少．学生的答题信息也反映出一个教学中存在的问题——“教学中缺少引导学生理解题目中隐含的数学思想与方法！”。教师缺少数学思想方法的渗透，势必会造成“为讲题而讲题”；学生缺乏对隐藏的数学思想方法的理解，会造成“为解题而解题”，千篇一律，不会真正领悟到其中的方法，思维不会获得质的飞跃！ 从海南省中考数学第23题第（3）小题的解法可以看出，题中包含的数学思想很丰富，“构造法”是极富创造性的，是闪亮的思维火花！因此在平时的教学时，应当重视数学思想的挖掘，关注“构造法”在解题中的运用，引导学生抓住问题的条件，构造可以解决问题的数学模型（如方程、不等式、函数、几何图形等），铺设“条件”通往“结论”的“路”，让学生真正领悟数学的学习方法，体验构造过程中的创新思维与数学美．
参考文献：
[1] 徐金星，刘胜华． 构造法[J]． 数学教学通讯，2011年04期：26-27．
[2]李 郊． 构造法的应用[J]． 中学数学，2012年第03期：88．
[3]阎建海，冼世洲． 一道中考题的探究[J]． 数学学习，2009年第02期：18-21．