螺旋组装体的电镜三维重构.pdf

生物物理学报2 0 1 3年 1 2月 第 2 9卷第 1 2期：8 7 9 8 9 8 ACT A BI OPHYSI CA SI NICA Vo 1 29 No 1 2 Dec 2 01 3：8 7 9 89 8 螺旋组装体的电镜三维重构 张艳，孙飞 中国科学院生物物理研究所，生物大分子国家重点实验室，北京 1 0 0 1 0 1 W W W c j b o r g c n 收稿 日期：2 0 1 3 1 1-2 9；接受 日期：2 0 1 3 1 2 0 5 基金项目：国家 自然科学基金青年基金项 目(3 1 1 0 0 6 1 7)，9 7 3”计划项 目(2 0 1 1 C B 9 1 0 3 0 1)，青年“9 7 3”计 划项 目(2 0 1 4 C B 9 1 O 7 0 0)通讯作者：孙飞，电话：[phone]，传真：[phone]，E-m a i l：f e i s u n i b p a c c a 摘要：低 温电镜三维重构技术近年来得到飞速发展，其在分析生物大分子复合物 的结构和功能 中起着重要作用。低温 电镜 三维重构技术主要包括电子断层 三维重构技术、电子晶体学及单颗 粒三维重构技术。由于无需结 晶，且所能达到的分辨率较高，目前，单颗粒三维重构技术 已经 成为电镜三维重构领域 的主流技术。在用单颗粒三维重构技术进行结构解析 时，有 一类特殊的 研 究对 象，即螺 旋 组装体，如烟 草花 叶病 毒(t o b a c c o mo s a i c v i r u s，T MV)、微 管 和微 丝(mi c r o fi l a me n t)、艾滋病病毒 1型(H I V一 1)衣壳蛋 白等，对这类螺旋组装体 的结构进行 三维重 构不是很容易，涉及诸 多物理和数学的概念。本文重点介绍螺旋 组装体的基本重构原理，包括 螺旋组装体的数 学描述、衍射指数的推导和物理意义、螺旋点阵和真实螺旋组装体 F o u r i e r 变换 间的关系，以及螺旋对称参数 的测定和计算等。在此基础上，文章综述 了螺旋组装体的三维重 构算 法，主要包括频率空间的F o u r i e r-B e s s e l 重构方 法和实空间的迭代单颗粒重构方法。最后，文章 以与细胞极性发生相关的蛋 白P a r-3的 N端结构域 P a r-3 NT D为实例，详细介 绍 了P a r-3 NT D螺旋组装体的实空间迭代单颗粒重构方法。关键词：螺旋组装体；低温 电镜；三维重构；F o u r i e r-B e s s e l 变换；实空间迭代 的螺旋 三维重构 算法 中图分类号：Q7 1 I oI：】0 3 7 2 4 S P J 】2 6 0 2 01 3 3 0 1 5 9 引 言 螺旋在 日常生活中很常见，比如弹簧、盘旋楼梯等都具有螺旋结构。这种螺旋结构体 在生物体中一样普遍存在，且在行使生命活动的过程中具有重要作用。沃森和克里克 1 9 5 3 年发现的 D N A双螺旋结构及蛋 白质中广泛存在的基本结构组成部分 螺旋，都是螺旋结 构在生命体中的典型代表。组成细胞骨架的纤丝是 由微管 、肌动蛋 白【s 、肌凝蛋 白 8 1 0 等球状蛋 白按照螺旋点阵组装的。类似的，组成细胞外纤维的鞭毛【l】和菌毛 1 2,1 3 ，以及细胞 外基质的胶原蛋 白等，也是由组成蛋 白以螺旋结构的形式组装而成的。有些病毒，比如 艾滋病病毒 1 型衣壳蛋白也可以组装成螺旋结构【5,1 司。这些例子表明了螺旋组装体的一个重 要的共同性质：由单个的基本构造单元组装成一个可延长的、纤维状的结构。这种纤维结 构的性质则由螺旋体的空间几何性质及相邻基本构造单元间的相互作用关系来确定【圳。87 9 生物物理学报 2 0 1 3年 第2 9卷 第 1 2期 近几十年来，已经有大量的相关研究揭示了螺旋组装体的几何结构，并发展了相应的 算 法 以 解 析 螺 旋 组 装 体 的 结 构。其 中 最 主 要 的 算 法 可 以 分 为 两 类：一 类 是 基 于 F o u r i e r-B e s s e l 变换的F o u r i e r-B e s s e l 重构，该方法主要基于 C o c h r a n等 1 9 5 2年对螺旋组 装体衍射性质的研究2 0,2”，根据 F o u r i e r 空间衍射信息，确定相应 B e s s e l 函数阶数的衍射值，然后再进行逆 F o u r i e r 变换，得到实空间的螺旋组装体的结构 2 2-2 5 ；另一类是基于单颗粒三 维重 构的实空 间迭代 的螺旋三维重构算 法 f i t e r a t i v e h e l i c a l r e a l s p a c e r e c o n s t r u c t i o n，I H R S R)2 6,2 7 。尤其是 I H R S R算法发展 以后，关于螺旋组装体的结构研 究层 出不 断 f 如 F a c t i n i C、D y n a mi n 2 9 、E s p Ap 0】等等)。如此众多的螺旋组装体的结构研究，都离不开螺旋 组装体其复杂的重构原理。本文将总结螺旋组装体的基本重构原理，介绍螺旋组装体的基 本数学描述3 1,3 、螺旋结构体与二维点阵的关系、螺旋组装体与二维点阵的 F o uri e r 变换、衍射信息的提取及其螺旋参数的计算。在这些基本理论知识的基础上，进一步介绍螺旋组 装体的两种主要重构方法的主要步骤。并通过 P a r-3的 N端结构域 的冷冻电镜三维重构，展示实空 间螺旋三维重构 的一个具体应用。螺旋组装体 的数学描述及其相关理论基础 螺旋组装体 的数学描述 一个连续 的螺旋线可 以通过柱坐标系 以下面的方程组很好地表示出来：Ix=r c o s(2 ax z P)y=r s i n(2 r z P)(1)其中，r 表示半径，为从 轴正方向看 白 轴按逆时针方向转所转过的角度。方程(1)等价 于下面 的表达式：f 阿 =2 r rz P (2)其中，P表示螺距。以上是螺旋线 的连续形式表 达式。而 生物组装 体实 际上是连续 螺旋结构 的离散化 f 见 图 1 A)，即由基本生成元(亚基)沿着螺旋轨迹以相等的间距排布。该排布可以看成单个亚 基的两种运动方式的合成：即沿着 z 轴等间距()地上升，同时又绕着 z 轴等角度()地旋转(见图 1 B)；或者等价地通过螺旋组装体一圈(即单个亚基绕螺旋轴旋转 3 6 0。)中基 本单位的数 目来描述。若把基本生成元看作一个抽象的点，离散的螺旋组装体则是一个在 空间中按照旋转角度()和上升间距()两个参数规则排列的螺旋点阵。本文要讨论的 正是离散化的螺旋组装体的基本原理，以及实际生物样品的螺旋三维重构。图 1 是一个抽 象的螺旋点阵示意图。图 1 A中一圈所包含基本单位的个数为 5。但对于实际的样品，一圈 中所含基本单位的数 目并不一定是整数，也可能是分数。每个基本单位在 方 向上的重复 距离 C 可以通过表达式 c=t P-A z 来描述，其中，t 表示一个重复距离 c中包含的圈数，表 示一个 c中包含的基本单位的个数，P是螺距，是相邻两个基本单位问上升的距离。比 A CT A BIOP H YS I C A S I NI C A I V O l _2 9 N o 1 2 I De c 2 01 3 张艳等：螺旋组装体的电镜i维重构如烟草花叶病毒3圈4 9个亚基是一个重复，重复距离c是69A。其中，烟草花叶病毒的单个亚基上升的距离是14 08A，两个亚基问的旋转角度是2204。33-。(A)fBl图1螺旋结构的几何结构示意图(A)螺旋组装体的离散结构示意 图。每个蓝色球代表一个基木不对称 单位，监色I I I l 线代表形成螺旋结构所经过的连续的螺旋线轨迹。P表示一个螺距的趴离；(B)r表示堆本 竹位离螺旋轴=的半径，舢表示从。轴j Ii办 向看，基l小单位 围绕：轴按逆时针所旋转的角度，表示基本单位沿荇z轴办m上外的趴离。该图所模拟的螺旋结构一圈q Il恰好有5个基本单位。轴表示螺旋轴，这在螺旋组装体领域的研究t一是约定俗成的F ig1T hegeometrydiagramofhel icalassemb ly(A)T hedis cretegeom etryd iagr amofhel icalass emb lyEverybluebal listhebasicasymm etricunit，theb luecur vem eansthemotionpathoftheb luebal l Prepr es entsthedistanceofonepitch(B)rdenotesther ad ius；istherotationanglear oundthe=axisaccord ingtoclockwiseofpositived ir ectionofthe=axisisthetranslationd istancealongthezaxisTherear eexactly5subunitsam ongonepitchforth ism odel inghel icalas s emb lyT hezaxisisusual lythehel icalaxisinthehelicalassemb lies str uctur estudyfield螺旋点阵与二维点阵的关系理解二维 点阵与螺旋 点阵的关系，将有利于理解螺旋组装体 的Fourier变换及其参数确定。将一个螺旋点阵沿着其所在柱面的其中一根母线剪开，再平铺到平面上，得到的是一个二维的点阵；同样，在二维点阵中选取两个基准点(该两点之间的连线称为圆周向量1；然后过两个基准点，分别画垂直于圆周向量的垂线；再 以两条垂线为边，将两个基准点和两条边重合，得到的柱体即是个螺旋点阵f图21，圆周向量正是该螺旋点阵中垂直于轴线的圆周_1 7J。在二维点阵中选取不 同的基准点，将得到不同的螺旋点阵(图2)。二维点阵和圆周向量唯一确定了螺旋点阵。由于螺旋点阵的半径是有限的，螺旋点阵与圆周向量 从能相交有限次，该相交次数定义为螺旋点阵的起始数。二维点阵是 由两个基矢向量牛成的，而根据选取的基矢向量的不同，每个螺旋点阵又可看成不 同起始数的螺旋线族。比如图2A中的黑色线作为螺旋组装体的圆周向量，可以看成不 同起始数 的螺旋线族。以图中f0,0)点为原点，(0，1)和(1,0)分别代表两个基矢向量方 向。取(0，1)方 向为螺旋点阵的走向，则对应黑色圆周向量的螺旋点阵(图2B)对应着起始数为7的螺旋线族；而若取(0，1)和(一l，2)方向为基矢 向量，螺旋点阵沿(一1，2)方向与黑色圆周向量相交14次，则图2B可 以w w wcjborg。caIACT ABIO P HYSICASIN ICA二 一 五0、卫一、之642O8642O生物物理学报2013年 第29卷第12期看成起始数为14的螺旋族。最小的起始数所对应 的螺旋线族称为螺旋组装体的基本螺旋线族。(A)(0，0)(1，0)(7，o)(C)00：三：0o00竺 吾。；留吾参呈i暑。夸。三。图2二维点阵与螺旋点阵的关系(A)二维点阵示意图。黑色的双箭l、大线表示选取的圆剧向量，绿色虚线垂广 tJi黑色的圆周向量。(B)螺旋点阵永意图。将黑色箭头所指的两点(0，0)和(7，0)迭合，两条绿色虚线重合，从Im将点阶所在的面卷起，即得到该螺旋组装体，虚线方向既是螺旋结构的螺旋轴方向。(C)：维点阵的Fourier变换F ig2T her elationsh ipbetweentheplanelat ticeandthehel ical lat t icefAlT hediagramoftheplanelat ticeTheb lack doub lea玎 owdenotesthecir cularvectorThetwogreenbrokenl inesareverticaltotheblackcir cularvectorfBlThediagramofthehelicallat ticeT hehelical s emblyisfor medbyr oll inguptheplanelatticewiththetw ogr eenbr okenl inesandthetwopoints(0，0)and(7，O)coincidedwitheachotherThedirectionalongthebr okengr eenl ineisthehel icala xisd ir ectionfClTheFouriertransfor r nofplanelat tice以上描述的实际也是从一个二维点阵生成一个螺旋点阵的过程。所生成的螺旋点阵实际上是单个点按照螺旋对称性沿着柱面运动的过程，如前所述。除了该螺旋对称性，一个螺旋点阵根据其最小起始数的个数，又相应地存在丘次旋转对称性。即：最小起始数是几，就具备几次旋转对称性。如图2B所示的螺旋组装体还具备C，对称性。图2B实际是从 图2A的平面点阵中取(0,0)点和(7,0)点间的向量为圆周向量，将点阵卷起，让图2A中两条绿线(与黑色圆周向量垂直)重叠而得到的。(1,0)方向有7个格点也是(0，1)方向的螺旋线与黑色圆周向量的交点均匀地分布在圆周向量上，因此，图2B除了螺旋对称性外，同时具备7次旋转对称性(c7】；反之，若螺旋点阵具备七次旋转对称性，那 么，任何一条螺旋线郁对应着蠡条相 同螺旋参数的螺线族。所以，具有七次旋转对称性的螺旋组装体的起始数一定是南的倍数，而南同时又是基本螺线族的起始数，或者是该螺旋组装体的最小起始数。比如，图2B的基本螺线族是起始数为7的螺线族，其所对应的其它类型的螺线族的起始数均为7的倍数，如上述提到的起始数14的螺线族。以上论述说明，一个螺旋组装体可 以看成不同的起始数的螺旋结构。这些起始数的最小公约数对应着螺旋组装体的旋转对称性C。的后值。由图2也不难理解，_ _二维点阵衍射空间中的横坐标，恰好对应着不同螺线族所分割圆周向量的均值的倒数。以起始数为7的基本螺线族为例，其分割圆周向量7次，则横 向上的等分间距为2-r rr7(图2A)。定义Fourier空间中横向坐标为尺，则该族螺旋线在Fourier空问横 向的坐标R=72wr，即2r rrR=7。但对于螺旋组装体，南于其衍射信息受到柱面 曲率的A C T AB lOP H YSIC ASIN ICAlV0129No12lDec2013张艳等：螺旋组装体的电镜三维重构 影响，其衍射信息在横向上被拉伸，即衍射点 由二维点阵对应的衍射点变为了拉伸的线，该拉伸实际上就是 B e s s e l 函数的调制作用引起的，对应的 B e s s e l 函数的阶数恰好是该衍射 信息所对应的螺旋线族的起始数。螺旋点阵中还存在一个垂直于螺旋轴的二次旋转轴。由于生物分子的手性，真实的螺 旋组装体并不一定存在这个二次轴。D NA双螺旋结构具有这个垂直于螺旋轴的二次轴，即 D N A双螺旋结构具有 D1 对称性，其结构的顶端和底端是等价的。而对于不存在这种垂直 于螺旋轴的二次轴的螺旋组装体，其两端的结构是不一样的，如 A c t i n就是这种螺旋组装 体。因此，Ac t i n也被称为有极性 的螺旋组装体，其顶端结构和底端结构具有不 同的性 质闭。综上所述，螺旋组装体中存在两大类对称性：第一种是沿着螺旋轴方向的旋转和上升，第二种是关于螺旋轴的 或 次旋转对称性。螺旋组装体的 F o u r i e r 变换 目前，针对螺旋组装体的冷冻电镜三维重构，无论是 F o u ri e r 空间重构还是在实空问直 接利用单颗粒方法进行螺旋重构，都离不开螺旋组装体及其二维投影图的F o u r i e r 变换。同 时，螺旋组装体的三维重构中，螺旋参数的确定方法通常都是在 F o u ri e r 空间确定的。因 此，清楚地理解螺旋组装体相关的 F o u r i e r 变换，对于理解螺旋组装体参数间的相互关系，以及利用 F o u r i e r 变换的方法进行螺旋参数的标定，是非常重要的。柱 坐标系下 的 F o u r i e r变换 函数)舷)的 F o u r i e r 变换是：x)=F(，Y，这里 l i 鹄 )=J f l f(x)e x p(2 r r iX x)d 3x (3)F()的逆变换是：f f f )=f f F(X)e x p(-2 rr ix X)d X (4)实空间和 F o u r i e r 空间的柱坐标系分别定义如下：(5)I Rc。Y=R s in+(6)【z 由式(3)、(4)、(5)和(6)，可推得柱坐标系下螺旋组装体的F o uri e r 变换是：，r 2 r V(R，J 一 J。J。r，)e 肌 r d r d d z (7)前面已经提到，螺旋组装体关于 和 z 具有周期性。在二维结构中，如果在 Tf 和 Y 方向 有周期性(比如二维晶体)，其 F o u r i e r 变换在其倒易空间呈现层次分布(见图 3)。W WW c j b o r g o n 1 A CT A BIOP H YS I CA SI NICA 臣 生物物理学报2013年第29卷 第12期(A)口fBl防图3(A)模拟的规则排列的二维点阵；(B)图A的Fourier变换，呈现规则的层状排列F ig3(A)Model ing planelat ticewithregularar r ay；(B)TheFouriertr ansfor mofFigAwithregularlayer ar ray这个性质也可以利用螺旋结构组装体关于和z的周期性推广到螺旋结构的Fourier变换中去。二维的周期性结构的Fourier变换中含有exp2rri(Xx+M)】。因此，我们期望式(7)也有。个类似 的简化。z和z在式(7)中已经有类似 的表达，我们只需对西和痧做以下变换，以得到简化的形式：利用欧拉公式e畦cos()“sin(妒)，可得sin()=(12i)(e虹e“)(8)山cos(q一q0=sin(q一o+-r r2)及式(8)，容易推出：e川 恻b孤 州 f 2Xu-u-)(9)其 中，M=e“如删。第一。类Bess el函数的母函数e(t 2)x(t-t-I)的级数展开为：e(12(t-t-ILJn(X)tn(10)其中，上)是第一类 的Bes sel函数，n代表Bessel函数的阶。由该展开式，式(7)中的指数部分变为：e删l铆一e撇=J(2rrrR)e姐kM将上式代入式(7)得到：眦，西，刁：f。f：”f。埘声。耵rR)e坂蛳舢)e城d r幽出j根，西，刁。J一。J。Jof(r，声，X一。z2耵rR)e坂如H以)e城d r幽出=量e喊叫 二r仇纠 枷蛾一哗a r a础通常，为了简化上式，定义，2w，加，刁。J。J一r，痧声)e吨i 挑嘞出从而式(11)变为：肫蚴=至e，知刁抓2删rd r再定义G胆，刁=知(r，z2盯rR)rdr=二：”A喇声)以2盯艉)e曲珊如出AC TAB JoP H YSIC ASINIC AIVOI29No12lDec2013D动动U00张艳等：螺旋组装体的电镜三维重构 则螺旋组装体的F o u r i e r 变换可以简化为：屁，=e G n(，(1 4)式(1 2)和(1 3)J E 是螺旋三维重构领域常提到的大 G函数和小g函数，它们对应着 F o u r i e r 空 间中的不同层线的衍射信息。利用复指数函数间的正交性，由式(1 4 可以推出 1 f G ，J。e ，Z)d 等式(1 3)将 G R，z)表示为 r，z)的 H a n k e l 变换。利用 Ha n k e l 变换的逆变换，可得：r r，J G ，2 )2 积(1 5)类似上面的推导，可以利用柱坐标系下的逆 F o u r i e r 变换得到：r，)=e 却 l r，e-2,n izz d z (1 6)n 一 一 螺旋对称性在 F o u r i e r 空间中的作用 前面已经介绍过螺旋组装体的对称性是由z 方 向的上升 及绕着 z 轴 的旋转 确定 的。用螺旋组装体的密度函数描述螺旋对称性，则有：(r，)=，+)(1 7)式(1 7)两边同时 F o u r i e r 变换，左边 F o u ri e r 变换既是式(1 1)，右边 F o u r i e r 变换则是式(1 1)的 指数项的指数多加一项 2 Z A z n h 。显然，式(1 7)的两边同时 F o u r i e r 变换后要保持恒等，必然有：2,r r Z A -一 n A =2 r r m，其 中，m是使得等式成立的某个整数。或者等价地有下式 成立：Z A z=m+n(A 2 r r)(1 8)以上推理表明，螺旋组装体的 F o u ri e r 变换只能在满足式(1 8)的 z和 n处有值。通常，式(1 8)被称为螺旋组装体三维重构中的选择公式。利用螺距 P与两个螺旋对称参数 和 之间的关系 P=A z(2 7 r A )，可 以将式(1 8)进一步简化为：Z=m A z+n P (1 9)如果螺旋组装体中存在一个真正的重复距离 c，即 r，)(r，+c)，同样利用等式两边 的 F o u ri e r 变换及式(I 1)，可以推得 2 r r Z c一定是 2 盯的整数倍；即存在整数，使得=-，J (2 0)将此关系式代入式(1 9)得到 L=m(c A z)+n(c P)因此，L=u m+t n (2 1)其中，u=c z，代表螺旋组装体一个最小重复距离 c中所包含 的基本不对称单位 的个数；t=c P，表示一个最小重复距离 c中所包含的螺旋圈数。实际上，早在 1 9 5 8 年，Kl u g等人 2 1 将式(2 1)定义为选择公式。后来，该定义进一步地推广到更一般的形式，即式(1 8)。单纯地 利用式(2 1)并不能给我们带来螺旋组装体的参数信息。而式(1 8)J J 可以更直观地表明衍射空 w、fv v v c l b o r g c n I A CT A B I OP H YS I C A Sl N I CA 生物物理学报 2 0 1 3年 第 2 9卷 第 1 2期 间信息和螺旋参数间的关系。因此，通过螺旋组装体的衍射信息，我们可以绘制其对应的 n Z图。目前，n 图被广泛应用到螺旋组装体结构解析的参数确定过程当中。由展开式(1 0)，B e s s e l 函数的阶数 n可以有无限多个。然而，在真实数据的 F o u r i e r 空 间所能衍射出来的信息中，7,是有上限的。其上限 n 与原始数据的实际分辨率相关，满足 下列不等式：n 2 r r(r d)-O 9 1 1(2 2)其中，r 是螺旋组装体的半径，d是螺旋结构的冷冻电镜原始数据所能达到的分辨率。如果螺旋组装体同时具有 Jic 次旋转对称性，则有-厂(r，)=r，+2 r r k,z)。类似前面式(1 8)及式(2 1)的推导，同样可以结合式(1 1)得到 e =l，即n必须是 的整数倍。B e s s e l 函数的 最大值对应的 自变量 2 叮 T 与 B e s s e l 函数的阶数 n之间存在一定的统计关系(见表 1)。该最 大值又对应着衍射空间在特定层处衍射信息最强的位置。而该位置的横向坐标恰对应着二 维平面点阵的衍射位置(图 2 c)经过调制后的位置，即：二维点阵中 2 3 1-n(见前面 n=7 的例子1，螺旋组装体的衍射空间中对应层上亮度最强处的变量 R与 B e s s e l 函数阶数的关系 为：2 r r r R=1 0 3 n+l 或者 2 r R=n+2 f 见表 1)。后者的R相对于二维点阵的 发生了位置的 改变。从而可以看出，螺旋组装体中相应衍射位置处的 B e s s e l 函数的阶数恰好对应着相应 螺线族的起始数。这也从数学推导的角度证明了前述的结论：具有 次旋转对称性的螺旋 组装体，其起始数一定是 的倍数。同时，当 为正时，对应着右手螺旋；n为负数时，对 应着左手螺旋。表 1 B e s s e l 函数 J n(X)的阶数与最大值处坐标的对应表 T a b le 1 T a b l e f o r t h e o r d e r s o f t h e B e s s e l f u n c t io n (X)w h i c h c o r r e s p o n d i n g t o t h e o r d i n a t e v a l u e s o f ma)(i mu m f o r e a c h o r d e r o f t h e Be s s e l f u n c t i o n n l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 当l 7 1,l 较大时 l 0 1 1 8 3 1 4 2 5 4 6 4 7 5 8 6 9 6 1 0 7 1 1 8 1 2 8 1 3 9 1 4 9 1 6 1 7 l n l+2 或者 1 0 3 I l+1 以上 的讨论 告诉我们，螺 旋组装 体 的 F o u r i e r 空 间是呈 层面 状 的，见 公式(1 9)及 图 4。进一步地，由公式(1 1)和(1 9)可知，在不同的衍射层面上，其相位有如下规律：若 n是偶 数，则关于 轴位置对称的点处的相位相差 0；若 r b 是奇数，则关于 轴位置对称的点处 的相位相差。螺旋组装体的 F o u r i e r 变换与二维点阵 F o u r i e r 变换的关系 在实际的螺旋组装体的三维重构研究中，我们所能得到的数据是研究对象的一系列二 维投影图。这些二维投影图是螺旋组装体的近侧面(n e a r s i d e)与远侧面(f a r s i d e)的投影 之和。也正是由于近侧面和远侧面的迭加，使得具有螺旋对称结构的样品的冷冻 电镜原始 颗粒的F o u r i e r 变换，除了具备 F o u r i e r 空间中的原点对称性以外，还具有关于 z轴的对称 性。我们可以通过图 5 模拟的二维点阵及相应的 F o u r i e r 变换来理解这一点。A C1。A BI OP H YS I C A SIN J C A 1 V o 1 2 9 No 1 2 1 De c 2 0 1 3 张艳等：螺旋组装体的电镜三维重构(A)(C)y牛：V曩In图4二维 投影图及其Fouder变换与相应的三维 模拟体数据及其Fourier变换的关 系(A)起始数为1的螺旋组装体沿着x轴方 向的投影 图；(B)投影的二维Fourier变换；(C)模拟 的起始数 为1的三维螺旋结构；(D)i维螺旋组装体的Fourier变换。沿着Z-OY平 面的截面即是图C沿着z轴方 向的投影 的Fourier变换。这 里，实空问的zr坐标系与Fourier卒间的xYZ毕标系的坐标轴方向保持致F ig4T herelationsh ipbetw eentheplanepr ojectionofthet hreedim ensionobject，theFoudertransformoftheplanePr ojectionandt hem odel ingthr eedim ensionobjectandi tsFouriertr ansfor m(A)Theprojectionofhel icalas s emb lywithstartnumber1(B 1Thetw od im ensionFouriertr ansfoITnofprojection(C)T hemodel ingthr eed im ensionhel icalass emblywithstartnumber1(D1T heFouriertr ansfor r nofthr eedim ensionhel icalass emblyT hecrosss ectionalongtheZ-0YplaneintheFourierspaceist heFouriertr ansforEofprojectionalongthezaxisofF igCHeretheaxesd ir ectionforx-y-zC O O rd inatesinr ealspaceareconsistentwiththatofXYZC00 rdinatesinFourierspace(A)(B)(C)(D)_ 一i。fEl口口图5螺旋点阵的Fouder变换(A)该点阵模拟一个螺旋组装体的远侧面 的-维投 影点阵；(B)该点阵模拟 的是同个螺旋组装体的近侧面的二维投影点阵；(C)该点阵模拟一个螺旋组装体的二维投影，该点阵恰足点阵A和点阵B的加和；(D)点阵A的Fourier变换；(E)点阵B的Fourier变换；(F)点阵C的Fourier变换，该 图恰是Fourier变换D与E的加和F ig5Fouriertransformof hel ic allat tice(A)T hem odel ingfarsi depr ojectionlatticeof hel icalas s emb ly(B)Them odel ingnearsidepr ojectionlatticeof helicalas s emb ly(C)T hepr ojectionofhel icalass emblywiththepr ojectionfrombothfar sideandnear si de，CistheS Hi ll ofAandB(D)T heFouriertransfor mof Lat ticeA(E)TheFouriertr ansfor mofLat ticeB(F)TheFouriertr ansformofLat ticeC，itisexactlythes umof Fouriertr ansfor mDandEWWWciborgcnIA C T AB IO PHYS IC AS IN ICA8 87N生物物理学报 2 0 1 3年 第 2 9卷 第 1 2期 由中央截面定理知道，电子束穿过样品后所形成的二维投影图的F o u r i e r 变换，恰好是 样品的三维 F o u r i e r 空间中穿过中心且与投影方向垂直的截面 3 8 。因此，中央截面定理将螺 旋组装体的F o u r i e r 变换与二维点阵的 F o u r i e r 变换紧密地结合起来【,3 9,4 0 。有关二维点阵的 F o u r i e r变换 与三 维螺旋 组装 体 的 F o u r i e r变换 间 的联 系，R o b e r t 等合 著 的(E l e c t r o n C r y s t a l l o g r a p h y o f B i o l o g i c a l Ma c r o mo l e c u l e s)一书 有更详尽的解释。图4展示 了二维投 影数据及其 F o u r i e r 变换与三维螺旋组装体及其三维 F o u r i e r 变换之间的关系。F o u r i e r 空间中螺旋参数的推算 有了前面几节的基础，现在可以讨论如何在 F o u r i e r 空问中利用衍射信息进行螺旋参数 的计算。螺旋组装体垂直于螺旋轴方向的二维投影实际也可以抽象成一系列的正弦波函数信号。起始数为 1 的螺旋组装体的投影对应着一个正弦波函数信号；起始数为 2的螺旋组装体的 投影对应着两个正弦波函数信号；以此类推。图 6 A展示了一个正弦波函数信号；图 6 B是 三个正弦波函数信号的迭加，对应着起始数为 3的螺旋组装体的投影。(A)图 6 正弦 函数波之 间的迭加关系一 个正弦函数波；(B)三个正弦函数波的迭加 Fig。6 Th e s u p er p o s i t i o n r e l a t i o ns h i p o f s in e wa v e s(A)On e s i n e wa v e；(B)T h e s u m o f t h r e e s i n e wa v e s 实际的生物学样品中的螺旋组装体，其投影可以看成连续的螺旋组装体的投影(正弦 波函数信号)与离散的等间距(相邻不对称单位之间上升的距离)排列的直线之间的点积 f 图 7 A、B、c 1。那么，对应的离散的螺旋组装体的投影的F o u r i e r 变换则是连续的正弦波函 数信号的 F o uri e r 变换与等间距排列的直线的F o u r i e r 变换之间的卷积闭(图7 D、E、F)。根据倒易空间的关系，图 7 A中一个螺距是 P，则其 F o u r i e r 变换中层与层之间的距离 是 1 P，也可以通过公式(1 8)直接推导出来。同理，图 6 B是起始数为 3的螺旋组装体的投 影，则其对应的F o u r i e r 空间中的层线之间的距离是 3 P。以此类推，若起始数为 的螺旋 组装体的螺距是 P，则其 F o u r i e r 空间层线的高度是 k P。同样，若相邻的不对称单位之间的 上升距离是，则 F o u r i e r 空间中 z轴上(通常在螺旋重构中将 F o u r i e r 空间的 z轴称为子 午线)衍射信息层之间的距离是 1 (见图 7 C和 F)。但是实际数据中，子午线上的这些层 线信息受分辨率的约束，并不一定能看到。通过这段讨论，我们可 以明确地知道在 F o uri e r 空间中的信息能够反映螺旋组装体的螺距 P，以及相邻的不对称单位之问的上升距离 与 层线之间的关系。下面将重点讨论如何把这两个参数确定下来。AC T A BI OP H YS l CA SlNl CA l V o l l 2 9 No 1 2 1 De c 2 0 1 3 张艳等：螺旋组装体的电镜j维重构(A)，J(C)一下虱ll_=J咐图7离散螺旋点阵与正弦函数波在 实空间及Fourier空间的关系(A)正弦函数波。(B)等 M距的直线排列。(C)lI：弦晒数波j等距排列的直线之 间的点积。蓝色点阵代表离敞的螺旋 点阵。(D)正弦信 号波的Fourier变换。(E)等问趴的A线排列图的Fourier变换。(F)正坛信 号波的Fourier变换 弓等间距直线的Fourier变换的卷积Fig7T her elationsh ipsbetweend iscr etehel icallat t iceandsinewavesinbothr ealandFourier space(A)Sinewave(B1L inearr aywithequald istanceofeachtw oneigh bourl ines(C1Thepr oductofthesinewaveandthel inear rayThebluebal lm eansthed is cr etehelical lat ticefDlTheFouriertra nsfor mofthesinew ave(E)T heFouriertransfor mofthel inear r ay(F)TheFouriertr ansformofhel ical lat tice(b luebalIsinFigC)，which istheconvolutionoftheFouriertr ansfor msofthesinew aveandthelinear r ay通常，对r一个牛物样品来说，我们事先并不知道它 的螺旋参数，得到的只是二维的投影照片。但Il 二维的投影照片可以得到其衍射空间的信息。因此，充分利用衍射空间的信息成 了挖掘螺旋参数 的间接途径。如前述，实际的生物样品的二维投影数据可 以抽象成有序排列 的一：维点阵(类似二维 晶