弧度制及任意角的三角函数.doc

高三数学（理）集体备课材料 主备人：杨洪亮
弧度制及任意角的三角函数
一、教学目标
1、理解任意角的概念；
2、理解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；
3、理解并掌握任意角三角函数的定义.
二、重点、难点、易错（混）点、常考点
理解任意角的概念，掌握角的概念的推广方法，能在直角坐标系中讨论任意角，能判断象限角、轴线角，能写出终边相同角的集合；掌握弧长公式、扇形面积公式；掌握任意角的三角函数的定义，掌握三角函数线.
三、知识梳理【《创新设计》P45】

四、精选例题+变式训练
考点一　象限角与三角函数值的符号判断
【例1】 (1)若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是______．
(2)sin 2·cos 3·tan 4的值________0.

规律揭示：熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限．
【训练1】设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是第________象限角．

【训练2】已知点在第三象限，则角的终边在第 象限.

考点二　 三角函数定义的应用
【例2】已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，
试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．

规律揭示：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．
【训练1】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．

【训练2】若角的终边上有一点，则 .

【训练3】已知角的顶点在原点，始边为轴的正半轴.若角的终边经过点，且，试判断角所在的象限，并求出和的值.

考点三　扇形弧长、面积公式的应用
【例3】已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

规律揭示： (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.
【训练1】中心角为的扇形，它的弧长为，则它的内切圆的半径为 .

【训练2】一个半径为的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积为 .

【训练3】(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？
(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】
1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．
2．三角函数符号是重点，也是难点， 在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．

六、课后反思
（1）本节课我回顾了哪些知识：

（2）本节课我重新认识了哪些道理：

（3）本节课学习中还存在哪些不足：

备用题：
1、已知弧度数为的圆心角所对的弦长也是，则这个圆心角所对的弧长是 .
2、已知为第三象限角，则的符号为 （填写“正”或“负”）.
3、某扇形的面积为，周长为，则扇形圆心角的弧度数为 .
4、已知角终边上一点的坐标为.求角的正弦、余弦、正切函数值.
5、在直角坐标系xoy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=x (x≥0).
(1)求的值；
(2)若点P，Q分别是角始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ面积最大时，点P，Q.
6、如图，是单位圆上的点，分别是圆与轴的两交点，为正三角形.
（1）若点坐标为，求的值；
（2）若，四边形的周长为，试将表示成的函数，并求出的最大值.

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