高考数学一轮复习 教师用书 第2章函数.pdf

主题二 八函或 第二章函数（必修第一册）戊兮第1节函数的概念及其表示课程标准要求1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.3.通过具体实例，了解简单的分段函数,并能简单应用.必备知识.课前回顾 依袁材夯实四基A知识梳理1.函数的有关概念2.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.3.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对 应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.医重要结论与X轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.对点自测1.若集合A=x|0WxW2,B=y|0WyW3,则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f:A-B的是（D）解析:A中的对应不满足函数的存在性，即存在xA,但B中无与之对 应的y；B,C均不满足函数的唯一性，只有D正确.故选D.2.（必修第一册P72习题3.1T2改编）下列四组函数中表示同一个函数的是（C）B.f(x)=x 与 g(x)=C.f(x)=X 与 g(x)=|x|D.f(x)=1,x R 与 g(x)=x 解析:A选项中函数f(x)的定义域为1,+8),g(x)的定义域为R,定义 域不同,不是同一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定 义域为(-8,o)U(0,+8),定义域不同，不是同一个函数;C选项中函 数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,是同一个函数;D选项 中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-8,o)U(0,+8),定义 域不同，不是同一个函数.故选C.3.已知函数 则 f(f(-5)等于(A)25 7 9 9A.而 B.而 C.-7D.而解析：由xWO可知f(-2)2“+1”,结合x0的解析式可知3 3 25f(4)=(4)2+1=16.故选 A.4.已知函数数x)和g(x)的定义域为1,2,3,4,其对应关系如表,则f(g(2)的值为(D)X1234f(x)4321g(x)1133A.1 B.2 C.3 D.4解析：因为 g(2)=l,f(1)=4,贝1J f(g(2)=f(1)=4.故选 D.15.(2020 北京卷)函数f(x)N+i+l n x的定义域是i rx+1 0,解析：函数f(x)N+i+l n x的自变量满足I x 0,所以x0且xW-1,即定义域为(0,+8).答案：(0,+8)关键能力课堂突破 展考点一函数的定义域类小涔点禽虎四翼3 z1.(2021陕西黄陵高三期中)函数f(x)=面+l n(2x-X?)的定义域为(B)A.+8)B.(1,2)C.(0,2)D.1,2(x-1 0,解析:要使函数有意义则Izx-x2 0,解得l x2.所以函数f(x)的定 义域为(1,2).故选B.2.已知函数f(x)二有的定义域是R,则实数a的取值范围是(B)A.(-12,0)B.(-12,01 1C.G,+8)D.(-8,3解析：因为f(x)二有的定义域为R,所以只需分母不为0即可，(a所以 a=0 或h=a2+”(-3)0,可得-12aW0.故选 B.3.已知函数f(x)二(1-x)”+(2x-l),则f(x)的定义域为.1 1.1解析:将(1-X)2化为代工所以X1,又因为2x-1W0,所以xWZ1 1综上，定义域为(-8,2)u(2 1).1 1答案：(-8,5)U(2,1)14.已知函数数x)的定义域为(T,1),则函数g(数=f 0)+f(x T)的定义域为.解析:因为f(x)的定义域为(-1,1),所以要使g(x)有意义,则卜1 Vx T 1，解得Kx2,所以晨x)的定义域为(1,2).答案：(1,2)5,若函数f(x)”+阮+8的定义域为为1 1WxW2,则a+b的值为解析：函数f(x)的定义域是不等式ax2+abx+b0的解集.不等式w vo,1+2=-b,ax2+abx+bN 0的解集为x|l WxW2,所以I 一 解得力=-3,3 9所以 a+b=-2-3=-2.9答案：-5一题后悟通若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.(2)求抽象函数的定义域若y二f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x)0),则fa2=4,f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=ax+ab+b=4x+6,于是有”,一解fa=2,fa=-2,得lb=2 或lb=f(舍去)，所以 f(x)=2x+2.答案:f(x)=2x+23.已知f(l-co s x)二sir?x,则函数f(x)的解析式为.解析：因为 f(l-co s x)=sin2x=l-co s2x,令 1-co s x=t,t 0,2,则 co s x=l-t,所以 f(t)=l-(l-t)=2t-t2,t e0,2.即 f(x)=2x-x2,x 0,2.答案:f(x)=2x-x2,x0,2后适通1.已知f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或 两种方法并用，换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取 值范围.2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出X-(t),然后代入表达 式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值 范围.厩I考点三分段函数及其应用幅度-分段函数求值x 0,.已知 f(x)M +D =则 f f+f(-3)的值等 于.4 4 B 4 B B 16解析：由题意得 f G)=2 X 3=3,ff(3)=f(3)=2 X 工至.4 1 2 2 4f(-3)=f(-3)=f(3)=2X3=3,4 4 16 4 20所以 f f G)+f(-3)v+w 二石.20答案:石一解题策略 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.当出现f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值.口角度二分段函数与方程fx,x 0,CWT2)(2021 山西太原高三期中)已知函数f(x)二I乂、口若f(a)=2,则实数 a=()A.T 或 2 B.2 或 4C.-2 或 4 D.T 或 4解析:法一 当a0时，由a2-a=2解得a=T或a=2(舍去);当20时，由雨二2可得a=4.故选D.法二 结合选项可知a=2时距W2,因此排除A,B.对于a=-2时，(-2)2-(-2)二672,排除 C.故选 D.解题策略根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时，应根据分段函数各 段的定义域分类讨论，结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自 变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.幅度三分段函数与不等式rx+1,x 0,则满足f(X)+f(X-2)1的X的取值范围是.解析:当 xG时,f(x)+f(x-2)=2x+2T_22x1;1 11 1当 0 xWMf(x)+f(x-5)=2x+(x-5)+l=2+x+52xl;当 xWO 时，f（x）+f（X-2）=x+l+（X-2）+1=2x+2,所以 f(x)+f(X-2)l=2x+2l=XT,即-4xW0.1综上,x(-4,+8).1答案：(-a+8)解题策略求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函 数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.幅度四分段函数的值域C5O(2021 安徽肥东综合高中高三期中)设函数f(x)=&，又=，若 F(x)=f(x)+x,x R,则 F(x)的值域为()A.(-8,iB.2,+8)C.(-,1 U 2,+8)D.(-,1)U(2,+)1 x 1解析：当x0时,F(x)r+x22、”=2,当且仅当ax,即x=l时取等号;当xWO时,F(x)=/+x,根据指数函数与一次函数的单调性得F(x)是增 函数,F(x)2,j+2,x 2,则 f(f(i)=()A.-2 B.2C.4 D.11解析:因为因为口2+2=3,所以f(f(1)二f=3+三4.故选C.(x-lt x 0,则不等式f(x)+l 0的解集是()A.(-8,而)B.(8,o)u(0,而)C.(0,i o)D.(-1,0)U(珂+8)解析：由题意(x 0,lx-1+1 0,llgx+10,所以x0或0 x叫1所以不等式f(x)+l 0的解集为(-8,0)U(0,而).故选B./-x+l,x 1 的值域为.13 3解析：当 X1 时,f(x)=x1 2-x+l=(X-2)2+411当 xl 时,f(x)=*e(0,1).综上可得,f(x)的值域为(0,+8).答案：(0,+8)产+1,x 0,则方程f(l+x2)=f(2x)的解集 是.解析：因为 1+x?三 1,所以 f(l+x?)=2.方程 f(l+x2)=f(2x),即 f(2x)=2.所以当x0时,方程e2x+l=2,解得x=0,不成立；当xN O时,2=2成立.所以方程f(l+x2)=f(2x)的解集是x|x三0.答案:0,+8)，自备选例题CS D设函数f:R-R满足f(0)=1,且对任意x,yeR都有f(xy+1)二f(x)f(y)-f(y)-x+2,则 f(2 023)=()A.0 B.1C.2 024 D.2 025解析：令 x=y=O,则 f=f(0)f(0)-f(0)-0+2=1 X IT-0+2=2,令 y=0,则 f=f(x)f(0)-f(0)-x+2,将 f(0)=1,f(1)=2 代入，可得 f(x)=1+x,所以 f(2 023)=2 024.故选 C.例2已知y二f(x)是定义域为字,止且0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,因为图象过点(4,0),1所以0二a(4-2)2-1,解得好工综上，函数f(x)在-1,+8)上的解析式为rx+l,-lx 0,抽)上仁2)2-1,空。./x+l,-lx 0 答案:f(x)=(1.(2021 江苏淮安五校高三联考)函数f(x)二任为+l g(3x-1)的定义域为(A)课时作业灵活小笈龙致提怩题明州裱知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练函数的概念与表示2,3,61416函数的定义域1,4,5,711分段函数8,9,1012,1315A级基础巩固练A.(3 1 B.(0,1C.(8,3)D.(0,3)71万 jlr NO,i解析:要使f(x)=VJ-+l g(3x-l)有意义,则有匕1 0,解得3xW1.所以函数f(x)=V，r+ig(3x-i)的定义域为(41.故选A.1 12.已知函数 f(x)满足 f+4(-x)=2x(xW0),则 f(-2)=(C)7 9A.-2 B.27 9C.2 D.-21 1解析:法一 由 f(*)+f(-x)=2x,1 2可得 f(-X)-xf(x)=-x,2将乘以x+得2f(-x)=2x?r,1 7所以f(-x)=x2-x.所以f(-2)右故选C.1 1法二 根据题意，函数f(X)满足f(x)+xf(-x)=2x(xtO),1 1令 x=2 可得 f(2)+2f(-2)=4,1 1令 X二与可得 f(-2)-2f(2)=-1,联立解得f(-2)6.故选C.3.(2021 江西赣州高三期中)已知函数f(x)包g(x)=x2-a,若 f g(l)=1,则 a=(B)A.-1 B.1C.2 D.3解析：因为函数f(x)二2；g(x)=x2-a,所以f g解得a=l.故 选B.4.(2021 湖北荆州中学高考四模)定义域是一个函数的三要素之一，已知函数f(x)的定义域为211,985,则函数g(x)=f(2 018x)+f(2 021x)的定义域为(A)211 985 211 985A.12 O1B,2 021 B.2 021,2 018211 985 211 985C.2 018,2 018 D.2 021,2 021(211 W 2 018 x W 98 5,211 985解析:根据题意得1211 W 2 0210);y=x42xT0;rx,x 0)的定义域为(0,+8),值域为(5,+8);y=x2+2xT0的定义域为R,值域为-H,+8)；rx,x 0y=的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是,共有2个.故选B.6.(多选题)下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是(ABD)A.f(x)=|2x|B.f(x)=xC.f(x)=D.f(x)=x-1 x|解析:f(x)=|2x|,f(2x)=41X1,2f(x)=41XI,所以 A 正确;f(x)=x,满足 f(2x)=2f(x),所以 B 正确；f(x)二市,f(2x)二后,2f(x)二2五,不满足 f(2x)二2f(x),所以 C 不正 确；f(x)=x-1 x|,f(2x)=2x-21 x|,2f(x)=2x-2|x|,所以 D 正确.故选 ABD.17.(2021 安徽合肥高三联考)已知函数&)的定义域是反,8,则 f(2X)的定义域是.1 1解析：因为函数f(x)的定义域是反8,所以得-1WxW3.所以f)的定义域为-1,3.答案:T,3fx+3,x 0,8.已知函数f(x)Jx2+又一1,又则f(2)=；不等式f(x)f(l)的解集为.解析:f=22+2-1=5,rx o,f(x)f(l)等价于lx+3 1 或者lx2+X-11,解得-2x0 或 xl.答案:5(-2,0)U(l,+8)仔-2G，2),9.设函数f(x)二唯虫”之)，若十(而二7,则实数m=.解析:当m22时,f(m)=7,即武-2=7,解得m=3或m二-3(舍去)，则m=3;当m2,舍去.综上可得,实数m 的值为3.答案：3(l-2a)x+3 a,x 0且a-1,解得-1 所以实数a的取值范围是T,2).1答案：T,)B级综合运用练3+x x 311.设函数f(x)=l g 则f(可+f的定义域为(B)A.(-9,0)U(0,9)B.(-9,-1)U(1,9)C.(-3,-1)U(1,3)D.(-9,-3)U(3,9)解析：因为函数f(X)=l g 3-,3+所以至0=-3x3,-3*3,3 -3,所以 x所以 1或又V-1,所以-9xT或l x9.故选B.口,又为有理数12.(多选题)函数“9二1，又为现数则下列结论正确的是(ACD)A.任意 x 都有 f(x)=f(-x)B.方程f(f(x)=f(x)的解只有x=lC.f(x)的值域是0,1D.方程f(f(x)二x的解只有x二l解析:当X为有理数时,-X为有理数,则f(X)=f(-x)=l,当X为无理数 时,-X为无理数,则f(x)=f(-X)=0,故A正确;当x为有理数时,方程f洋(x)=f(l)=l=f(x)成立;当x为无理数时，方程f(f(x)二f(0)n Wf(x).所以方程f(f(x)二f(x)的解为任意有 理数，故B错误；因为f(x)的值域是0,1,故C正确；当X为有理数时,方程f(f(x)=f(1)=1二X,解得X=1；当X为无理数时,方程f(f(x)=f(0)=1,无解,故D正确.故选ACD.(x2,-2 x 1,13.(多选题)已知函数f(x)r+2,x、l,关于函数f(x)的结论正 确的是(BC)A.f(x)的定义域为RB.f(x)的值域为(-8,4C.若f(x)=2,则x的值是-迎D.f(x)l 的解集为(-1,1)解析:函数f(x)的定义域是-2,1)U 1,+8的-2,+8),故A错误；当-2Wxl 时 f(x)-2,值域为0,4,当 x21 时，f(x)=-x+2,值域为(-8,1,故f(X)的值域为(-8,1 U 0,4二(-8,4,故B正确；由函数值的 分布情况可知,f(x)=2在x 21上无解,故由-2Wxl,即f(情才二2,得到 x=_ 2,故 C 正确;当-2Wxl 时,令 f(x)=x2l,解得 x(-1,1),当 xl 时，令 f(x)=-x+2l,解得 x(1,+8),故 f(x)l 的解集为(-1,1)U(1,+8),故D错误.故选BC.14.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函 数为“同族函数”，请写出一个与函数y=x；x 0,2同族的函 数:解析:函数y=x2,xe 0,2的值域为0,4,因此其同族函数的函数解 析式可以是 y=x；xe-2,t (00,15.设函数f(x)二卜(8,X0,则满足f(x)+f(x-1)2的x的取值范 围是.解析：当 x0 时,f(x)=-f(-x)=-X(-X-1)=-X(x+1),若 x0,则 X-K-1,由 f(x)+f(x-1)2 得-x(x+1)-(x-1)x2,即-2x?-l,此式恒成立，此时x0.若 x N l,则 x-120,由 f(x)+f(x-1)2 得 x(x-1)+(x-1)(x-2)2,即 x-2x0,即 0 x2,此时 l Wx2.若 OWxG,贝ij x-kO,由 f(x)+f(x-1)2 得 x(x-1)-(x-1)x2,即02,此时不等式恒成立,此时OWxl.综上x0,且 f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,beR,贝U ab=.解析:因为 f(x)=x3-3x+3(x E R),所以 f(x)-f(a)=x3-3x+3-(a3-3a+3)=x3-a3-3(x-a)=(x-a)(x2+ax+a2)-3(x-a)=(x-a)x2+ax+a2-3,因为 f(x)-f 因二(x-b)(x-a)2,所以(x-a)x2+ax+a2-3=(x-b)(x-a)2,对任意的 x 恒成立,因为 x-a 不恒为 0,所以 x2+ax+a2-3=(x-b)(x-a).展开整理可得 ax+a2-3=-(a+b)x+ab,所以=(a+h)2-3=ab,fa=l,解得5=-2ja=-1,或5=2(舍去)，所以 ab=l X(-2)=-2.答案:-2第2节 函数的单调性与最值 困课程标准要求1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.必备知识.课前回顾 归敖就夯实四基鹿知识梳理1.函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f（X）的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值X1,X2当 X1X2 时,都有 f（X1）（X2）,当 X1X2 时,都有 f（Xi）f（X2）,那那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定 义域上单调递增时,我们就称 它是增函数么就称函数f(X)在区间D上里 调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义 域上单调递减时,我们就称它是 减函数图y=f(x)K I7片/4.y=/()/7(珀象i/(xi)j/(珀描0*1 42 X述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的释疑函数单调性定义中的X,X2具有以下三个特征:一是任意性，即“任意 两数Xi,X2D”，“任意”两字绝不能丢；二是有大小，即XX2；三是同 属一个单调区间，三者缺一不可.单调区间的定义如果函数y二f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区回R叫做尸f(x)的单调区 间.若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“，”或“和”连接,不要用“U”.2.函数的最值刖提一般地,设函数厂f(X)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x l,都有f(x)(2)存在x ei,使得以垃四(3)对于任意x l,都有f(x)三M;(4)存在 x0I,使得 f(x)二M结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值释疑(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.闺重要结论1.函数单调性的等价定义f(zi)-f(X2)设任意 Xi,X2D(XiWX2),则 0(或(x-x2)f(Xi)-f(x2)0)o f(x)在 D 上单调递增；f(xi)-f(X2)(2)*1-2 0(或(X-X2)f(Xi)-f(x2)0,b0,则函数在区间(-8,0),(0,+8)上是增函数,若a0,则函数在区间(-8,0),(0,+8)上是减函数;若a0,b0,则函数在区间(,0),(0,.!p)上是减函数,在区间(,+8)上是增函数.特别地，“对勾函数y=x+；(a0)的单调递增区间为(-8,而)，(雨,+8);单调递减区间是-诟,0),(0,四.3.与函数运算有关的单调性结论函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.(2)k0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同;k0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反.1若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与同具有相反的单调性.(4)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)-g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)-g(x)是减(增)函数.在公共定义域内，增+增二增,减+减二减.(6)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同，则这 两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这 两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.-9能自测5-1.(2021 全国甲卷)下列函数中是增函数的为(D)2B.f(x)二、A.f(x)二一xC.f(x)=x2 D.f(x)=F2解析:f(x)=-X为R上的减函数;f(x)=为R上的减函数;f(x)=X?在(-8,0)上为减函数;f(x)二5为R上的增函数.故选D.2.若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)a,所以 a-2a0,所以 a2 或 af，则函数f(x)在区间-1,句上的最大值为f(T)=6.答案：64.(必修第一册 P100T4 改编)函数 f(x)=x2+2(a-l)x+2.(1)若函数f(x)的单调递减区间是(-8,6,则实数a的值(或取值范围)是；若函数f(x)在区间(-8,6上单调递减,则实数a的值(或取值范 围)是.解析：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(-8,6,且函数f(x)图象 的对称轴为直线x=l-a,所以有l-a=6,即a=-5.因为函数f(x)在区间(-8,6上单调递减,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=l-a,所以1-a6,即a-5.答案：(1)-5(2)(-o o,-5 5.(2021 吉林松原高三模拟)写出一个符合“对Vx】,X2R，当x】Wx2时，(xX2)f(Xi)-f(x2)0v 的函数:f(x)=.解析:设Vxi,x2eR,xi f(x2),由单调性的定义可知,函数f(x)是定义域为R的减函数,所以函数f(x)=-x满足题意.答案:-x(答案不唯一)关键能力课堂突破 美令考曼嘴实房考点二I函数的单调性与单调区间1.下列函数中，满足“Vxi,X2&(0,+8)且 Xix2,(X-X2)f(xi)-f(x2)0,得f(x)的定义域为x|x4或x0时,0f(x)=*+;*2当且仅当x=l时,等号成立;当 X0 时,f(X)二可0,且 f(X)二(r)W2_2j(r)=当且仅当X=1时，等号成立.*1 1综上所述,函数f(X)二可的值域为-2 2.故选D.解题策略利用基本不等式法求最值应先对解析式变形，使之具备“一正二定三 相等”的条件后用基本不等式求出最值，若自变量符号不确定,则需要 分类讨论.口方法二换元法70求下列函数的值域.1 f(x)=4 x+i(x20)；(2)f(x)二 2x+l及.1解：(1)因为 xN O,设 t二(0,l,y=t2+t+l,t e(0,1,1 3y=t2+t+l=(t+z)2+4由于函数y=t2+t+l在(0,1上单调递增，所以Kt2+t+l 0,解：(2)因为tx+2所以-2WxW4,所以函数f(x)的定义域为-2,4.又山二力,丫2二-田山在区间-2,4上均为减函数,所以f(x)二-田工在-2,4上为减函数,所以f(4)Wf(x)Wf(-2),即-&Wf(x)W,所以函数的值域为 的，的.解题策略若已知函数具有明显的单调性,则应先确定函数的单调性,再由单调 性求最值.口方法四分离常数法1-X1 21 1d,la,ab,la,ab,得 g(x)二(-x2-2x+4)*(-x+2)1-x+2,x G-2,l,二1一9一笈+4,1 (-0%-2)U(1,+00),当 x-2,1,g(x)=-x+2 1,4,当 x(-8,-2)U(1,+8),g(x)二-(x+1)2+54,可得 g(x)4.故选 A.解题策略若所求值域的函数的图象容易作出，则先作出函数的图象,通过观察 其最高点、最低点的纵坐标求出最值（值域）.一般地,涉及新定义问题 的函数最值或分段函数的最值问题,常借助图象法求解.针对训练1.函数尸乃十三的值域为（）A.(0,3)B.(0,3C.(-8,3)D.3,+81 1 1 1解析：因为2、0=2*+33n所以函数y二洋的值域为(0,司.故 选A.2.函数f(x)=Q+2x的值域为()A.-1,+)B.0,+8)C.1,+)D.2,+8)解析:令X-120,解得xl,函数f(x)在1,+8)上为增函数,所以f(x)2,+8),即函数f(x)的值域为2,+8).故选D.(a,ab,3.对于任意实数a,b,定义mi na,b4A a 瓦设函数f(x)=-x+3,g(x)=l o g2x,则函数 h(x)=minf(x),g(x)的最大值是.解析:在同一平面直角坐标系中作出函数f(x),g(x)图象，依题意,h(x)的图象如图实线部分所示.易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)=1.答案：1/+24.函数y=的值域是.解析:y二狼+*2=Vl+x2=+J1+X2.令 t W+R t l）,贝l j*二2（当且仅当 t=i,即 t=l,即x=0时,取等号），因此函数的最小值为2.函数无最大值,即函数的值 域是+8）.答案：2,+8）摩考点三函数单调性的应用口角度-利用单调性比较大小例2-1）已知函数y=f（X）关于直线x=l对称，当1X10 恒成立,设 a=f（-2）,b=f（2）,c=f（3）,则a,b,c大小关系为（）A.bac B.cbaC.bca D.abc解析：因为函数f（x）的图象关于直线X=1对称,又因为当1X1O恒成立,所以函数f（X）在（1,+8）上单调 递增，5 1因此 f（3）f=f（6）f（2）,即 bac.故选 A.，解题策略利用单调性比较函数值大小时,应根据函数的性质（如对称性等）将自 变量转化到函数的同一个单调区间上,利用单调性比较大小.口角度二利用函数的单调性解不等式例2-2 已知函数 f(x)二一x|x|,x(-1,1),则不等式 f(1-m)f(m1 2-l)的 解集为.1 5 2C.2,5 D.(0,3)U(2,3)fx2,-1 x 0,解析：函数f(x)=Ud，0 X 1，则f(X)在(-1,1)上单调递减,不等 式f(l-向行面-口可转化为=1 1-m 1,-1 m2-l 1,解得 水 l答案：m|0ml 解题策略解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用函数的单 调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为关于自变量的不等式，常见 的转化方法为:若函数y=f(x)在区间D上是增函数,对任意xb x2eD,且f(Xi)f(x2),则有X1X2；若函数y二f(x)在区间D上是减函数,对任 意Xi,X2D,且f(Xi)f(X2),则有X，X2.但需要注意的是不要忘记函数 的定义域.口角度三含参数的分段函数的单调性产田zx+3 a i),已知函数f(x)二”幅近又，。在xR上单调递减，则实数a的取值范围是()1 2A.(0,2)B.(0,3)*x+3G 1,0 a 1唯 1,解得IWaWi故选C.解题策略对于分段函数在实数集R上的单调递增（减）的问题,除了保证在定义 域的每一个区间上单调性相同之外，还要考虑在分界点处的函数值的 大小关系.针对训练1.已知函数f（x）的图象关于y轴对称,且函数在区间0,+8）上单调 递增，则下列关系式成立的是（）A.f(-z)f(-3)f(4)7B.f(-3)f(-z)f(4)7C.f(-3)f(4)f(-2)7D.f(4)f(-2)f(-3)解析：因为函数f(x)的图象关于y轴对称,所以 f(-3)=f(3),f(-5)=f,7 7又因为324且f(x)在0,+8)上单调递增,所以f(3)f(4),7所以f(-3)(二)4(4).故选B.(ax2,x 2在R上 单调递增,则实数a的取值范围是()3 3A.(0,1 B.(0,2 C.(0,z)D.1,2)x 2在R上单调递增，a 0,1 32a 0,所以(2o-2 MO,解得0aWl.故选A.(2X,x f(x2)+f(l)恒成立,则实数X1的取值范围是()A.(-8,0)b.(0,2)C.(z,1)D.(l,+o o)解析:若 f(X1)+f(0)f(x2)+f(1),则 f(Xi)-f(x2)f(1)-f(0).又由 Xi+x2=l,贝1J有 f(xi)-f(l-xi)f(1)-f(0).令g(x)=f(x)-f(1-x),又f(x)为增函数，所以g(x)为增函数,式即 g(xi)g(l),所以 X11.故选 D.CS D已知定义在(0,+8)上的函数f(x)满足:对任意正实数a,b,都 有f(ab)=f(a)+f(b)-2,且当xl时恒有f(x)2,则下列结论正确的是()A.f(x)在(0,+8)上是减函数B.f(x)在(0,+8)上是增函数C.f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+8)上是增函数D.f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+8)上是减函数解析：设任意0 xX2,则*2*2*2*23,f(x2)-f(X1)=f(x j-f(x)=f()+f(X1)-2-f(x)=f(1)-20,即f(x2)f(X1),所以函数为减函数.故选A.2ox-l函数尸WT在区间(-8,-i)上是减函数,则实数a的取值范围 是.2a(x+l)-2a-l 2a+T解析：法一 因为y二41二=2a-*+工.2bx-1又因为y二计1在(-,-1)上是减函数，所以2a+l 0,所以a-2.21kl 2a+l法二因为y二z+工=2a一计工,2a+l所以y，二G”，2az-l 1又因为y=*+，在(-8,-1)上是减函数,所以2a+l 0,所以a1,则实数a的取值范围是.f(zi)-f(2)解析：因为任意Xi,X2e 1,+8)且X1WX2,都有1,f(xi)-f(zj)所以令 X1X2,则 n-口 1,即 f(X1)-f(x2)X-X2,f(X1)-Xif(x2)-x2,令g(x)=f(x)-X=ax2-2x+l,则函数目6)在1,+8)上是增函数,若a=O,则g(x)=-2x+l,显然不成立;/a 0,-1若aN O,则I 2a-解得aBl.综上所述，实数a的取值范围是1,+).答案：1,+8)丽求下列函数的值域.f(X)二一用工；f(x)二g日由15解：(1)令y二而G,则函数的定义域为xR,函数可转化为(y-l)x2+(y+l)x+y-l=0 在 xR 上有解,所以当 yl=O,即 y=l 时，x=0 显然成立；当 y-IWO 时,A=(y+l)2-4(y-L)220,整理得13y2-10y+30,解:(2)由己知得口+10 0,解得xW2,所以f(x)的定义域为 x|x0,因此函数在(0,+8)上 单调递增，故C满足题意；1函数y二在区间(0,+8)上单调递减.故选C.2.函数又的值域是(c)A.-2,2 B.1,2C.0,2 D.-佟 0解析：由o/一卫+4又4-(x-2尸+4W2可知函数y二2一一/的 值域为0,2.故选C.2-x3.函数y=+L xe(m,n的最小值为0,则m的取值范围是(B)A.(1,2)B.(-1,2)C.1,2)D.-1,2)2-z 3-(z+1)3解析：函数f(x)n+i=*+1 n+1-1在区间(T,+8)上是减函数，且f(2)=0,所以 n=2.根据题意，X e(m,n时，ymi n=0.所以m的取值范围是(-1,2).故选B.4.已知函数 f(x)=ex+x-l,若 a(-1,0),则 f(a),f(2a),f2(a)的大小 关系为(D)A.f(2a)f(a)f2(a)B.f(2a)f2(a)f(a)C.f2(a)f(2a)f(a)D.f2(a)f(a)f(2a)解析:显然f(x)在R上是增函数,且f(0)=0,当a(-1,0)时,2aa0,所以 f(2a)f(a)0,从而 f2(a)f(a)f(2a).故选 D.5.(多选题)(2021 辽宁百校联盟高考模拟)下列函数中，在4)上 是减函数的是(AC)1A.y=(司 B.y=l o g2(x2+3x)1C.y=x-2 D.y=co s x解析:根据指数函数的性质得y=G)在4)上是减函数,符合题意；根据复合函数的单调性可知y=l o g2(x2+3x)在4)上是增函数,不符 合题意；根据反比例函数的性质及函数图象的平移得y二在4)上是减函 数,符合题意；根据余弦函数的性质得,y二co s x在4)上先减后增,不符合题意.故 选AC.26.(2021 陕西咸阳高三一模)已知函数f(x)=+i-l,且f(4x-l)f(3),则实数x的取值范围是(D)A.(2,+8)B.(-8,2)C.(1,+)D.(-,1)2解析：由题意知函数f(x)=i-l在R上单调递减，由于f(4X-1)f(3),所以4x-1l）在区间（0,3）上单调递减，则a的取值范围 为.匚 幅三解析：由对勾函数的性质可知函数y=x+工（al）在（0,V.勺上单调递减，在（V 士+8）上单调递增，因为函数y=x+*（al）在区间（0,3）上 单调递减,所以近五三3,解得al O.答案：10,+8）(-J?+4x,x 4,10.设函数f(x)二若函数y二f(x)在区间(a,a+1)上单 调递增,则实数a的取值范围是.解析:作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a,a+1)上 单调递增，需满足a巳4或a+l 4)小厂10 2 4 Xy=-x2+4x/(*W4)答案：(-8,1 U 4,+o o)B级综合运用练11.已知图象开口向上的二次函数f(x)对任意x eR都满足f(3-x)二 f(x),若f(x)在区间(a,2a-1)上单调递减,则实数a的取值范围为(B)5 5A.(-o o,4 B.(1,43C.-2,+8)D.(-8,2)3解析：由题意知函数图象的对称轴是直线X=2且开口向上,若f(X)在3 5区间(a,2a-1)上单调递减,则只需5,2a-1,解得aW*,而al.所以实数a的取值范围为(1,司.故选B.12.(多选题)若函数f(x)7+3的值域为(0,+8),则实数a的取 值可能是(CD)1A.0 B.23C.4 D.1更解析:当a=0时,f(x)=3,不符合题意;1当aWO时，因为函数f(x)=的值域为(0,+8),所以1a0,3l(fz)2T XaX 30,解得 at 故选 CD.13.(多选题)(2021 山东威海高三期中)函数f(x)对任意x,yR总1有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x0 时,f(x)0,f(1)=3 则下列命题中正确 的是(BCD)A.f(x)是R上的减函数B.f(x)在-6,6上的最小值为-2C.f(-x)=-f(x)D.若f(x)+f(x-3)2-1,则实数x的取值范围为0,+8)解析:取 x=0,y=0,则 f(0)=f(0)+f(0),解得 f(0)=0.令 y=-x,则 f(0)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),C 正确;令 Xi,X2R,且 Xi x2,则 x-x20,因为当 x0 时，f(x)0,所以 f(Xi-x2)0,则 f(Xi)-f(x2)=f(X1)+f(-X2)=f(X1-X2)0,即 f(X1)f(X2),所以函数 f(x)是R上的增函数,A错误；因为函数f(