集合及其运算.docx

1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)

真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)

集合相等
集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集
A＝B

3.集合的运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形

符号
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．
(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)
(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　×　)
(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　√　)
(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　√　)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　×　)
(6)含有n个元素的集合有2n个真子集．(　×　)

1．(2015·四川)设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B等于(　　)
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}
C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
答案　A
解析　借助数轴知A∪B＝{x|－1＜x＜3}．
2．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于(　　)
A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}
C．{0,1} D．{－1,0}
答案　A
解析　因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A.
3．(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N等于 (　　)
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
答案　A
解析　由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]，故选A.
4．(教材改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________.
答案　{x|x≤2或x≥10}
解析　∵A∪B＝{x|2<x<10}，
∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
5．已知集合A＝{(x，y)| x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．
答案　2
解析　集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素．

题型一　集合的含义
例1　(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3 C．5 D．9
(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
答案　(1)C　(2)－
解析　(1)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时， x－y＝1；
当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时， x－y＝－1；
当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时， x－y＝1；
当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．
(2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时， m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.
思维升华　(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
　(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.
答案　(1)B　(2)2
解析　(1)因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4时，a＝1,2,3，此时x＝5,6,7.
当b＝5时，a＝1,2,3，此时x＝6,7,8.
所以根据集合元素的互异性可知，x＝5,6,7,8.
即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．
(2)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，
所以a＋b＝0，得＝－1，
所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
题型二　集合间的基本关系
例2　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x|x2－2 017x＋2 016<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．
答案　(1)D　(2)[2 016，＋∞)
解析　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}．
∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．
(2)由x2－2 017x＋2 016<0，解得1<x<2 016，
故A＝{x|1<x<2 016}，又B＝{x|x<a}，A⊆B如图所示

得a≥2 016.
思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
　(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．A⊆B D．B⊆A
(2)已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为(　　)
A．2 B．－1
C．－1或2 D．2或
答案　(1)D　(2)A
解析　(1)A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A.
(2)由题意，若x∈A，则解得x＝2.由A⊆B，得x∈B，所以m＝2.故选A.
题型三　集合的基本运算
命题点1　集合的运算
例3　(1)设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于(　　)
A．{1,4} B．{1,5}
C．{2,5} D．{2,4}
(2)已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{x|0<log2x<2}，则∁R(A∩B)是(　　)
A．{x|2<x<4} B．{x|x≥2}
C．{x|x≤2或x≥4} D．{x|x<2或x≥4}
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)由题意可知U＝{1,2,3,4,5}，
A∪B＝{1,3,5}，
所以∁U(A∪B)＝{2,4}．故选D.
(2)∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|1<x<4}，∴A∩B＝{x|x≥2}∩{x|1<x<4}＝{x|2≤x<4}，∁R(A∩B)＝{x|x<2或x≥4}．故选D.
命题点2　利用集合运算求参数
例4　(1)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(　　)
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3
(2)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a≥1
C．a≥0 D．a≤0
答案　(1)B　(2)(B)
解析　(1)由A∪B＝A得B⊆A，有m∈A，所以有m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1，故选B.
(2)由A∩B＝∅可得，0∉B,1∉B，则a≥1，故选B.
思维升华　(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
　(1)(2015·天津)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)等于(　　)
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
(2)已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|a≤x≤b}，若A∪B＝R，A∩B＝{x|2<x≤4}，则＝_______________.
答案　(1)A　(2)－4
解析　(1)由题意知，∁UB＝{2,5,8}，
则A∩(∁UB)＝{2,5}，选A.
(2)由A＝{x|x>2或x<－1}，A∪B＝R，A∩B＝{x|2<x≤4}，可得B＝{x|－1≤x≤4}，则a＝－1，b＝4，
故＝－4.
题型四　集合的新定义问题
例5　若集合A具有以下性质：
(Ⅰ)0∈A,1∈A；
(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　)
(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”；
(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.
思维升华　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
　(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为(　　)
A．77 B．49 C．45 D．30
答案　C
解析　如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.

1．遗忘空集致误

典例　设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________．
易错分析　集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的实数根所构成的集合，由B⊆A，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B＝∅的情况，导致漏解．
解析　因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得
解得a＝1；
②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.
答案　(－∞，－1]∪{1}
温馨提醒　(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考生很容易忽视A＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论．

[方法与技巧]
1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．
[失误与防范]
1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)．对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．下列集合中表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
答案　B
解析　选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．
2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　C
解析　∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8.
∴B中共有6个元素．
3．(2015·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
答案　D
解析　A＝{…，5,8,11,14,17，…}，B＝{6,8,10,12,14}，集合A∩B中有两个元素．
4．(2015·课标全国Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B等于(　　)
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
答案　A
解析　由A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B＝{－1,0}，故选A.
5．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)等于(　　)
A．{3} B．{4} C．{3,4} D．∅
答案　A
解析　∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．
又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}，
又∁UB＝{3,4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．
6．设集合A＝{3，x2}，B＝{x，y}，若A∩B＝{2}，则y的值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．3
答案　B
解析　由A∩B＝{2}得x2＝2，∴x＝±，故y＝2.
7．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　)
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
答案　B
解析　∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，
∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N的子集共有22＝4个．
8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案　B
解析　用数轴表示集合A，B(如图)

由A⊆B得a≥0.
9．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，1]
解析　∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.
10．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，则m的可能取值组成的集合为________．
答案　{0,1，－}
解析　A＝{－1,2}，B＝∅时，m＝0；B＝{－1}时，m＝1；B＝{2}时，m＝－.
11．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
答案　{(0,1)，(－1,2)}
解析　A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
12．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
答案　－1　1
解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，
由A∩B＝(－1，n)可知m<1，
则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.

B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
13．已知集合A＝{x|x≤1}．若B⊆A，则集合B可以是(　　)
A．{x|x≤2} B．{x|x>1}
C．{x|x≤0} D．R
答案　C
解析　因为B⊆A，且A＝{x|x≤1}，所以选项中只有C满足题意．故选C.
14．全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若∁UB⊆A，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　D
解析　A＝{x|x2－3x＋2>0}＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，B＝{x|x≤a}，则∁UB＝(a，＋∞)．∵(a，＋∞)⊆(－∞，1)∪(2，＋∞)，∴a≥2.故选D.
15．定义在R上的运算：xy＝.若关于x的不等式x(x＋3－a)>0的解集为A，B＝[－3,3]，若A∩B＝∅，则a的取值范围是________．
答案　[4，＋∞)
解析　x(x＋3－a)>0⇔<0.由A∩B＝∅得，当x∈[－3,3]时，≥0或x＋1－a＝0，由于在[－3,3]上，x－5<0，所以x＋1－a≤0，即a≥x＋1在[－3，3]上恒成立，所以a≥4.
16．已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝，则∁UA＝________.
答案　{0}
解析　因为A＝，
当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；
n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；
n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；
n≤－2时，x∉Z.
故A＝{－2,2,1，－1}，
又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁UA＝{0}．
17．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a<x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，－1]
解析　因为C∩A＝C，所以C⊆A.
①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－；
②当C≠∅时，要使C⊆A，则
解得－<a≤－1.
综上，a的取值范围是(－∞，－1]．
18．已知集合A＝{(x，y)|y＝a}，B＝{(x，y)|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________．
答案　(1，＋∞)
解析　由于集合B中的元素是指数函数y＝bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝bx＋1(b>0，b≠1)与y＝a的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．