中档大题保分练(六).doc

中档大题保分练(六)
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1． 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的
倾斜角为，|OB|＝2，设∠AOB＝θ，θ∈.
(1)用θ表示点B的坐标及|OA|；
(2)若tan θ＝－，求·的值．
解　(1)由题意，可得点B的坐标为(2cos θ，2sin θ)．
在△ABO中，|OB|＝2，∠BAO＝，∠B＝π－－θ＝－θ.
由正弦定理，得＝，
即|OA|＝2sin.
(2)由(1)，得·＝||·||·cos θ
＝4sincos θ.
因为tan θ＝－，θ∈，
所以sin θ＝，cos θ＝－.
又sin＝sin cos θ－cos sin θ＝×－×＝，
故·＝4××＝－.
2． 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1
是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC.
(1)求证：MB⊥平面ABC；
(2)求二面角A1－BB1－C的余弦值．
(1)证明　∵侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，
∴△A1BB1为正三角形，
又∵点M为A1B1的中点，∴BM⊥A1B1，
∵AB∥A1B1，∴BM⊥AB，由已知MB⊥AC，
又AC∩AB＝A，∴MB⊥平面ABC.
(2)解　如图建立空间直角坐标系，
设菱形ABB1A1边长为2，
得B1(0，－1，)，A(0,2,0)，C(，1,0)，A1(0,1，)．
则＝(0,1，)，＝(0,2,0)，
＝(0，－1，)，＝(，1,0)．
设面ABB1A1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
由n1⊥，n1⊥1得，
令x1＝1，得n1＝(1,0,0)．
设面BB1C1C的法向量n2＝(x2，y2，z2)，
由n2⊥，n2⊥得
令y2＝，得n2＝(－1，，1)，
得cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
又二面角A1－BB1－C为锐角，
所以所求二面角的余弦值为.
3． 某班体育课进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：每位同学有4次投篮机会，其中一次在三分线外投篮，投中得3分，不中不得分，其余3次在罚球线外投篮，每投中一次得1分，不中不得分，已知某位同学在三分线外投篮命中的概率为，且在比赛中得6分的概率为.
(1)求该同学在罚球线外投篮命中的概率；
(2)求该同学参加比赛所得分数X的分布列及数学期望．
解　(1)设该同学在罚球线外投篮命中的概率为p，在比赛中得6分需4次投篮全中，则·p3＝，
解得p＝.
(2)X的可能取值有0,1,2,3,4,5,6，
则P(X＝0)＝·3＝； P(X＝1)＝·C··2＝；
P(X＝2)＝·C·2·＝；
P(X＝3)＝·3＋·3＝；
P(X＝4)＝·C··2＝；
P(X＝5)＝·C·2·＝；
P(X＝6)＝×3＝.
所以所求分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
4． 已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值．
解　(1)设等比数列{an}的公比为q.
由得
由①，得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.
当q＝1时，不合题意舍去；
当q＝2时，代入②，得a1＝2.则an＝2·2n－1＝2n.
(2)因为bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n，
所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝－＝2n＋1－2－n－n2.
因为Sn－2n＋1＋47<0，
所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，
即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.
又n∈N*，
故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.