圆中“漏解”问题集锦.doc

《圆》中“漏解”问题集锦
海安南屏中学 陈伯平
圆这一章的计算比较多，不少的学生在做这部分的题目时，由于考虑不周全经常会出现“漏解”的现象，现对常见的“漏解”题剖析如下.
一、由点的位置不确定引起的
例1、⊙O所在的平面内一点P到⊙O的最大距离为5，最小距离为3，则⊙O的半径是__________.
【不完善的答案】4.
【剖析】题中的点P和⊙O的位置关系应有两种情况:P在⊙O的内部和P在⊙O的外部.造成错误的原因是只考虑了P在⊙O的内部，忽视了分情况讨论.
【正确的答案】4或1.
二、由弦的位置不确定引起的
例2、⊙O的半径为5，弦AB∥弦CD，AB=8，CD=6，求AB、CD之间的距离.
【不完善的答案】7.
【剖析】由圆的轴对称性可知两弦既可以位于圆心的同侧也可以位于圆心的两侧.造成错误的原因是只考虑了两弦位于圆心的两侧.
【正确的答案】7或1.
类似地，还有下面这种类型的题目：
⊙O的半径为1，弦AB=,弦AC=,求∠BAC.
【正确的答案】15°或75°.
三、由角的顶点位置不确定引起的
例3、⊙O的半径为6，弦AB=6，则弦AB所对的圆周角的度数__________.
【不完善的答案】30°.
【剖析】弦AB将圆分成两条弧，弦AB所对的圆周角的顶点既可以在优弧上也可在劣弧上.造成错误的原因是只考虑了弦AB所对的圆周角的顶点在优弧上.
【正确的答案】30°或150°.
四、由三角形的外心位置不确定引起的
例4、⊿ABC中,AB=AC,BC=8, ⊙O是⊿ABC的外接圆，⊙O的半径为5，求⊿ABC中BC边上的高.
【不完善的答案】8.
【剖析】⊿ABC的外接圆的圆心既可以在三角形的内部也可在三角形的外部.造成错误的原因是思维定势，受“平时画等腰三角形都习惯上画成锐角三角形”的影响，忽视了等腰三角形可以是钝角三角形，圆心也可以在三角形的外部这种情况.
【正确的答案】8或2.
五、由两圆的位置不确定引起的
例5、⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PO=6，⊙P与⊙O相切,求⊙P的半径.
【不完善的答案】1.
【剖析】两圆相切应分成外切和内切两种情况.造成错误的原因是只考虑了两圆相外切这一种情况.
【正确的答案】1或11.
例6、⊙O的半径为5，P为⊙O内一点，PO=3，⊙P与⊙O相切,求⊙P的半径.
【不完善的答案】2.
【剖析】此题P为⊙O内一点, ⊙P与⊙O不可能相外切,因此只有内切这一种情况.但这里还应该分的是⊙P在⊙O的内部与⊙O在⊙P的内部两种情况. 造成错误的原因是只考虑了⊙P在⊙O的内部.
【正确的答案】2或8.
例7、⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为4，两圆的公共弦AB=6，求圆心距O1 O2的长.
【不完善的答案】4+.
【剖析】两圆相交,两圆的圆心既可以在公共弦的同侧也可在公共弦的异侧. 造成错误的原因是只考虑了两圆的圆心在公共弦的异侧.
【正确的答案】4+或4－.
六、对圆和线段只有一个公共点理解不到位引起的
例8、直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=3，BC=4, ⊙C与斜边AB只有一个公共点，则⊙C的半径满足的条件——.
【不完善的答案】⊙C的半径为2.4.
【剖析】圆和线段AB只有一个公共点有两种情况：一是圆和线段相切；二是圆和线段相交且只有一个交点.造成错误的原因是只考虑了圆和线段相切这一种情况.
【正确的答案】⊙C的半径为2.4或大于3而小于等于4.
七、忽视垂径定理推论中的条件引起的
例9、如图，⊙O的直径BC=4，过点C作⊙O的切线m，D是直线m上的一点，且DC=2，A是线段BO上一动点，连结AD交⊙O于点G，过点A作AD的垂线交直线m于点F，交⊙O于点H.连结GH交BC于点P.若∠AGH=∠AFD，求⊿AGH的面积.
【不完善的答案】2.
【剖析】此题涉及到的知识点有垂径定理的推论：平分弦（弦非直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧.由∠AGH=∠AFD，再由∠DAC=∠AFD可得∠AGH=∠PAG，因为∠GAH=90°所以∠PAH=∠PHA，进一步可得PA=PG，PA=PH.所以P为GH的中点。当GH不是直径时有BC⊥GH， BC⊥DC，易得∠ADC=∠AGH =∠AFD，⊿ADF、⊿ADC为等腰直角三角形，CA=2,A与O重合，从而求得⊿AGH的面积为2.当GH是直径时，又因为∠GAH=90°所以A与B重合，由DC=2 CA=4可以求出CF=8，得DF=10，再由⊿AGH∽⊿AFD，面积比等于相似比的平方，从而求得⊿AGH的面积为.造成错误的原因是只考虑了GH不是直径这一种情况.
【正确的答案】2或.
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