2022年重庆市中考数学真题（A卷）（解析版）.pdf

备考资料首选通过无忧轻松拿下考试基础阶段一专业知识 刷题阶段一重点题库 冲刺阶段一押题点睛 考点覆盖一精编习题 紧扣考纲一直击考点 历年真题一押题抢分本封面内容仅供参考，实际内容请认真预览本电子文本祝您考试顺利基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）2022年重庆市中考数学试卷A卷一、选择题1.5的相反数是（）1 1A.5 B.-C.D.55 5【答案】A【解析】【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可.【详解】解：5的相反数是-5,故选:A.【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个 正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与 倒数的意义混淆.2.下列图形是轴对称图形的是（）【答案】D【解析】【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.3.如图，直线AB,C7）被直线CE所截，AB/CD,/C=50。，则N1的度数为（）第1页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）A.40 B,50 C.130 D.150【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解.【详解】解：/AB/CD,r.zi+zc=i80,ZC=50,/.Zl-130.故选：c【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.4.如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面 高度（m）随飞行时间s）的变化情况,则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）【答案】D【解析】【分析】根据函数图象可直接得出答案.【详解】解：.函数图象的纵坐标表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度（m）,由函数图象可知这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m,故选：D.【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，准确识图是解题的关键.5.如图，A3C与 DEF位似，点0为位似中心，相似比为2:3.若 A3C的周长为4,则。石方的周长是（）第2页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）A.4 B.6 C.9 D.16【答案】B【解析】【分析】根据周长之比等于位似比计算即可.【详解】设。方的周长是,A3C与 DEF位似,相似比为2:3,A3。的周长为4,.*.4：x=2：3,解得:x=6,故选:B.【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键.6.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有5个正方形，第个图案中有9 个正方形，第个图案中有13个正方形，第个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为（）O OOOOO A.32 B.34 C.O O O OOOOOOOOOO 37 D.41【答案】c【解析】【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，,由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第个图形的算式，然后再解答即可.【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4xl；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4x2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+44-4=5+4x3；第个图中有正方形，可以写成：5+4（H-1）=4/?+1；第3页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）当 片9时，代入4+1得：4x9+1=37.故选：C.【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字 之间的规律是解决问题的关键.7.估计J5 X（2百+5 的值应在（）A.10和11之间 B.9和10之间 C.8和9之间 D.7和8之间【答案】B【解析】【分析】先化简6x（26+0）=6+利用次JI5V而，从而判定即可.【详解】6x（26+际）=6+厉，79715716，.，.3a/15，96+V1510，故选：B.【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的 关键.8.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平 均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是（）A.200（1+x）2=242 B.200（1%丁=242 C.200（1+2x）=242 D.200（1-2x）=242【答案】A【解析】【分析】平均增长率为,关系式为：第三天揽件量=第一天揽件量X（1+平均增长率）2,把相关数值代入即可.【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，.可列方程为：200（1+%y=242,故选：A.【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难 度一般.9.如图，在正方形A5CD中，A石平分/B4c交3C于点E,点尸是边A3上一点，连接第4页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）DF,若BE=AF,则/CO尸的度数为（）EB E CA.45 B,60 C.67.5 D,77.5【答案】C【解析】【分析】先利用正方形的性质得到A。=A8,ZDAF=ZB=ZADC=90,ABAC=5,利用角平分线的定义求得乙BAE,再证得ABE当DAF（SAS）,利用全 等三角形的性质求得乙4。尸=/BAE=22.5。,最后利用ZCDF=ZADC-ZADF即可 求解.【详解】解：四边形ABCD是正方形，/.ADAB,ZDAF=ZB=ZADC=90,ABAC=45,/AE平分NBAC交BC于点E,：./BAE=-NBAC=22.5,2在和D4尸中，AD=AB-35x-Ka的解集为lw-2,且关于y的分式方程二;-2的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（）y+1 y+1A.-26 B.-24 C.-15 D.-13【答案】D【解析】【分析】根据不等式组的解集，确定根据分式方程的负整数解，确定“VI,根据分式方程的增根，确定分-2,计算即可.把匚【详解】V 3解得解集为X W-2,解得解集为,八 4-1.不等式组J 3 的解集为 W-2,5x-Ka解得舟号2的解是得且含=,-2的解是负整数,tzl 且 叶-2,：.-Ua 且叶-2,故 a=-8 或 a-5,故满足条件的整数。的值之和是-8-5=-13,故选D.【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法,灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键.第7页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）12.对多项式-y-z-任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：m%y z+m+x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n,，给出下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和0；所有的“加算操作”共有8种不同的结果.以上说法中正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】给了一丁添加括号，即可判断说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得 x的符号为负号，即可判断说法是否正确；列举出所有情况即可判断说法是否正确.【详解】解：（x-y）-z-m-n=x-y-z-m-n说法正确：x-y-z-m-n-x+y+z+m+n=0又.无论如何添加括号，无法使得的符号为负号.说法正确当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是 z m x-（y-z）-m-n,x-y-z-rri）-ny x-y-z-m-n；当括号中有三个字母，共有3种情况，分别（xy z）一加一、x （y z 加）一、x-y-z-m-n）；当括号中有四个字母，共有1种情况，m-）共有8种情况说法正确正确的个数为3故选D.【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键.二、填空题13.计算：卜 4|+（3-）=.【答案】5【解析】第8页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）【分析】根据绝对值和零指数嘉进行计算即可.【详解】解：卜4|+（3）=4+1=5,故答案为：5.【点睛】本题考查了绝对值和零指数幕的计算，熟练掌握定义是解题的关键.14.有三张完全一样正面分别写有字母A,B,C的卡片.将其背面朝上并洗匀，从中随机 抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字 母相同的概率是.【答案】-3【解析】【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和抽取的两张卡片上的字母相同的情况数，然 后根据概率公式即可得出答案.【详解】解：根据题意列表如下：ABCAAABACABABBBCBCACBCCC共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，3 1所以P（抽取的两张卡片上的字母相同）.9 3【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可 能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注 意此题是放回实验还是不放回实验.15.如图，菱形A5CZ）中，分别以点A,。为圆心，AD,C3长为半径画弧，分别交对 角线AC于点E,F.若A3=2,ZBAD=60,则图中阴影部分的面积为.（结 果不取近似值）【答案】2右一2乃 3第9页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）【解析】【分析】连接交AC于点G,证明人4瓦）是等边三角形，可得3。=2,然后根据菱形的 性质及勾股定理求出AC,再由 S阴影=S菱形ABC。S扇形ADEs扇形CBF得出答案.【详解】解：连接8交AC于点G,.四边形A5CQ是菱形，：.ABAD=2,AC1.BD,：ABAD=60,.A8O 是等边三角形，ND4C=N8CA=30。，：.BD=2,：.BG=-BD=,2*,AG-VAB2 BG2 V22 I2=a/3，2 AG=2上,c e _1 oA 307r2 30万22 r-2 阴影一3 菱形ABC。-3 扇形ADE-3 扇形CBF-X 35 X Z-=RS 71，2 360 360 3故答案为：2a/37i.3DB【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键.16.为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7,需香樟数量之比为4:3:9,并且甲、乙两山 需红枫数量之比为2:3.在实际购买时，香樟的价格比预算低20%,红枫的价格比预算高 25%,香樟购买数量减少了 6.25%,结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买 香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为.3【答案】-【解析】【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可.第10页，共27页基础(精讲)+冲刺(仿真)+督学(测评)+口诀(速记)+经典(资料)【详解】设三座山各需香樟数量分别为4%、3%、9%.甲、乙两山需红枫数量2a、3a.4%+2a 5 93%+3。6 ci 3x，7故丙山的红枫数量为y(4%+2。)-9x=5%,设香樟和红枫价格分别为加、n.16mx+(6%+9%+5%)=16x(1 6.25%)(1 20%)加+(61：+9%+5%)(1+25%)几，根：=5:4,.实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为16x-(l-6.25%)-(l-20%)m _ 3(6%+9x+5x).(l+25%)-53故答案为：.【点睛】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求 解是解题的关键.三、解答题17.计算：(1)(%+2)+%(%4)；rTa2-b2 2b【答案】(1)2x2+42(2)a+b【解析】【分析】(1)先计算乘法，再合并，即可求解;(2)先计算括号内的，再计算除法，即可求解.【小问1详解】解：原式=/+4%+4+%2 一4%=2,+4小问2详解】第11页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）解：原式=a-b 2b-x-b(a+h)(a-b)2 a+b【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题 的关键.18.在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形A5C。中，E是A。边上的一点，试说明3CE的面积与矩形A3CD的面积之间的关系.他的思路是：首先过点E作3C的 垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决.请根 据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点作的垂线尸，垂足为尸（只保留作图痕迹）.在A4E和尸3中，EF1BC,：.ZEFB=90.又 NA=90。，_/AD/BC,/.又ABAEAEFB（AAS）.同理可得,S/bCE=S&EFB+S&EFC=/ABFE+S矩形即。=/S矩形abcd【答案】NA=/EFB、/AEB=/FBE、BE=EB、/EDC CFE（AAS）【解析】【分析】过点作3C的垂线E/，垂足为尸，分别利用A4S证得BAEgZXEFB，EDCACFE,利用全等三角形的面积相等即可求解.【详解】证明：用直尺和圆规，过点作3。的垂线屈F,垂足为尸（只保留作图痕迹）.如图所示，第12页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）在A4E和EFB中，EF 1BC,.ZEFB=90.又 NA=90,r./EFB=/A/AD/BC,：./AEB=/FBE 又BE=EB：.ABAEAEFB(AAS).同理可得 CTE(44S)SgCE S/EFB+S&EFC 万S矩形a8fe+耳S矩形打=耳S矩形,故答案为：/A=/EFB、NAEB=NFBE、BE=EB、/EDC CFE（AAS）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键.19.公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产 的A、3型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量 的数据（单位：g）,并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格 80 x85,良好85 的解集；x(3)若点。是点8关于y轴的对称点，连接AC,BC,求A5C的面积.【答案】(1)y=2x+2,图见解析(2)一2%0或尤1(3)12【解析】【分析】(1)把4。,加)，3(,2)分别代入y=3得到相，的值，得到点A和点3的坐 x标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；(2)由函数图象可知，当2%0或1时一，一次函数,的图象在反第15页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）4比例函数丁=的图象的上方，即可得到答案;x（3）根据点C是点B关于y轴的对称点，求出点。的坐标，得到的长，进一步求出三角形的面积即可.【小问1详解】解：把3（,2）分别代入y=得,1-2n解得m=4,n=-2,.,.点 A(1,4),点8(-2,-2),把点A（1,4）,点8（-2,-2）代入一次函数,=履+。（左WO）得,k+b=4-2k+b=-2,解得k=2b=2,一次函数的表达式是y=2x+2,这个一次函数的图象如图,解：由函数图象可知，当2%的解集为一2%”为等腰直角三角形，即可求解；（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解.【小问1详解】解：过E作3C的垂线，垂足为“，：.NCAE=/C=/CHE=9U,第18页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料），四边形AC”E是矩形，石=4。=200米，根据题意得：ZD=45,.。七”为等腰直角三角形，：.DH=EH=200i,DE=41EH=200V2 283（米）；小问2详解】解：根据题意得：/ABC=/3AE=3D,在Rf ABC中，AB=2AC=400 米，/.经过点B到达点D，总路程为A3+3D=500米，*-BC=y/AB2-BC2=200V3（米）,AE=CH=BC+BD-DH=20073+100-200=20073-100（米），经过点E到达点D，总路程为200后+2006-100529 500，.,经过点8到达点）较近.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题 的关键.23.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到 的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”.例如：M=2543,V 3?+4?=25，A2543 是“勾股和数”；又如:M=4325,V52+22=29,29w43,，4325不是“勾股和数”.（1）判断2022,5055是否是“勾股和数”，并说明理由;（2）一个“勾股和数”M的千位数字为。，百位数字为b,十位数字为J个位数字为d,记G（M）=，+（/）.当G（M）,尸（M）均是整数时，求出 所有满足条件的M.【答案】（1）2022不是“勾股和数”,5055是“勾股和数”；理由见解析（2）8109 或 8190 或 4536 或 4563.【解析】【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；由“勾股和数”的定义可得104+6=。2+/，根据G（M）,尸（M）均是整数可得c+d=9,2+/=81-2c d为3的倍数，据此得出符合条件的c,d的值，然后即可确第19页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）定出M.【小问1详解】解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”;理由：22+22=8，8W20,.1022不是“勾股和数”；V52+52=50，/.5055是“勾股和数”；【小问2详解】,.加为“勾股和数”，Wa+b=c2+d2，屋I。，_1_/7为整数，c+d=9,V P(M)|10（-。+伍一姗=|10i+，-10c-二,2+屋一%9|为整数.“2+42=8i 2 为 3 的倍数，.,.c=0,d=9 或 c=9,d=0,止匕时 M=8109 或 8190；c=3,d=6 或 c=6,d=3,止匕时 M=4536 或 4563,综上，M的值为8109或8190或4536或4563.【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关 键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”.24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=g%2+笈+c与直线ab交于点A（0,-4）,3(4,0).D B（1）求该抛物线的函数表达式;第20页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C,过点产 作了轴的平行线交工轴于点。，求PC+PO的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中;U 4D 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点P的对应点，平移后的抛物线与轴交于点厂，M为平移后的抛物线的对称轴上 一点.在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点E,F,M,N为顶点的四边形是平 行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过 程.【答案】（1）y=x1 2-x-41,.该抛物线的函数表达式为：丁=一工2一%一4；2【小问2详解】如图，设PD交BC于H,V A（0,-4）,5（4,0）,【解析】1 9【分析】（1）将点A,3的坐标代入抛物线丁=5%2+。中求出4c即可；（2）设PO交5。于H,可得PC=PH,求出直线AB的解析式，设尸上则”。，/4）,D（t,O）,表示出PC+PO,然后根据二次函数的性质求出最值即可；（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点、尸坐标，设”（-4,加），N1,g2+4+g）,分情况讨论：当下为对角线时，当为对角线时，当EN 为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可.【小问1详解】1 c=-4解：将点 A（0,4）,8（4,0）代入 y=,%2+法+c 得：g+劭+c oc=-4解得：，,b=-第21页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）：.OA=OB=4,：.AOBA=ZOAB=45,PC/OB,PD/OA,：.ZBCP=NOBA=45,/PHC=/BHD=NOAB=45,PC=PH,设直线AB的解析式为y=kx+b,b=-A-f/?=4二.直线AB的解析式为y=x-4,设P t,5t t 4,则以/-4),(r,0),PC+PD=PH+PD-t 4|/2 t 4 j+f/2+f+4 j=/2+31+4=t j H-3 25/3 35当，时，尸C+P。取得最大值一，此时尸不一二2 4 12 8D B工【小问3详解】1 9 1 7由题意得：平移后抛物线解析式为y=/（%+5）-（x+5）-4=-x2+4+-,1 9 7,/抛物线y=+4%+的对称轴为=-4,.,.设 M(-4,间，N2 2第22页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）分情况讨论：当尸为对角线时,e，7贝|4+n=,2.z 1.1 2 a 7 45解得：n=-,此时一+4+-=一，2 2 2 8当为对角线时，7 15则-4=，即=,2 2”J 2,7 13此时一+4+=，2 2 8二必篝当EN为对角线时，7 1贝 I YI 4,即=,2 21 2，7 13止匕时一n+4 H,2 2 8综上所述，点N的坐标为:【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数 的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是 学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的 性质列方程.25.如图，在锐角A5C中，NA=60。，点。，分别是边A3,AC上一动点，连接B石交直线CD于点尸.第23页，共27页基础(精讲)+冲刺(仿真)+督学(测评)+口诀(速记)+经典(资料)(1)如图 1,若 且 BD=CE,/BCD=/CBE,求/CFE 的度数；(2)如图2,若加 我，且田 隹，在平面内将线段4。绕点。顺时针方向旋转60。得到线段CM,连接Mb,点N是板的中点，连接CN.在点。，E运动过程中，猜想 线段即，CF,CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)若A3=AC,且=将A3。沿直线A3翻折至ABC所在平面内得到 点是AP的中点，点K是线段方上一点，将PHK沿直线K翻折至所在平面内得到Q”K,连接PQ.在点。，运动过程中，当线段PF取得最 小值，且QK_LP尸时，请直接写出”的值.BC【答案】(1)ZEFC=60(2)BF+CF=2CN,证明见解析(3)2至+屈14【解析】【分析】(1)在射线 8 上取一点K,使得CK=BE,证明CBEZZXBCK,求出 ZCEB=ZBKD=ZBDK=ZADF,然后根据四边形内角和定理及邻补角的性质得出答 案；(2)证明ABEgZXBCQ,求出户。二 120。，倍长CN至。，连接bQ,PQ,证明 4CNM丝4QNF,求出厂。=CM=3C,在。尸上截取FP=FB,连接BP,易得APBF 为正三角形，然后求出NPFQ=NPBC,证PFQgAPBC,可得尸。=尸。，/QPF=ZCPB=60,则可得PCQ为正三角形，然后由8F+CF=P/+C/7=尸。=。=2CN 得出结论；(3)根据N5尸。=120。可知E轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心，此时AO垂直 平分8C,当尸、F、O三点共线时，P尸取得最小值，设HL=LK=2,解直角三角形 求出尸L、PH,再用面积法求出尸。计算即可.【小问1详解】解：如图1,在射线CD上取一点K,使得CK=8E,第24页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）/BCD=ZCBE,BC=BC,.ACBE义 ABCK(SAS),BK=CE=BD,./CEB=ZBKD=ZBDK=ZADF,.ZADF+ZAEF=ZAEF+/CEB=180,：.ZA+ZDFE=1SO,/ZA=60,/DFE=120,./CFE=60；【小问2详解】BF+CF=2CN,证明：V AB=AC,NA=60。,.ABC是正三角形,：.AB=BC=AC,ZA=ZDBC=60,又：BD=AE,:.ABEABCD(SAS),ZBCF=ZABE,./FBC+/BCF=60。,./BFC=120,倍长CN至。，连接/。，PQ,:CN=QN,ZQNF=ZCNM,NF=NM,:ACNM丝AQNF(SAS),FQ=CM,/QFN=ZCMN,由旋转的性质得AC=CM,FQ=CM=BC,在CT7上截取尸尸=所，连接3尸,:/BFC=120。，.ZBFP=60,4PBF为正三角形,第25页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）.ZFCM=ZPBC,/QFN=/CMN,：.FQ/CM,ZPFQ=ZFCM,ZPFQ=ZPBC,又:PB=PF,FQ=BC:.PFgAPBC(SAS),：.PQ=PC,ZQPF=ZCPB=6Q,：.PCQ为正三角形，BF+CF=PF+CF=PC=QC=2CN,即 BF+CF=2CN；【小问3详解】图2由（2）知 ZB尸C=120。,尸轨迹为如图3-1中圆弧，。为所在圆的圆心，此时AO垂直平分3C,.尸、F、0三点共线时，Pb取得最小值，ZPAO ZPAB+NB4O=90,./HPK 45,QK-L PF,：./PKH=ZQKH=45,如图3-2,作HLLPK于3设 HL=LK=2,HL 2 2 2在放中，ta n/HP57r后即反二TT pl=6第26页，共27页基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）,PH=+22=V7,HK=V22+22=2a/2,设PQ与HK交于点R,则K垂直平分尸Q,；Smhk=PK HL=HK PR,2 2.（2+G）x2=2 后PR,：，PR=fl,V2Z.PQ=2PR=4+J,：BC=AP=2PH=25,.PQ_4+2a/3 1 _2V14+V42,BC V2 2V7-14【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，平 行线的性质，圆的基本性质，解直角三角形，勾股定理等知识，综合性较强，能够作出合适 的辅助线是解题的关键.第27页，共27页