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2013年第一次中考适应性测试
数学试题
答卷时间：120分钟 满分：150分

注意事项：
1．本试卷的选择题和非选择题都在答题纸上作答，不能答在试卷上．
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号用0.5毫米黑水笔填写在答题纸对应位置上．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
4．非选择题必须在指定的区域内，用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则答案无效．

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．
1．－2的倒数是（ ★ ）
A．－ B．2 C． D．±2
2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为（ ★ ）

A． B． C． D．
3．如图所示，下列各式正确的是（ ★ ）
A．∠A＞∠2＞∠1 B．∠1＞∠2＞∠A
C．∠2＞∠1＞∠A D．∠1＞∠A＞∠2
4．若x，y为实数，且，则的值是（ ★ ）
A.1 B.0 C. D.
5．下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（ ★ ）

A. B. C. D.

6．某商场对上周某种品牌的女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色
黄色
蓝色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550

经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ★ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．若n（）是关于x的方程的根，则m＋n的值为（ ★ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
O
A
B
C
D
E

8．如图，AB是半圆O直径，半径OC⊥AB，连接AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交于点D，连接CD、OD，以下三个结论：
①AC∥OD；②AC＝2CD；③线段CD是CE与CO的
比例中项，其中所有正确结论的序号是（ ★ ）
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
D
E
C
H
B
A
O
x
y
F
9．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示）．对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（ ★ ）
A．
B．
C．
D．

10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为（ ★ ）

y

C2

C1

C

A
D

O

B

B1

B2

x
A2
A1
A． B．
C． D．

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．
11．（1）计算： ★ ；
（2）化简： （＝ ★ ．

12．如图，直线l1∥l2， ∠1＝40°，∠2＝75°，
则∠3＝ ★ °．
13．如果实数x，y满足方程组，
那么x2－y2＝ ★ ．
A
B　　　　C
D
14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
已知CD＝2，AC＝3，
则sinB的值是　　★　　．
15．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别．现从中任意摸出一个球，要使摸到黑球的概率为，需要往这个口袋再放入同种黑球 ★ 个．
16．如图，已知过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63 º，那么∠B＝ ★ º．
17．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度为 ★ 米．

18．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为 ★ ．

三、解答题（本题共10小题，共96分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．
19．（本小题满分10分）
（1）计算：2－tan60°＋(－1)
（2）解不等式≥－1，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（本小题满分8分）
先化简，然后从，1，－1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．

21．（本小题满分8分）
如图，有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的八个角．请你任意选择其中的三个角（不可选择未标注的角），尝试找到它们的关系，并选择其中一组予以证明．

22．（本小题满分8分）
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？

23．（本小题满分9分）
已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，半径为2，AB＝6，求线段AD、AE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和）

24．（本小题满分8分）
甲、乙、丙、丁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率。

25．（本小题满分9分）
如图，已知OA⊥OB，OA＝4，OB＝3，以AB为边作矩形ABCD，使AD＝，过点D作DE垂直OA的延长线且交于点E．（1）求证：△OAB∽△EDA；
（2）当为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由；并求出此时B、D两点的距离．

26．（本小题满分10分）
小强和爸爸上山游玩，两人距地面的高度y（米）与小强登山时间x（分）之间的函数图象分别如图中折线OAC和线段DE所示，根据函数图象进行以下探究：
信息读取：（1）爸爸登山的速度是每分钟 米；（2）请解释图中点B的实际意义；
图象理解：
（3）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）计算并填空：m＝ ；
问题解决：
（5）若小强提速后，他登山的速度是爸爸速度的3倍，问小强登山多长时间时开始提速？此时小强距地面的高度是多少米？

27．（本小题满分12分）
已知：如图1，△OAB是边长为2的等边三角形，OA在x轴上，点B在第一象限内；△OCA是一个等腰三角形，OC＝AC，顶点C在第四象限，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．
（1）求在运动过程中形成的△OPQ面积S与运动时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在OA上（点O、A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
A
B
C
O
x
y
P
Q
（3）如图2，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

图1 图2

28．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作如图所示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，求出对应的点P的坐标．

2013年中考第一次适应性测试数学试题
参考答案与评分标准
一、选择题
1、A 2、C 3、B 4、D 5、D 6、C 7、A 8、C 9、D 10、B
二、填空题
11．（1）；（2） 12．65° 13．2 14． 15．2
16．18° 17．5.6 18．3
三、解答题
19．解：（1）原式＝—＋1 …………………………3分
＝— …………………………5分
（2）原不等式化为2（x－1）≥3x－6． …………………………6分
2x－2≥3x－6． …………………………7分
x≤4． …………………………………8分
不等式的解集在数轴上表示如下：

1
2
3
4
－1
－2
－3
－4
0
5
－5
·

…………………………………10分
20．解：原式＝ ……………………………4分
＝ ……………………………6分
答案不惟一，取x＝时，原式＝ ……………………………8分
21．解：找到1组给1分，找到4组及以上给4分 ……………………………4分
如，，，
选择其中一组予以正确的证明，证明略 ……………………………………………8分

22．解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑 …………………………1分
依题意得：， …………………………4分
解得 （舍去）， …………………………6分
∴ ． …………………………7分
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台． …………………………8分

23．解：（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。
……………………………………………………………2分

判断结果：BC是⊙O的切线． …………………………………………3分
连结OD． ∵AD平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAB ∵OA=OD ∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA …………………………………………4分
∴OD∥AC ∴∠ODB=∠C …………………………………………5分
∵∠C=90º ∴∠ODB=90º 即OD⊥BC
∵OD是⊙O的半径 ∴ BC是⊙O的切线。…………………………………6分
（2）如图 ∵r=2 ∴OB=4 ∴∠OBD=30º，∠DOB=60º
∵S△ODA= …………………………………………7分
S扇形ODE= …………………………………………8分
∴S阴影部分= …………………………………………9分

24．（1）画树状图（或列表如下）：

甲
乙
丙
丁
甲

甲乙
甲丙
甲丁
乙
甲乙

乙丙
乙丁
丙
甲丙
乙丙

丙丁
丁
甲丁
乙丁
丙丁

…………………………………………3分
∴ 共有12个等可能的结果，其中恰好是甲乙的占2个
∴ P（甲乙）= …………………………………………… 5分
（2）P（乙）= ……………………………………… 8分

25．（1）证明：∵OA⊥OB ，∴∠BAO与∠OBA互余 …………………………… 1分
又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90o，
∴∠DAE与∠BAO互余，∴∠OBA＝∠DAE， …………………………… 2分
∵OA⊥OB，DE⊥OA，∴∠BOA＝∠DEA＝90o …………………………… 3分
∴△OAB∽△EDA． ……………………………4分
（2）解：在Rt△OAB中，AB＝， …………………………… 5分
由（1）可知∠OBA＝∠DAE，∠BOA＝∠DEA＝90o，
∴当＝AD=AB=5时，△OAB与△EDA全等． …………………………… 7分
当＝AD=AB=5时，可知矩形ABCD为正方形 …………………………… 8分
所以此时 BD＝ …………………………… 9分

26．解：（1）10； …………………………1分
（2）图中点B的实际意义是：
距地面高度为165米时两人相遇（或小强追上爸爸）； …………………………2分
（3）∵ D（0，100），E（20，300）
∴线段DE的解析式为 …………………………4分
（4）m＝6.5 …………………………6分
（5）由图知 ＝3×10 ∴t＝11. …………………………7分
∴B（6.5，165），C（11，300），
∴直线AC的解析式为y2＝30x—30． …………………………8分
又∵线段OA过点（1，15），直线OA的解析式为y3＝15x ……………………9分
由 解得： ∴A（2，30）
即登山2分钟时小强开始提速，此时小强距地面的高度是30米， …………………10分

27．解：（1）过点C作CD⊥OA于点D． ……………………………………1分
∵OC=AC，∠ACO=120°，∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵，， ∴．
在Rt中， ………………………2分
①当时，,,；
过点作于点．
在Rt中，∵，∴， ……………………3分
∴．
即 ． ……………………………………………………………4分
②当时，
，． ……………………………………………………5分
∵，，∴．
∴．
即． …………………………………………………6分
故当时，，当时，
（2）或 ……………………………………………8分
（3）的周长不发生变化．
延长至点，使，连结． ………………………………9分
∵，∴≌．
∴， …………………………………………10分
∴．
∴． 又∵．
∴≌．∴ ……………………………………11分
∴．
∴的周长不变，其周长为4 ……………………………………12分

28．解：（1）对于，当y=0，x=2.当x=—8时，y=—.
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为 ………………………………2分
由抛物线经过A、B两点，得
解得 ……………………………………4分
（2）①设直线与y轴交于点M 当x=0时，y=. ∴OM=.
∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2.∴AM= ……………………5分
∵OM：OA：AM=3∶4：5.
由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED. ……………6分
∴DE：PE：PD=3∶4：5. ……………………………………………7分
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点
∴PD=yP-yD=. …………………8分
∴ ………………………………9分
…………………………………10分
②当点G落在y轴上时
由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，
所以 …………………………12分
当点F落在y轴上时，同法可得，（舍
去）. …………………………14分
∴满足题意的点P有三个，分别是

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