高考新教材数学一轮复习 课时跟踪检测 第4章.pdf

小草之家 课时过关检测(二十)任意角、弧度制及任意角的三角函数A级-基础达标1.给出下列四个命题：一个是第二象限角；鳄是第三象限角；一400。是第四象 限角；一315。是第一象限角.其中正确命题的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析：C中一个是第三象限角，从而错.中专=兀+半则竽是第三象限角，从 而正确.中一400=36040,从而正确.中一315=360+45,从而正 确.2.(2022福建联考)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为()14 14A.行兀 B.W兀2 c 工Cz 8 元 D 8 兀解析：B 分针每分钟转6,则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为一JF I 46X(2X60+20)=-840,840X=7-71,故选 B.1 o()J3.若a是第二象限角，贝1)()aA.c o s(a)0 B.t a n 10C.sin(7r+a)0 D.c o s(7ta)0解析：B若a是第二象限角，则c o s(a)=c o s a 0,故 B 正确；sin（兀+a）=sin 0,故 D 错 误.故选B.4.平面直角坐标系中，若角a的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合,其终边上一点P绕原点顺时针旋转季到达点。(3,4)的位置，则sin|71A.一B1C-5D.?jr解析：D 依题意可知。(3,4)在角ad的终边上，所以,于寺手卷故选D-小草之家 5.（2022淄博模拟）sin 2-c o s 3-t a n 4 的值（）A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在71 3 71解析：A 2237t40,c o s 30,/.sin 2-c o s 3-t a n 40.6.（多选）（20 22长沙长郡中学高三模拟）下列条件中，能使a和夕的终边关于y轴对称的 是（）A.a+=540 B.a+=360。C.a+=180 D.a+4=90。解析：AC 假设a,为0。180。内的角，如图所示，由a和的终/边关于y轴对称，所以a+=180。，又根据终边相同的角的概念，可得aTO x+=上360+180=（2%+1）180,kQZ,所以满足条件的为A、C.故选A、C.7.（多选）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个 圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为Si，圆心角为四，圆面中剩余部分的面 积为S2,圆心角为。2,当51与S2的比值为夸二%0.618（黄金分害！比）时，折扇看上去较 为美观，那么（）C.。2=（小1）兀 D.解析：BCD 设扇形的半径为R,由=U=?9故D正确；由内+仪2=2兀,52 52A2 a2 2所以2 1。2+。2=2兀,解得 02=（4 1）兀，故 C 正确；由，2 618,则小一 1七1.236,所以。2=（小一 1）瓦236X180 7222.5,所以内7360 222.5=137.5,故 B 正 确.故选B、C、D.8.已知a是第二象限角，P（x,小）为其终边上一点，且c o s-%,贝U%=.解析：依题意,得 c o s 4 XQ,由此解得=一小.小草之家答案：一小以已知焉=导/且Ig（c o sa）有意义（1）试判断角a所在的象限；（2）若角a的终边上一点M（|，相），且OM=1（。为坐标原点），求机及sin a的值.解：（1）由f=一,得 sina 0,所以a是第四象限角.（2）因为OM=1,所以解得机=9.又a为第四象限角，故相=Sz8DA,所以 线段AP扫过形成图形的面积等于扇形BOC的面积，S扇形boc=3X 12x3=6,故选 C.11.已知点P（sin仇c o s。）是角a终边上的一点，其中。=亨，则与角a终边相同的最 小正角为.解析：因为。=争,故尸（坐，一3 故a为第四象限角且c o s a=2 所以a=2E+岩,kGZ,所以与角a终边相同的最小正角为7.小草之家答案：半12.在平面直角坐标系中，劣弧鼐，CD,EF,扇是圆f+y2=i 上的四段弧（如图），点尸在其中一段弧上，角a以。为始边，。尸为 终边.若t a n 7c o s a sin a,则尸所在的圆弧是.解析：因为t a n a c o s a,所以尸所在的圆弧不是6力，因为t a na sin a,所以尸所在的圆弧不是a）,又c o s a sin a,所以尸所在的圆弧不是蕊，所 以尸所在的圆弧是崩.答案：EF13.(2022合肥模拟)若角0的终边过点尸(一4。,3。)(。0).求sin 8+c o s 0的值；(2)试判断 c o s(sin 0-sin(c o s。)的符号.解：因为角8的终边过点P(-4a,3a)(a W0),所以=4a,y=3a,r=5|a|,3 4 1当 a0 时，r=5a,sin 6+c o s 8=55=予3 4 1当 a 0 时，sin 6=-|e0,c o s6=0),贝!c o s(sin)-sin(c o s O)=c o s,s in(一0；当“()时，sin，=一(一看 0),c o s t),贝U c o s(sin 0.综上，当 a 0 时,c o s(sin 6sin(c o s 8)的符号为负；当 a sin(c o s 8)的符 号为正.C级迁移创新14.（多选）（2022武汉质检）在平面直角坐标系x Oy中，已知任意角6以坐标原点为顶点,小草之家%轴的非负半轴为始边，若终边经过点p（%0，州），且|OP|=r（r 0）,定义：SOS 8=）。：。,称“so s。”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y=s o s,有同学得到以下性质，其中正 确的是（）A.该函数的值域为也，2B.该函数的图象关于原点对称3jrC.该函数的图象关于直线尸于对称D.该函数为周期函数，且最小正周期为2冗解析：AD A中，由三角函数的定义可知o=r c o s%,yo=r s inx,所以y=s o s沏=sinx+c o s%=/sin（%+）引一啦，y 2,所以是正确的；B中，产so s x=d，sin1%+E）,所以y（0）=/sin（0+$=l W0,所以函数关于原点对称 是错误的；C中，当=平时，4竽）=蛆5诂（亨+$）=表5由兀=0/土血，所以图象关于直线=普 对称是错误的；D中，y=so s x=/2sin（x+）,所以函数为周期函数，且最小正周期为2兀，所以是正确 的.故选A、D.15.某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点,、o为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点o的两条线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的、号半径为米，圆心角（正角）为仇弧度）.（1）求。关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部 分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于的函数关系式，并求出尤为何值时，y取得最大值？解：（1）由题意得，30=6（10+x）+2（10-x）,10+2%1（）十 X花坛的面积为:仇1。2%2）=（5+%）（io%）=%2+5%+50,装饰总费用为 9仇 10+%）+8（10 x）=170+10%,5x I-50.花坛的面积与装饰总费用的比_70+10（0令 10）.小草之家 令-17+%,则017,27）,则产得一4G十笔H1一/引=焉324 3 12当且仅当片丁，即片18时，y取得最大值，最大值为正此时k l,6=1r故当x=l时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.课时过关检测（二十一）同角三角函数的基本关系式与诱导公式A级-基础达标1.已知a是第一象限角，角的终边经过点卜。5（兀+0（）,5由你1a）,则为（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析：D7c o s（7t+a）=c o s a,sin（尹一a）=c o s a,又 a 为第二象限角，.*.c o s a 0,点 I c o s（7r+a）,sin&：-a）位于第四象限，.角B的终边经过点（c o s（兀+a）,sing兀-a）,.为第四象限角.故选D.2.（2022济南模拟）若角a的终边在第三象限，则c o s a41 sin2a2sin a71 c o s2a）A.3B.-3C.1解析：B由角a的终边在第三象限，得sin a 0,c o s 0,故原式=鬻丹+翟号|LU5（aI（a|c o s ac o s a2sin a sin a1一2=3,故选 B.3.（20 22曲靖模拟）已知，5sin（兀+8）=c o s（2兀一。），|例若，则。=（）71 c 兀A.一%B.-3C.D.为。3解析：A 小sin（7r+0）=c o s（2K。），.一小sin 8=c o s 仇t a n。=一早，*/则 c o s 2a=（B.）2 nc.217D.1517小草之家解析：A因为a2兀+：a）=t a n|itAa3一g,所以t a n1 t a n a1+t a n a3“，口 M1.e c o s2sin2 1t a n2a 1 16 15,一不解传t a na=4,则c o s 2a=c o s asin。=嬴讦蠲=不不7=1T而=一万.故选A.5.在ABC 中，V3s in-=3sin（7i-A）,c o s A=-acos（兀一3）,则43。为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析：B 由小sin（5A）=3sin（7iA）可得小c o sA=3sinA,可得 t a nA=乎,又 0 A7r,所以 A=t，再由 c o sA=，c o s（兀-3）可得 c o s A=，c o s 3,所以 c o s3=T，又 03兀，所JT JT以8=q,所以C=1,所以ABC为直角三角形.故选B.6.（多选）下列化简正确的是（A.t a n（7r+l）=t a n 1sin（7r-a）C.-:;r=t a n ac o s（兀十a）sin（-a）B,t a n（36（r-a）=c saC0 s（7r _c）t a n（_7r _a）D。sin（27t）解析：AB A选项：t a n（兀+l）=t a n 1,故正确;B选项:sin（-a）-sin a sin a t a n（360 a）t a n a sin ac o s a故正确;C选项:sin（7ta）sin a c o s（兀+a）c o s at a n a,故不正确;D选项:c o s（7ta）t a n（一兀 一 a）c o s a（t a n a）sin（2jr）sin ac o s a-sin ac o s asin a1,故不正确.故选A、B.7.（多选X20 22衡水模拟）在ABC中，下列结论正确的是（）A.sin（A+8）=sin C,B+C AB.sin _2-=c o s.C.t a n（A+3）=t a nD.c o s（A+B）=c o s Cb+c解析：ABC 在A3C 中，有 A+3+C=7t,则 sin（A+3）=sin（兀-0=s inC；sin7C小草之家Ac o sy；t a n(A+8)=t a n(jrC)=t a n8.已知sin。-x)=-g,且0 j，则sin住+%)的值为.解析：由 0 t号 sin住一%)=一$口,c o s(j则 sin舟+J=sin、一佯一,=但、2sc o s(4 x I 3.较案.口 才 3,7i*a/5,2sin a c o s a-c o s+19.(20 22青岛模拟)已知 0 a,右 c o s asin a=-则-t a n a-的值为；c o s(Ac o s(7i-Q c o s-J5 1 4解析：因为 c o s asin a=-，所以 12sin a c o s a=,即 2sin a c o s a=g.所以4 9 71(sin a+c o s a)2=l+2s in a c o s a=1+=亍 又 0 a 0.所以 sina+c o sa3小 个 由弭.2必 立 _ 2sina c o sac o sa+1 小一9一.由(2)付 sin a q 9 c o s a ,t a n(i2,所以 一 工.j J 1 t a n a)答案：咛210.（2022镇海质检）已知a是第三象限角，且式a）=sin(7t-a c o s(2 兀a)t a n(a+jr)t a n(a7T)-sin(7T)(1)若 c o s(a要)=/,求/(a)的值;31几(2)若a=2-,求/(a)的值.到 小。、sin a-c o s-t a n a 斛：加尸(一t a na sinac o s a.(2加)=B级综合应用11.（多选）（2022佛山一中高三模拟）已知0 a 7t,且sin a+c o s c c=/w,则下列说法正确 的是（）小草之家 3兀A.当 m=0 时，a=B.当 0桃1 时一，e j,兀）C.当 m=1 时，sin3a+c o s3=1D.当 a=）时,m0解析：ABCD A 中，当m=0 时，可得 sin a+c o s a=0,即 t a na=-1,因为 0 a 7t,所以a=,，所以正确；B 中，当 0 c m1 时，由（sin a+c o s）2=l+2sin a c o s am2,可得 sin c o s a 0,因为 0 a 0,c o s a 0,所以 a（,兀），所以正确；C 中，当机=1 时，可得（sin a+c o s a）2=l+2sin a c o s a=l,可得 sin a c o s a=0,因为 0 a 0,所以 s ina=l,c o s a=0,可得 sir&t+c o s3a=1,所以正确;D中，当。=野，可得sin 野+c o s 坐0,即机）对!都成立，则满足条件的一组值可以是a=,b=.（只需写出一组）解析：当。=2时，4%+11=5也（2+兀）=51112,即。=1,故当 4=/,。=1 时，对 R 都成立.答案：f-113.已知函数/（%）=a sin（兀x+a）+bc o s（7t x+）,且人4）=3,贝U42 021）的值为.解析：因为/（%）=a sin（7Lr+a）+hc o s（7Lr+）,所以/（4）=a sin（47i+a）+bc o s（47i+0=a sin a+hc o s 6=3,所以人2 0 21）=a sin（2 021兀+a）+bc o s（2 0 217r+）=a s in（7r+a）+bc o s（7r+）=t zsin abc o s-3.答案：一3,兀 l-皿（3冗，、/1+c o s a14.已知一,a 0,且函数/（a）=c o sy+a J-sin 1一c o s“一1,化简加）；（2）若y（a）=g,求 sin c o s a 和 sin c o s a 的值.7t/（I+c o s a）2斛：（1）:一a 0,/.sin 0,./（）=sin sin a-A/j_c o s2a_ 1小草之家1+c o sa=sin w+sin a-：-1=sin a+c o s a.sin a(2)法一：由 f(a)=sin+c o s a=4,平方可得 sin2a+2sin a-c o s a+c o s2=,即 2sin a-c o s24 a=F._12 sin 6x,c o s(X 25 又一,a 0,sin 0,/.sin ac o s 0,/(sin a-c o s a)2 1 2sin a-c o s。=芳，；.s in-c o s 4.I 1 sin g.一sin。十c o s a=7，法二：联立方程j 5 解得J 4sir r a+c o s2a=1,c o s a=g-1sin a5,或|_3COS(l-5.r.3sin a=_g,?a 0,t a nO,t a n=2t a n所以 t a n(27r+a)+t a n(1一)=t a na+,l A=2t a n+,1会2点,当且仅当 t a n=/t a n p a n p、当时等号成立.16.(1)求证:c o s a 1+sina 1 sin a c o s a探究为=4篝与si/a+c o s2a=1的内在联系,你能利用同角三角函数的基小草之家本关系推导出更多的关系式吗?解：(1)证明：法一：因为右边分母为c o sa,故可将左边分子分母同乘以c o s a.左边=c o s2a1-sin2a(1sin a)(l+sin a)1+sin a(1 sin)c o s a c o s(1 sin a)c o s(1 sin a)c o s a=右边.法二：因为左边分母是1 sin a,故可将右边分子分母同乘以1 sin a.右边=(1+sin a)(l-s in a)1-sin2ac o s2ac o s ac o s(1 sin a)c o s(1 sin a)c o s(1 sin a)1 sin=左边.同.法三：只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相H 山上_COS2a,_(1+sin a)(lsin a)因为左边=c o s(l-s in)，右边:c o s a(lsina)1-sin2a c o s(1 sin a)c o s2ac o s(1 sin a),所以左边=右边，原等式成立.法四：只需证明左边一右边=0即可.e、i c o s a 1+sin a因为；-：-1 sin a c o s ac c a(1+sin a)(l sin a)c o s(1 sin a)c o s2a(1 sir a)c o s(1 sin a)c o s2ac o s2ac o s(l-s in)=0.c o s a 1+sin a所以；-：=-.1sin a c o s a七二4普即为s iR+c Vn的变形形式，但不等价._,c o s cc 1 I sin a 卜、tc-)个因为 成立时,kRZ,而 sir r a+c o s a=l 中 e R,即由 sin a+c o s2a=1 c o s2a=1 sin2a=c o s2a=(1+sin a)(l sin a),当 c o s a(lsin a)WO 时，上式，i r c o s a 1+sin a两边同除c o s(l-s in a)可何还可利用同角三角函数的基本关系推导出以下关系式：如 sin4+c o s4a=1 2sin2a-c o s2 也是 sin2a+c o s2=1 的一个变形，-1=l+t a n2a 是 c o s asi/a+c o s2a=1和包辿=t a n a的变形等.c o s a课时过关检测(二十二)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式A级-基础达标1.在ABC 中，c o s Ac o sBsin AsinB,则ABC 的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形小草之家 C.钝角三角形 D.等边三角形解析：C 依题意可知 c o s Ac o s 3sin Asin 3=c o s(A+3)0,所以一c o s CO,所以 c o s C0,所以c为钝角.故选c.2.(20 22临汾质检)已矢口 sin一，=坐，则 c o s(2a+)=()2义(坐)=g.故选B.3.已知a满足s in(a+*,则肃为=()A.3 B.-3-4 4C.g D.一解析:D.,sin(a+a j=_=_(sin a+c o s a),即 sin a+c o s a=1,平方可得 1+2sin o t c o sa=g,sin 2oc g,故，t a n a1 2sin o t c o s a 1._t a n2+1 2 sin2+c o s2 2sin a故选D.2 1 t a n ex4.已知 sin+.)=,sin(a一4)=,则=()A.-：B.3C.-3D.3解析：D 由题意可得，sin c o s S+c o s a sin=g，sin c o s c o s a sin 所以 sin c o sc l.八1 t a n a sin a c o s B 人、4c o s a sm=6,所以诉=-s a s in4=3.故选 D.5.(20 22本溪一模)角 a 和 满足 sin(a+.)=2s in(a一夕)，则 t a n仁+a)t a n=()C.|D.3解析：A 因为 sin(a+4)=2sin(a),所以 sin ac o s 夕+c o s asin=2sin ac o s 夕一2c o s小草之家a-sin B，所以 sin o t-c o s=3c o s a-sin 故 t a n住+a)t a n=sinQ+a)sin c o s esin/，冗 i c o s sin a-c o s B c o sl 2 I1.故选A.6.（多选）（20 22南京月考）下列说法正确的是（）9 1+c o s 2aA.c o s a=-2-B.1 sin a=(s in 卷一c o s第1,J3(,iiC.sin a+亍c o s a=sinl o c+1t a n 15 a/3D-=Jl t,1+t a n 15 3解析：ABD V c o s 2a2c o s2a 1,c o s2=1+c o s 2a,.9oc.oc a.a a21sin a=s nr 十 c o s2sm/c o s,=(s inc o s 歹,故B正确;|sins a=sin(a+1),故C错误;1-t a n 151+t a n 15t a n45t a n 15 S,s,1T嬴在嬴正=t a n(45-F)=t a n 3。=号故D正确.故选A、B、D.7.（多选）若 sin 卷=坐，a e（0,it）,则（）A.c o s a=gB.sin Tfa.ii 加+2 小C.s in力;工.(a峭2小一而D-sm(jW尸 6解析：AC,/sin 23f&金(。，兀)，.券(0,c o s?=a f s inn2X0 2=:,故 A 正确；yj sin2：乎.则 c o s.o.亚姐 22 乩口处、口sin a=2s in/c o s 2=2x 3 x 3=3-故 B 错庆；2;故A正确;小草之家 .I.71 a.7T V3 V2/6 V2 加+25.sinl 2 4/=sin 2COS 4 c o s 2sin 4 3 x 2 3 X 2-6一,故 Cih确；.(a 九).a 7r a.兀 3 2 6 a/2 m一2事sml 2_4)=sm 1c o s 4c o s sm 4=X 3 x 2=一故 D 错伏.故选 A、C.8.若 c o s 2%=4，则 s in%=.1 4 2解析：.,c o s2x=l2sin2X=K，可得 sin2%=d，故 sinx=f.y y J2 答案：f9.(20 22d匕京模以)已矢U t a na=2,贝ij c o s解析：c o s(2a+?=-sin 2a=-2sin o t c o s-2sin a c o s a-2t a n aa sin2+c o s2 t a n2+l45,4答案:V_ 4 a/s10.已知 a,为锐角，t a n a-y c o s(a+)=(1)求c o s la的值；(2)求 t a n(a)的值.解：(1)因为 t a n a=1,t a n a=：R：,、4所以 sin a=c o s a.因 为 sin2+c o s2a=1,所以 c o s2=,7因 此 c o s 2=2c o s2a 1=三(2)因为a,为锐角，所以a+夕(0,兀).-J5又因为 c o s(a+)=一，所以 sin(+yj 1 c o s2(+/?)因此 t a n(a+.)=-2.e、l 4 匕匕 八 2t a n a 24因为 t a n a=?所以 t a n 2a=丁 坨/二一7，因此 t a n(y?)=t a n 2。一(c r+匆t a n 2a-t a n(a+)2IT1+t a n 2a t a n(a+)小草之家 B级综合所11.（2022厦门模拟）函数危）=48$勺必仁一0一25由工一|111（x+1）|的零点个数为（）A.1 B.2C.3 D.4解析：B 因为 於)=4c o s多05岸一%)2sin%一|l n(x+1)|=2(1+c o s x)sin x2sin x|l n(jc+l）|=sin 2%|l n（%+l）,所以函数兀r）的零点个数为函数y=sin 2x与y=|l n（%+1）|图象的交 点的个数，作出函数丫=$出2%与y=|l n（%+l）|图象如图，八父y=|l n（x+l）|广sin 2x由图知，两函数图象有2个交点，所以函数/（%）有2个零点.12.（多选）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一 个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方（即 8=10 尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设e=/BAC,现有下述四个结论，其中正确的是（）A.水深为12尺 B.C.t a n 2-3 D.解析：ACD 设 BC=x,则 AC=x+,芦苇长为15尺t a n(0+*一宇.AB=5,.,.52+=(+1)2,.,.%=12,即水深为12尺，A正确；芦苇长为13尺，B错误；t a n。=7，2t a n 2 由 t a n 0=-解得 t a n=1t a n22 6小一人 _ A 12/八 兀、1+t a n 0 17 “W（负值已舍去），C 正确；Vt a n 0-,.!,+/=二t a n一不，D 正确.故选 A、C、D.兀13.(2022运城模拟)已知 a0=q t a n at a n=3,则 c o s(a+夕)=角星析：由t a n t a nsin sin sin a c o s-c o s a sin.4=3,侍母一c o s S=3,即 c o s a c o s：=3.sm(a小草之家 7T 1一份=3c o s a c o sQ.又知 oc=不;.c o s a c o s=%.而 c o s(a)=c o s a c o s+sin a sin4=节挛sin a sin 26*c o s(a+/?)=c o s c o s 夕一sin a sin=、一较案.1近口.3 214.如图，在平面直角坐标系Oy中，顶点在坐标原点，以入轴非 负半轴为始边的锐角a与钝角B的终边与单位圆0分别交于A,B两点，%轴的非负半轴与单位圆0交于点M,已知S&oamT，&B的纵坐标求c o s(a-.)的值；求2a的值.1 行 2、行解：(1)由题意知，|OA|=|OM=1，因为 Soam=OAOMs.hx(x=5，所以 sin a 5，又a为锐角，所以c o s a=乎.因为点8是钝角尸的终边与单位圆0的交点，且点8的纵坐、历 2 7、历 a/s标是方,所以 sin c o s=一所以 c o s(a-0=c o s c o s+sin sin 4=二X/7P 2下小一回 110 r 5 10-10-(2)因为 sin a=5，坐.-/c 7也 八 VTb.c o s a=5,sin p 0,c o s p ,c o s(p)=,sin(2-J5Q)=sin a c o s c o s a sin=-X小、，啦 3/10.小 八、.r,考诟=一；0,所以 sin(2a)=sina+(a6=sin a c o s(a一4+c o s a sin(a一夕)=2，因为a为锐角，sin a=2乎，所以“俘 所以2a Q6，兀)，又少便九)，所以2a蚱(一宗号，所以2a一片，C级迁移创新15.在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A,8都是锐角，P=sin(A+8),2=sin A+sin B,7?=c o s A+c o s B.(1)当A=30,3=30 时，求尸，Q,R的值，并比较它们的大小;(2)当A=30,3=45时，求尸，Q,R的值，并比较它们的大小;(3)由(1),(2)你能得到什么结论，并证明你的结论；小草之家 A.2c o s7(4)已知A,B,C是ABC的三个内角，y=t a n,+-彳，若任意交换两个sin,+c o s-2-角的位置，y的值是否变化？证明你的结论.解:(1)当 4=30,8=30 时，J3P=sin(30 +30)=sin 60=勺，2=sin 30+sin 30=2sin 30=1,R=c o s 30+c o s 30 =2c o s 30=小，：.PQR.(2)当 A=30,3=45时,P=sin(30+45)=sin 30 c o s 450+c o s 30 0 sin 45=_L 乂啦4近乂挺=逅土盅-2X 2 十 2 x 2 4，门.Qno I.1 2 1+也Q=sin 30+sin 45=+亍=-29口 7no I V3 2 小+啦Hc o s 30+c o s 45y 6-yl2 1+a/2 y 6y 22 尸=匕乂一置一=、一J一0,：.PQ,C 1+啦 S+啦 Q-R=2 20,；.QR,：.PQR.(3)由,猜想PQR.证明如下:7T为钝角，/.0 A+B2，n it.*.A2B,Bc o sl 2o l=sin B,c o s Bc o s-4)=sin 4,二.RQ=c o s A+c o s 3sin Asin Bsin B+sin Asin Asin B=0,即 RQ.*/P0=sin(A+jB)sin A sin B=sin Ac o s 3+c o s Asin B-sin A sin B=sin A(c o s Bl)+sin B(c o s A 1)0,:.PQ.综上可得PQR.小草之家(4)任意交换两个角的位置，y的值不变.证明如下：VA,B,C是3c 的三个内角，A+B+C=ti,.B+C受=5 2.c AA,2COSI尸 t a n i+sin,+c o s-,B+C.2sin-n-A,_2_Ta n 2+B+c bcc o s-2-+c o s-2-C,B.C 2+c o s2sin2jc B C2c o s c o s 2A,B,C=t a n，十 t a n y+t a n y,因此任意交换两个角的位置，y的值不变.课时过关检测(二十三)简单的三角恒等变换A级-基础达标1 n1.已知c o s(兀+e)=,若。是第二象限角，贝！J t a n=()A.2y/2 B.y/2C.-y12 D.半解析：B因为c o s(兀+。)=孑，所以c o s6=一又。是第二象限角，所以s in6=2,所以t a n,=5访；=也.故选B.2.t a n 20+t a n 40+V3t a n 20 t a n 40 =()A.y 3 B.y 3C.当 D.3._e(t a n 20 +t a n 40 ”,斛析：B 因为 t a n 60=;-.,所以 t a n 20 +t a n 40 =t a n 60(l t a n 20 t a n1 t a n 20 t a n 4040)=小一小t a n 20 t a n 40,所以 t a n 20 0+t a n 40+V3t a n 20 t a n 40=小，故选 B.兀 143.(20 22南京联考)已知 0。,兀，且 t a na=,t a n=-q,贝!J a+=()小草之家C.5九 65瓦T解析:B由题意可知,t a n(a+/?)=D.1,因为0*5兀,所以a+弯,所以a+4=彳.故选B.4.函数/(%)=4c o s2%4c o s4%+sin%c o s%的最小值是()解析：A J(x)=4cos2a:-4cos4x+sin 尤c o s a:=4cos2X1-c o s2x)+sin x c o s A：=4sin2?;c o s2jc+sin x c o s x=sin224-sin 2x=(sin 2+)2因此，当且仅当 sin 2%=一；时，r)取最小值一七故选A.5.(2022淄博模拟)设 a=sin246,/7=c o s2350-sin235,t a n 32 l-t a n232，则a,b,c的大小关系为()A.bc aB.c abC.abcD.bac解析：D 因为 sin 45sin 46sin 60,所以有 sin245osin246sin260,即 2sin246j2,所以g a C；因为 c o s235 sin235=1 2sin235,而 sin 30 sin 35sin45,所以有台出235。；,所以 0 l25评35。；,SP 0/?t a n 60=小，所以 c 半；显然，b土，即c a,所以ha 0,故有W2a W?r,解出 c o s 2a=|=2c o s2al=c o s2a=9c o s a=坐，故 A 错误；(sin ac o s a)2=1 sin 2a=g,又所以 sin a 2c o s a,所以 sin ac o s a故B正确；因为答a音,竽,所以苧Wa+W2jr,又c o s(a+0=*c o s c o s sin sin=又 c o s(a)=c o s c o s 尸+sin a sin坐，两式联立得c o s a c o s0=需，故D错误.故选B、C.、c o s 20 小sin 208.计算-=_.sin 10c o s 2(T-Ssin 20 小sin 20。c o s 20 _2sin(20o-30)_-2sin 10 解析：sin 10 =_ sin 10 0=sin 10 =sin 10。=2答案：29.已知 sin asin(a)=VTb10 a,少均为锐角，则夕=5，小草之家解析：因为a,B均为锐角，所以一卷aSq.又sin(a)=(,所以c o s(a)又 sin a=乎，所以 c o s a=,所以 sin y?=sin(7(c r后=sin a c o s(a)c o s a sin(a一.尸坐 X上护一乎x(一喘卜乎.所以看答案：I.sin(2a+),10.化简：一2c o s(a十夕).8上 sin(2a+A)-2sin a c o s(a+份斛：原式=-福-sina+(a+.)2sin a c o s(a+份 sin asin a c o s(a+4)+c o s a sin(a+夕)-2sin a c o s(a+)sin ac o s a sin(a+)sin a c o s(a+)sin asin(a+)a sin，sin a sin aB级综合应用11.（2022杭州模拟）设a,为锐角，且2a=$=,则=（）A.1B.2C.小D.也7T 71解析：A V2a/=2。一%+sint a n a c o snr t a n a sin 2ah 即=1，=c o s 2+t a n a sin 2a=c o s 2a+2sin2a=1,故选 A.12.（20 22安庆期末）“无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请观察图，根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式t a n 9=平邛=今1,第I I 111 4 U一个括号为,第二个括号为.解析：如图所示，设ABC外接圆半径为1,CM=sin2。，在Rt ZXAMC中，t a n。=而小草之家CM sin 26l+OM=l+c o s 26,c BM 1-OM在 Rt Z CMB 中，t a n 0CMCM.-1-c o s 2。sin 20,答案：1+c o s 26 1c o s 2613.3已知 sin 2a=W，t a n(a+5)=t a n(a-15).t a n(a+15)sin(a+15，c o s(a 15)牛,t a n(a15)sin(o t 15)c o s(a+15)由积化和差公式可得，sin(+15)c o s(一15)=；(sin 2+sin 30),sin(15)c o s(+15)=sin 2c