第三章 稳定性理论基础.pdf

前期回顾?微分同胚：?同胚：一一对应的连续映射?f和其逆映射f-1均是光滑的如何验证？如何验证？连续可微1.）可逆（n rank.2=xfxf()）为微分同胚映射（函数由反函数定理可知xfy=非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院12012/4/12前期回顾?李导数()()()()xfxfhhhh21?李括号()()()()=xffxhxhxhxfxhxhLmfML221?李括号()xfm=gxffxggadgff,()()()()=xgxgfffxfxfgggLL2121()()=xgxxxxfxxxmmmmMLML2121非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院22012/4/12前期回顾?对合性若对(x)的任何两个向量场1，1，2 2均有1 1，2 2(x)，则称(x)为封闭的，对合性仅对空间而言，不依赖于基向量的选取对合性仅对空间而言，不依赖于基向量的选取习题2 3(1)：习题2.3(1)：314213-xx3312-213-xx;23,01-3223xxx;23,033223xxx非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院32012/4/12前期回顾?Frobenius定理：一个正则分布完全可积的充要条件是它是对合的的充要条件是它是对合的个独立解存在dnxXxXj0)()(非线性系统能控性判别的理论基础非线性系统能控性判别的理论基础个独立解存在dnxXxXxd0)(),.,(1非线性系统能控性判别的理论基础非线性系统能控性判别的理论基础非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院42012/4/12非线性控制系统理论与应用非线性控制系统理论与应用第三章第三章稳定性理论基础稳定性理论基础第三章第三章稳定性理论基础稳定性理论基础2012/4/12非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院5本章掌握的重点内容：?李亚普诺夫稳定性定理从能量的角度来判定系统稳定性?拉萨尔不变性原理拉萨尔不变性非严格负定函数非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院62012/4/12稳定性问题的意义?什么是稳定性问题：渐近稳定性?稳定性问题的意义稳定性问题的义?通用的稳定性判别依据：“最小总能量法则”则Torricelli，Laplace和Lagrange，LyapunovLaSalleLyapunov，LaSalle非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院72012/4/12Lyapunov稳定性定理?第一方法：通过寻求描述系统运动规律的微分方程的解或特解以级数形式将它表微分方程的解或特解，以级数形式将它表示出来，进而研究其稳定性问题。?Lyapunov直接法或第二方法：不需考虑微分方程解的具体形式，而仅借助于一个所谓的李雅普若夫函数或V函数及根据该函数沿系统的导数符号来直接判断稳定性。非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院82012/4/12稳定性概念自治系统 时不变系统()()）（其中3.1 0,00=tRxxtxtxfxn&?自治系统/时不变系统()ttxf不明显依赖于时间,?系统状态的变化和时间没关系系统状态的变化和时间没关系完全由系统内部结构决定完全由系统内部结构决定()ttxf不明显依赖于时间,?完全由系统内部结构决定完全由系统内部结构决定?线性系统和非线性系统：()()xtAtxf?,=非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院92012/4/12平衡点?平衡点()()）（其中3.1 0,00=tRxxtxtxfxn&()*?平衡点?平衡解()0,0*txft如果f(x,t)对x是李普西茨(Lipschitz)连续的，即对某一h0 存在l 0满足下列条件|f(1 t)f(2 t)|l|12|(3 2)|f(x1,t)-f(x2,t)|l|x1-x2|(3.2)那么对所有t,x(t)x*的就被称为是平衡解。注意注意平衡解平衡解平衡点平衡点注意注意：平衡解平衡解平衡点平衡点；原点作为系统平衡点；原点作为系统平衡点非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院102012/4/12稳定平衡点()()）（其中3 10=tRxxtxtxfxn&如果(3.1)初始状态在非常靠近原点的邻域内运动轨迹(t)也能够保持在原点的()()）（其中3.1 0,00=tRxxtxtxfx0 x域内，运动轨迹x(t)也能够保持在原点的适当小的邻域内，则称x=0是系统的稳定平衡点平衡点。如果f满足李普西茨且分段连续，且从原点邻域内l(0)l(0)的x0出发的解都保持在|x0|el(t-t0)|x(t)|x0|e-l(t-t0)的范围内，就称为稳定平衡点。用引推得(可用Bellman-Gronwall引理推得)非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院112012/4/12李亚普诺夫意义下的稳定性()()()00000,0,0ttttxtxt使得?一致稳定的渐近稳定性()()000,局部?渐近稳定性?一致渐近稳定性全局渐近稳定性局部?全局渐近稳定性?全局一致渐近稳定性?指数稳定性（局部）非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院122012/4/12非线性系统稳定性意义（表示隐含）非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院132012/4/12非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院142012/4/12李亚普诺夫第二方法的本质?定性的方法?寻求李亚普诺夫函数，构成（V，x）这样的函数对，控制x的积分轨线，即系统状态的动向?具体做法：通过一个正定函数及该函数沿着系统解的导数符号来判断系统解的性态着系统解的导数符号来判断系统解的性态或稳定性能。非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院152012/4/12能量函数的界定?K类及KR类函数一个由正实数平面向正实数平?K类及KR类函数：个由正实数平面向正实数平面映射的函数，如果它连续、严格递增且，称为是K类函数(记为)。如果()K()00()且，称为是 类函数(记为)如果再随自变量的增大而趋向于无穷，则称函数为KR类函数。()()()?正定函数非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院162012/4/12Lyapunov稳定性定理V（x,t）的条件V(x,t)的条件结论()l.p.d.f.0(局部成立)稳定l.p.d.f.且具有无限小上界0(局部成立)一致稳定限小上界l.p.d.f.且具有无限小上界l.p.d.f.一致渐近稳定限小上界p.d.f.且具有无限小上界p.d.f.全局一致渐近稳定非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院172012/4/12限小上界定指数稳定性定理非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院182012/4/12Lyapunov定理的应用难点?要求-V0,或者为l.p.d.f?讨论系统稳定性必须知道系统平衡点LaSalle：Lyapunov能量函数?能量函数?Birkhoff极限集极限集非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院192012/4/12LaSalle不变性原理基本定义?极限集解的极限的全体解的极限的全体无穷大、形成轨道、孤立点无穷大、形成轨道、孤立点非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院202012/4/12极限集的重要结论?不变集不变集?P1 如果(.,x0,t0)有界，则它的极限集是紧集且当?时(0 0)趋于它的紧集，且当t?时,(t,x0,t0)趋于它的极限集。P2 如果系统(3 1)是自治的集合S是其任?P2 如果系统(3.1)是自治的，集合S是其任何解的极限集，则S是不变的。非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院212012/4/12拉萨尔不变性原理拉萨尔不变性原理自治系统()()）（其中3.1 0,00=tRxxtxtxfxn&?拉萨尔不变性原理：自治系统()是有界的是连续可微的，集合设VRRRVnn:()()中最大的不变集为令为。定义且对所有的是有界的，SVxcxVRxccnc0,:=&()()。必趋于时，当则对任何的中最大的不变集。为令MxttxSMxVxScc0,0:00=()()下的解所组成的集合。在约束本质是最大不变集cxxfxxV=&0M非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院222012/4/12拉萨尔渐近稳定性定理则平衡仅包含中定义的集合如果不变性原理为及，设0LaSalle:=xSSRRVcn意味着是渐近稳定的。点，则平衡仅包含中定义的集合。如果00=xxS意味着()=下的解在约束xxV&0()00()=下的解在约束cxxfx&()00,0 xt非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院232012/4/12拉萨尔全局渐近稳定性定理对所有的，且是一个设0.:VfdpRRVn&()是衡点以外的非平凡解，则平不包含都成立。如果集合000:=xxxVRxSRxnn&全局渐近稳定的。是衡点以外的非平凡解则平不含非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院242012/4/12周期系统的拉萨尔不变性原理()()。）是周期的，也即假设系统（RxtTtxftxfn+=,3.1()()()()，。定义的具有周期为是一个对而ttxVRxSfdpTttxVffn=0,0,:.,&()()如果，RxttxVttxVRxSn00 0,0,:&()渐近稳定的），则原点是全局（一致中最大的不变集是原点且SRxttxV,0,0,渐近稳定的。非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院252012/4/12拉萨尔一般不变性原理()类函数是一致的设存在连续的对是局部的球域里对在一个半径为的向量场假设式KLipschitz,)1.3(txrtxf()()()()()()()()满足使得类函数是致的。设存在连续的，对是局部,KLipschitz2121VVxtxVxtxVt()()()()()()()()()()。有界且，解则对所有使得及非正定函数00,lim1120=+=txxrtxxtxfxVtVtxVx&()()()()()()有界且解则对所有lim120t()0:=xBxE()0:=xBxEr非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院262012/4/12不稳定定理?不稳定平衡点?不稳定平衡点?不稳定定理非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院272012/4/12Chetaev不稳定定理非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院282012/4/12线性系统及其扰动系统的稳定性?线性系统稳定性判断问题()()()()0000)19.3(,xtttxxtxxtAx=&()()00,xtttx()0，使得上式的对称解满足P0存在一个使得(A,C)为能观对的矩阵CRnm,使(),得李亚普诺夫方程 ATP+PA+CTC=0存在唯一的对称解P0。非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院312012/4/12扰动系统的稳定性?对于具有微小扰动的系统()()()()0,litxgA&可以按照其线性部分的稳定性来判断其稳定性。扰动系统的稳定性()()()()0,suplim ,0000=+=xgxtxtxgxtAxtx&?扰动系统的稳定性()满足下列条件有界且非线性扰动定的，）的零解是一致渐近稳如果线性时变系统（3.19tA()满足下列条件000,suplim=xtxgtx()。系统的零解是不稳定的上，则此时非线性扰动特征根在个为定常矩阵且至少有一果是局部渐近稳定的。如则其扰动系统的零解也0CtA非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院322012/4/12