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变化角度思考问题
武汉六中 姬义波
有些问题，如果从正面思考往往绞尽心智也寸步难行，若遇到这种情况时，不妨改变一下思维习惯，从不同的方向去考虑问题，以此冲破思维定势的束缚，把我们的解题思路导向光明。下面举例说明改变思考角度的几种常见方法。
一、直接求解有思维困难时，考虑间接求解
[例1] 已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD，H为垂足，∠BAD与∠BCD的角平分线都通过BD上的G点，且AB≠AD，试证：⊿ABD≌⊿CBD。
分析：此题直接证明难于找到突破口，考虑角平分线此桥梁，则容易找到解题途径。
证明：∵AC⊥BD ∴⊿ABH、⊿ADH、⊿BCH、⊿CDH皆为Rt⊿
∴AB2-AD2=（BH2+AH2）-（AH2+DH2）
=BH2-DH2=（BH2+CH2）-（DH2+CH2）
=BC2-CD2 ①
∵GA与GC分别是∠BAD与∠BCD的角平分线，
∴ ②
把②代入①得：，∴AD=CD
再由②得AB=BC，∴⊿ABD≌⊿CBD
[例2] 已知是方程的一个根，求的个位数字。
分析：同样直接解无法突破，而观察，不难看到解题途径
解：∵是方程的一个根
∴，而（在实数范围内），则
∴，，故的个位数字是7
二、顺推有困难时，考虑逆推
[例3] 设100个实数满足，并且已知，求的值。
分析：若将解出来很是繁琐，如果先考虑为一整体，再据理倒推，则容易得解。
解：由得
当时，，当时，
当时，，当时，， ……
当时，，当时，
综上加得：
则
而当时，
故
[例4] 把一堆西瓜的一半又半个分给第一人，再把剩下的一半又半个分给第二人，……，把每一次所剩西瓜的一半又半个分给下一个人，照此下去分给第9人后恰好分完。问这堆西瓜至少有多少个？
分析：因为第9次分完后就知道没有剩余了，而题意中又有一种递推关系，所以倒着想把问题给简化了。
解：设这堆西瓜至少的个，分给第个人后剩下的西瓜为，则

由于分给第9人后恰好分完，则，于是可推知

即这堆西瓜至少有511个。
三、探求可能性有困难时，探求不可能性
[例5] 已知方程和中，至少有一个方程有实数根，求的取值范围。

分析：如果逐一讨论每个方程较为繁杂，若从反面来看，就只研究两个方程中均无实根的情况，显然简单得多。
解：若两个方程均无实根，则
，那么则此不等式组无解集
说明找不到这样的实根使得两个方程均无实根
故当为任意实数时上述两个方程中至少有一个方程有实根
四、用常规方法难于求解时，考虑反常规方法
[例6] 设，
求的值。
分析：常规方法用杨辉三角公式展开后，再把系数相加，此种方法既繁又不实用，若采用赋值法则简单明白。
解：令，则
[例7] 若，
求证：
分析：常规方法难以寻找突破口，若把看成单位长为1的正方形内部一点，问题就迎刃而解了。
解：如图，在坐标系中构造正方形OABC，OA=1，
而位于正方形内,而正方形四个顶点的坐标为：
，则

由于三角形任两边之和大于第三边，故P点为AC与OB的交点时，
PO+PA+PB+PC的值最小，即
故

五、在小范围内寻解有困难时，考虑扩大范围
[例8] 设为正实数，且，证明：
分析：用代数方法解将很困难，注意到已知中的，则考虑用三角函数来破解。
证明：令，则

即
[例9] 试确定的整数部分的个位数字是几？
分析：直接判定无良方时，考虑的特性，再构造一个等式，
运用二项式定理推理则易得。
解：令，则由二项式展开化简得：
（M为自然数），
又因，所以，
那么的整整部分为，而的个位数字是零，
故的个位数字是9
总之，思考问题不能一味循规蹈矩，死搬书本，应该把思维的发散，延伸向更大的空间，且敢于打破束缚思路的框框，把代数、几何与三角诸方法综合，采用蟹状星云式的思维方式去探索，只有这样才能开拓思路，提高解题能力。

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