智爱高中数学 放缩法解题技巧详解.pdf

智爱高中数擘放缩技巧.-.1 m 2 时，求证：log“(一l)log“(+l)a;+n【巧证】：.772.,.log(-l)0,log/n+1)0将分子或分母放大(或缩小)利用基本不等式，如：I og3-lg5(lg3+lg5)2=lgV15 lgV16=lg4;-2利用常用结论：I、Jk+1 -Jk=-j=产；VT+1+#2y/k1 1 111 111/WII、-(程度大)k2 k(k-l)k-k k2 Z(Z+1)k k+1Il k 与一一二-=-(.);(程度小)k2 k2(k 1)(k+1)2 k-k+1.若a,b,c,c/gR,求证:i _+_+-+-1-1-1-=1a+b+c+d a+c+a c+d+a+b d+a+b+c a b c d m-+-+-+-=2a+b a+b c+d d+cl o gn(n-l)l o g(n+l)l o g“(l)+l o g“(+l)=l o gn(n2-1)J 2 时,logM(n-l)logw(n+l)l3.求证：1+3+1+-I2 22 32【巧证：-4 n.111F+F+F+H-5 0,y 0,a=+,b=i,求证:a b 1+%+y 1+x 1+y巧练一：【巧证】:x+y x y x y.-=-+-+1+%+y 1+%+y 1+%+y 1+x 1+y巧练二:求证:Ig 9*l g 11 1巧练二：【巧证】：I g9gliwg9；lgll)=(券=1巧练三:log(n-l)log(rt+l)1-,-12 -|2巧练三：【巧证】：l)l o g.(+l)W log；二D b c,贝ij d-F-0a-b b-c ca巧练四：【巧证】：+1 2j f-?-Y=一a-b b-c (a-b)(b-c)(q-b)+(b-c)J a-c巧练五：-+(neR+,n2)n n+l n+2 n巧练五：【巧证】：左边,+4+3+4=+上y=i n n n n n n-1,1 1 1 i2 n+1 n+2 2n巧练六：【巧证】：二-V中式一力12H n+1因为1 1 _ 4 1n 4所以7_L4记 1+2(-3 5奇巧积累:1=4 0,且#+加=M,求证：anJfbn3,/?)巧练七：【巧证】：(b2=1,又 a,b,c 0,证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充 满思考性和挑战性，能全面而综合地考查知识的潜能与后继能力，因而成为压轴题 及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观 察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技 巧主要有以下几种：一、裂项放缩1.求的值；求证:二.k=i 4k 1 k=i k 3解析：(1)因为 2=?=二，4n2-1(2n-1)(2/?+1)2 1 2+l所以 3=1-=2占4 6-1 2+1 2/1+1i+H3 3CC；(n+l)n(n-1)n(n-l)n(n+1)小 1 n 1 1 1 1 1/C-=-一 2)nr rn-r)nr r r(r-1)r-1 r(1+与 n12x1 3x2 n(n-l)22(2-1)2W-1 2(7)2(7n+1-Vn)2(Vh-y/n-l)(8)M_11_ 1_2/2+1 2n+3)T z+1)2T(2+3)2!/口_L.!=_L|J_ 攵(+l-攵)l +l-攵(10)J 1(+1)!n!(n+1)!n+1(九+1+攵)攵+1+攵I J2j+1 J 2n-1)=yjn2a/2V 27i+1+J2几-122i(2“-1-(2-1)(2-1)(2-1)(2-2)-(2-1)(2，1-1)-(12)=(J J 7?yln-n2-7(n-l)(n+1)+J J+l-J-1+1+yin-3n 3(2-1)2 n 2-1Z n!二3 2-3(1 4)k+2=1_1k+(k+1)!+(A+2)!一(+1)!一(女+2)!,2)(3)先运用分式放缩法证明出 1,3,5.(2,1 1)2-4-6.2/212n+l(15)历T-777T 产_/2 i+jJj 一(x#TT+#+7712.证明：(1+1)(1 H)(1 H),(1 H-)N3fl+1.4 7 3n-2解析：运用两次次分式放缩：2 5 8 3/1-1 3 6 9 3T,4 7 3n-2 2*5 8.3/2-1(加1)再证再结合 2（而-&）=1 厂，所以容易经过裂项得到2（J+1 1）1 H尸 H尸+HV2 V3 y/n3-6 V.3n不等式知道这是显然成立的，所以吟+力.4技罚7相乘，可以得到:3.求证：6 1+1 1+1 5-S 1 H-1 1-H 25.3n-l-25 83一23n-1(3+1)所以有 a+DU+_L)(i+_L)(1+_1)收ZT.4 7 3n-21 1-6 2(2-1)(2)所以k=l K yJ1-F+512n-l12/1+11+2 353(2)求证:J_+J_+J_+.+_ J_ _ J_4 16 36 4n2 2 4求证:J_+111+135+135.(21)1+-+-+-=1-=-4 9 n 2x3 3x4 n(n+1)n+1 n+1（4）求证：2（标-1）6，当”=1 时,6_ j+J_+J-1_ 1,7+1(n+l)(2n+l)(7?+l)(2n+1)4 9 n2当=2时，6 (In-1)(2+1)-2k2n-l-2n+J所以 S 1.1 J 1 A.1Z1 1、金一 1)2 2 3 2+1 2 3 2n-4.设函数/(x)=x-xlnx.数列叫满足0卬b-4 16 36 4/72 4 22 z?2 4 解析:由数学归纳法可以证明4是递增数列，故存在正整数,及，使金,则ak+i z b,否则若 am b(m k)，则由 0%am b 1 知k ai nain 4 In。0,=%In%=q-金 hw,i=i因为 amnam ai+k a nb a+(h-=bm=l5.已知上mcN+，%1,S,”=1+2+3+求证：+i(加+1)5“+nxnm+i=nm+-(n-l)m+1+(n-l)m+l-(n-2)m+,+1+J。=次川(4 I)1 k=所以要证 nm+i(w+V)Sn (n+l)m+1-1只要证：固(k-1)吁,(;+应k”(+If+l-l=(n+l)ra+1-n,r+l+nm+l-(n-l)m+l+2川1+=(%+l)m+l-火=1=1 k=故只要证,+1-伏-On+1优父 伍+1严-Y+I,即等价于k=l k=l k=lkm+i m+l)km (k+l)m+l-r,即等价于 i+m+1(i+_Ly+i,i _ +!(i严而正是成立的，所以原命题成立.6.已知%=4-2，7；=-，求证速+T2+T3+1 V2(VnT7-l)(n e/V*)证明：1 1-,1-1-亚ylx2nx2n+i(21)(2:+1)#4;?一1 日品 2匹因为 2卑厂(而1-历 ylX2nX2n+i 2，+l_/1+/1+/:收(J.+1-l)(n e N*)所以 yjX2，X3 yX4-5 lX2nX2n+二、函数放缩8.求证：l+l n 3+l n 4+l n T 3，,_5n+6.2 3 4 3 6解析洗构造函数有ExVln小0，X X从而吟口吧+，.+吧3“一1_(3+，)2 3 4 3 2 3 3”所以 l n 2 In3 In4 l n 3 1 5n 5+6 厂八+2,也+史+-+叱22一”1(心2)2a 3a na 2(+1)解析:构造函数 皿彳导到犷m2，再进行裂项鱼 1_L e*2,-3所以有l in2,-l n 3-l nn-l n(n-1)1-l n(n+l)-l n n，相加后可2 3 n n+1函数构造形式：l n x x-l,l n na 2)-1-F H-l n(/2+1)1 H-F,H 2 3 n+1 2 n解析：提示/IX 1 +1 如小 l n(+1)=In-n n-12 n+1,n i c=In-+In-+In 21 n n-函数构造形式:In x 1 x3解析:l n（+D+1 2-心+）+，叠加之后就可以得到答案函数构造形式:皿川）2-2-。）=匕3工-。）（加强命题）X+1 X X+113.证明:均也+吧+皿 1),求导，可以得到：fx)=-1=三x-1 x-1当然本题的证明还可以运用积分放缩 令 f x)0有 1c x 2,令 f(x)2,如图,取函数“X 1,J I 町X首先:Sg 自从而F=l n xl；L=l n-n-iX n n-iX取，=1有,n所以/(x)4 f(2)=0,所以l n(x-l)(九-2,令x=*+l 有,l n 2 n2-l所以巫 心，所以也+也+则+.+皿 l)n+1 2 3 4 5 +1 414.已知,j 1、31证明a 1解析：J=（l+(+1)+(1+!一+).2(+1)2以得到：LL+_L j L 从而有1T.j j 1=In x l _,=In n-l n(n-i)上 x n-i取 i=1 有,_J_ in -l n(-1)，n-1所以有)1+L+L所以综上有LL+j n(+l)l+L+1 2 n 2 3+1 2 n11.求证：。+小。+-a+e和(1+(得)。+表)(五.然后两边取自然对数，可以得到In a,l n(l h-1-)+In a(+l)2然后运用 l n（l+x）x 和裂项可以得到答案）放缩思路：J*”=in j 4ln(l+六+?)+*=1吟+J干目 1 1-1 n-1 1 _(6尸 J JZ(l n*-l n)4Z(-：+f)=l n%-l n q 41+-=2-2.i=i=1/+/2 n 1-，2解析:构造函数后即可证明即 In an-In a,an e2.注:题目所给条件ma+x)”(-1)(22)来放缩：an+.an+l+1 (1+-)(a+l)nn+l n(n-l)n(n-l)+，n(n-l)ln(%+i+l)-ln(a+l)ln(l+1)1.n(n-)n(n-)1 1=Z ln(a,+|+l)-ln(+1)Z-ln(a,+1)-ln(a2+1)1-1 SP l n(a“+1)l+l n 3n a“3e-l /(X)在x0上恒成立.(I)求证：函数,上是增函数；8。)=翌在(0,2)X(II)当X 0,尤20时,证明：/(再)+/(2)f(X+%2)；(山)已知不等式n(l+x)-1班=0时恒成立，求证：-l n 22+r-l n 32+-l n 42+-l n(/?+1)2-(n g22 32 42(n+l)2 2(+1)(+2)解析：(l)g，(x)=尸 0，所以函数g(x)=也在(0,+o o)上是增函数 X X相加后可以得到：/(七)+/(2)+/(巧)/区+%2+X.)所以 x Inx+x2 In x2+x3 l n x3 H-1-xn Inxn (xx+x2 4+xn)n(xx+9+)71 x=-1有-f-Vln22+4-ln32+-ln42+!rln(H+l)21-(”eN).22 32 42(n+l)2 2(+1)(”+2)(方法二)ln(+l/(n+l)2 ln(W+1)2 ln4=ln(+l)(+2)(+l)(+2)所以与IS+4-ln32+-41n42+?-ln(n+l)2 ln4f-22 32 42(n+l)2(21”ln4n+2j 2(+2)又ln4 l，所以，n+lln22+4-ln32+4-ln42+5-ln(n+l)2 32 42(n+l)2n2(+l)(+2)(neN).16.已知函数/(%)=Hn x.若a 0,b 0,证明:f(a)+(a+b)l n 2 N/(a+b)-f(b).因为所强在皿上是增函数，所以 解析:设函数g(x)=/(x)+/(k-x),(kQ)/UI)/Ui)rL X j xx+x2+x2*/Ui+12)g /a+a)=八 X2)/区+)x2 Xj+x2+x2两式相加后可以得到/(1)+/(12)f(xi+x2);f(x)=xlnx,/.g(x)=x In x+(2-x)ln(k-x),：.0 x 0,则有 1=-0=-x.k-x k x 2/OI)/(再)4阳+“2+.+与f(xl+x2+X)屈数小吟)上单调递增，在畤上单调递减也+七,)=/()-/区+乙)x2%1+x2+xrt 冗+/+x”，g(x)的最小值为g(&),即总有g(x)之g(g).3 J(+Z)nx.)f(k)-kn2,fM+f(k-x)f(k)-kln2.P x=a.k 一 x=A,贝限=a+4：.f(a)+f(b)f(a+b)-(a+b)ln2.-.f(a)+(a+b)ln2 fa+b)f(b).三、分式放缩不等式：2*Sa0,根0)和2处竺伍。0)a a+m a a-m记忆口诀小者小，大者大解释:看b若b小，则不等号是小于号，反之.17.不等式:(1+1)(1+1)(+1).(1+_!)J2+1 和3 5 2n-l(2 5 8 3n-1V 4 7 10 3+1 1 4 7 3n-2 U473n-2)25 T 3n-l-2-5 8,3n-l所以有 a+i)a+_L)a+L)(1+)4 7 3一2四、分类放缩19.求证：+、.+.,+，!2 3 2-1 2解析：1+工+，_|_2 312-11+)+(2+2)+.+2 4 4 25 23 23 23(_L+L.J)，+(1)2 2 2 2 2 2 2 220.在平面直角坐标系加y中，轴正半轴上的点列a与曲线),=岳(X0)上的也可以表示成为点列纥满足|04|=瓯|，直线A 纥在x轴上的截距为%.点乩的横坐标为2,4 6,-2n -jj-13 1-3-5.(2-1)(11-3-5.(2m 1)2,4-6.2n+1解析：利用假分数的一个性质”。+%人”“、可得-(。a 0,机 0)a a-m2 4 6 2 357 2+1 1 3 5 211 3 5 2n-l 2 4 6 2 2 4 6 2(,21)2 2+1 即(1+D(1+)(1+5+1.18.证明:(1+1)(1+1)(1+!).(1+-)V3+l.4 7 3h-2解析：运用两次次分式放缩:2 5 8 3n-l 3 6 9 3T-4-7 3n-2 25 83/?-1(加1)2 5 8 3n-l 4 7 10 3n+l(力口 2)T-4-7.3n-236 T.3ne N*.证明%4/4,eN*；(2)证明有 n0 e N*，使得对 Vn%都有 b21b3 1_ 4 J.+i。)由I。纥I 1得：商又直线”，在x轴上的截距为4满足(4-0)(辰-斗(0-|(-0)盘=1一:辰；2H“=”代0也+2=汽.q-j 向一 1-2nM 电 7+2+也+4相乘，可以得到:显然,对于 1 1.0，有a an+l 4,e N*n n+1伽+1)(+2)一2(+1)2=0,.”“上,i*+-!+-+1211=2,故当2时，7；七+1，21+1 2I+2 2k 2k 2 2因此，对任何常数A,设机是不小于A的最小正整数，则当22*2时，必有了独心+=加力-2故不存在常数/使7；0,表示的平面区域为,设仅内整数坐标点的个数为句.设 y 0,y l(keN)时，+“+泉=(+|+岛+/G2.X+22+-+2a-,=22 23 2k 2%”当2 2时,求证:工工，*!1 7+11-1 H-r H-乙-al a2 a3 ar 36所以，取0=24*2,对v。都有：（|用+（武卜+（|专”汽=2008故有13 +J用”2008成立。仇/*bn21.已知函数/（幻=/+法+c s i,c w A）,若/（X）的定义域为-1,01,0.若数列也J满足匕=&（*），记数列低的前项和为1，常数4使得对于任意正整数都有?:-。2 a3%36只要证因为C,1/1、/1 1 1、/Sr=1+-+(-+-)+(-+-+-+-)+(-2 3 4 5 6 7 8-i-1 j-2，一+1-2,_,+21+-I-2解析:首先求出 f(x)=x2+2x _ f(n)=n2+2n“3 3 n.七=4+4+什-+51+;+-+:3 44 2 5 6 7 88 2,值域也为一 问是否存在正五、23.24.=二+工（”_）=如11，所以原命题得证2 2 2 2 2 12 12迭代放缩_ X”+4 _ 已知K-f,求证:当”22时?卜-2口.2解析:通过迭代的方法得到卜_2设 工，然后相加就可以得到结论,一_ 1设q sin 1!,sin 2!,+包*求证:对任意的正整数A,若息/1恒有：15伏一S。|s”F+亍+n解析：,5,曰+-+T1sin(n 4-1)!+1 sin(n+2)!+sin(“+/)|_L+_L+.+_L2+人 n所以电一“42 n六、借助数列递推关系25.求证：1 1-3 1-3-5 1-3-5(2n-l)F-+-F H-2 2,4 2 4,6 2 4 6.2 7 2+21解析：设 13 5.(2-1)则 2n+l.,1 a=-J%口=-a n 2(m+l)a+l=2na+a 2-4.6.2n,+l 2(+1)n+1 从而a,=2(+l)a.+i-2a”,相加后就可以得到a+a,+%=2(+l)an+.-2q 2(+1)/1-1 (2+2)/1-1j2+3 j2+2所以 1 13 J3-5 1-3-5一(2n-l)r-r-+-+n-7 ZH-r Z-12 2-4 2-4-6 2-4-6.2n26.求证:_L+L1+.t351T2 2-4 2-4-6 2-4-6.2n解析：设“_l-3-5(2-1)则 U 一2-4-6.2n2n+r_.八 z_ 1、，从而%+】=三一R%=2(+1)+1%+=(2+1)+%2(+1)。+1=2(+1)+1口什1-(2+1)%,相加后就可以得到有 1 1 17a4 a5 am 8解析:容易得到=|_2-2+(_)叫，由于通项中含有(-1),很难直接放缩，考虑分项讨论：当九2 3 且为奇数时 1,1 3,1,1、3 2-2+2,-1an an+i 2 2,-2+1 2-1 2 22-3+2-2-2-13 2-2+2-=3 J_+J_(减项放缩)，于是2 22,1-3 2 2“2 2”t当相4 且加为偶数时 J_+J_+_l=J-+(J_+J_)+.+(L+，。4。5“4。5。6 血一 113,1 1 1 x 1 3 1 Z1 1、1 3 7 1(H-+H-)=1 -(1-)1=.2 2 23 24 2m-2 2 2 4 2W-4 2 8 8当根4且根为奇数时_L+_L+.+_L_L+J_+_L+_(添项放缩)。4 a5 am a4 a5 am m+1由知，+，+_L+，Z,由得证。4 a5 am 0 m+1 8八、线性规划型放缩29.设函数/=2x+l.若对一切”R,一 3qf(x)+b V3，求。-匕的最大值。x2+2 3 _a,+a?+a”=(2+1)47.3。(2+1),/J2几+1 1J2+1 2,c(、I、/,”、八(x+2)(x 1)i 1解析:由g)+/一D=2(炉+2)2 知(f(x)+5)(“l)-l”。即-广/(幻1由此再由/(x)的单调性可以知道/(%)的最小值为-g,最大值为127.若勺=1,%=+L求证:LL.-22(向_1)a a2%因此对一切xeH,-3 Wa f(x)+6 3的充要条件是，-3-a+b =an+2-an%+i所以就有 J_+J_+3+J_=J_+a“+i+%一的 _%2ylan+ian-a2=2j +1-2ax a2%为七、分类讨论28.已知数列为的前项和S,满足S“=2a.+(-证明：对任意的整数机 4,即4，匕满足约束条件a+。2-3a+b-32-a+b3,2由线性规划得，。一方的最大值为5.九、均值不等式放缩30.设 s“=Vb2+J23+1).求证(+i).(+2 n 2解析：此数列的通项为同而,a=.ky/k(k+l)k+；+l=k+；，,kSY(k+),乙 t=l A=l 2即(+l)n(n+1)n(n+1)2-2“2-+2 -2注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ldab 若放成疯讥后 5+1)2-2-根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，几=2,3等的各式及其变式公式均可供选用。31.已知函数八月=!，若 4，且/在0，1上的最小值为L求证:1+心2*fw=5 2/+/+/()+9r-解析 4V 1 1/(x)=T=l _Fl _77(xH0)n/+)(1_ 丁)1+4 1+4 22，2x2八 1、八 1、1 八 1 1、11+(1-)+(1-)=(1H-F-I-)n-：-.2x22 2x2 4 2 2-1 2+|232.已知 4,。为正数，且 LLj 试证：对每一个 eN*,(a+A)-a-Z/N22-2-a+b解析：由,+，=得。/?=。+匕，又(”+力(_1+J_)=2+0+%4，故,a b a b ba而(a+b=C：a +Cxnan-b+C：a b+C,令f()=(a+b)-屋b,贝+C：a f+，/-,因为C：=C,：T,倒序相加得2于(n)=C：(an-b+abT)+c：(a-rbr+arbn-r)+C(abn-+an-b),_ n而+=.=”+arbn-r=-=abn-+an-xb24anbn 2-4=2n+I,则 2/(n)=(C：+C；+C：t)(arb-r+an-rbr)=(2n-2Xarbn-r+a-rbr)(2-2)-2n+l,所以八)*(2*-2)2,即对每一个 w N*,(a+b)n-an-bn 22n-2n+i.n-33.求证C：+C；+C,：+C；.2亍(l,eN)解析：不等式左G；+C；+G；+。；=n-2-1=1+2+22+.+2T.八2.,原结论成立.n34.已知/(%)=ex+ex，求证:/(l)./(2)./(h)(en+l+1户解析:/(x,)-/(x2)=S+；).(*+4)=产+白+=+a e+1 e e e e e e 经过倒序相乘，就可以得到/./(2)./(n)(en+l+1)135.已知 f(x)=-L求证/(3)f(2n)X(n+1)X-(k+-)(2n+-k+-)=k(2n+l-k)+-+2n 1 k+-1-2(2n+l-k)+2解析：k 2n+-k 2n+-k k k(2n+l-k)其中:左二1,2,3,2，因为 2+%(1 2=(Z 1)(2 一左)2 0 n k(2n+l-k)2n所以(+，)(2+i+1)2+2k 2n+-k从而7(I)./(2)/(3)/(2n)2(2h+2产,令 s=CR-2+c,L+c;-2 9T+C-L所以/(2)/f(2n)2(+1)H.由倒序相加法得:2s=C：3-2+击)+c,沁+)+C，(*+X-2)36.若左 7,求证:s=-+1+1+1-n n+1 n+2 nk-1 2解析:c Z1 1、,1 1、/1 1、z 1 12Sn=(一+-)+(-+-)+(-+-)+(-+n nk-n+nk-2 n+2 nk-3 nk-n因为当xO,y。时,x+22而+x y U所以(-),/),所以4，当且仅当=丫时取到等号.x y x y x+y所以2S.-+-1-+1+.+=n+nk-+1+女一2 +2+女一3 n+nk-i n+nk-2(C,C,2+C,；-1)=2(2-2),所以 SN(2“_2).所以(x)-2T(x)N2(2-2)成立.综上，当4是奇数，几GN卡时，命题成立39已知函数八2-3 1)(1)求函数/(X)的最小值，并求最小值小于0时的。取值范围；(2)令s()=C+C+C；/(一 1)求证：s()(2”_2)/9解析：所以s”2伏-1),2(1)i+%-!nk+=2-43所以1 1-k+2一+-H-F-I-n n+1 +23nk-1 237.已知/(%)=-玉)(工一),求证：)一 16.2解析：/(0),/=。2再(1一%)氏(1一%2)0)，X当77=1时,左式二(2%+2)一(2x+2)=o右式=0;不等式成立.X X(2)/?2,左式=0,即：a Ina 1,;.ax ,又a 1/.x -loga Ina Ina同理：/。)0,有了-1(“1114,所以/(X)在(r,-log In a)上递减，在(-log“In a,+00)上递增；蛇1、|乙、1.、1+In In a所火(X)min=/(-logna)=-Ind若f(x)min 0,即In 1n a o,WJ In In a Ina -In 2 ea的取值范围是1 aa(2-2)l n a-(2,1-2)n=(2-2)(a2ina-l)=(2-2)/(方，所以不等式成立。40.已知函数 二_1/，ru/o+8对任意正数。，证明:l/(x)0,X0,由若令b=，则abx=8，ax而、_ 1 1 1后+后+后(-X先证力1;只要证 ab ab，即 H+8(l+a)(l+b),也即 a+b7,(l+a)(l+Z?)M+8据，此为显然.因此得证.故由得fM 2.综上所述，对任何正数a,x,皆有ix)2.41.求证:，+上+_一，*-L-1 _L vl+x 1+X yj+a 1+4 Jl+b 1+b解析一方面:-L+，+1 +2 3+1 2 V3 4J 2 4又由 2+a+h-x2yla+2bx yjlabx=8,得 a+b+x6.(法二)_n+l M+2 371+1所以x)=1 1 1111H-，H-=-1-1-Jl+x y!+a Jl+b 1+X +3+2(q+b+x)+(ah+o x+bx)(l+x)(l+)(1+/?)1|4+2 4n+2 4+2-1-F H-2(3+1)(+1)3(+2)(n+1)(3+1)9+(+/?+1)+(ah+bx)1+(a+尤)+ab+a/+bx)+abx-(l+x)(l+)(1+/?)(l+x)(l+a)(l+b)(2n+1)1-1-1.+(2/?+l)2-n2(2+1产 一(-1)2-(2n+1)2-n4=1(2+1)2(-X 再证X)2；另一方面：1 1 2n+1 2+2-1-h H-n+1 +2 3n+1 n+1 +1由、式中关于j,/,的对称性，不妨设xNa M.贝十、二项放缩(i 当a+627,则。之5,所以xNa N5，因为】，,此时+b(ii X当a”n(/i-l)(n 2)42.已知证明2解析:2。+寻耳%+?)(%+i)=因为 lb b2 b 1 2 所以 1 b(4)+b +b 4(1+ft)2 2(l+b)也+b 2(1+b)同理得 1。，于是/M2_l f _+_L_2 FIEW京2 I ab 0,因为 a b J 处 一,1+a +b+8 1+a 1+Z?(l+a)(l+b)ln(an+1+l)-ln(.,t+l)ln(l+)ZE(%+1+1)-ln(az+1)g 1不=ln(a+1)-ln(a2+1)1 1 i=2：=2 G-1)即 l n(a“+1)l+l n 3=a“3e-l e:43.设%=(1+J_),求证：数列%单调递增且即a 0则kbn(n+l)a-nb.()以a=l+-L/=l+U弋入()式得(l+】(l+%.n+1 n n+l n即仅”单调递增。以a=12=1+-代入()式得1(1+-)=(1+产4.2 2n 2 2此式对一切正整数”都成立，即对一切偶数有“24,又因为数列(1 H-)4n“单调递增，所以对一切正整数有(1+与4。n注：上述不等式可加强为24(1+_L)”3.简证如下：n利用二项展开式进行部分放缩：4=(i+_L)，=i+c：，+c：.J_+.+c；_L.“n n n n n2 nn只取前两项有*Z1+C：，=2.对通项作如下放缩：n1 _ 1 n n-l-Z+11 1 _ 1“正 knn n-k 1-2-2-尹故有氏+3+工=2+L3叱3.2 22 2T 2 1-1/2上述数列4的极限存在，为无理数e;同时是下述试题的背景：已知i,是正整数，且1三加(1+).简析对第(2)问：用1/代替及得数列色心=(1+/是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列(1+)递减,且 1 i 机(i+J.即44.已知 a+b=l,a 0,b0,求证：an+bn 2山解析：因为尹61,印0/0,可认为成等差数列，2设a=；-d,b=g+d，从而a+=(g d)+(；+d)2 21f45.设n l,n w N，求证(2)“i+-+(+l)(+2)+6 8即(1+()5+1 丁+2),得证46.求证:m3 e(1+-L)af(b)+bf(a)；对任意n e N都有ff(n)=3n.(I)试证明：/(x)为N*上的单调增函数；(II)求/+/+/(28)；(III)令a“=/(3),eN*，试证明：._W_L+_L+.+J_(l+n)mo当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述所提供的假分数性质、(1)运用抽象函数的性质判断单调性:因为af(a)+bf(b)加)+(a),所以可以得到(a-)/(&)-(a-8)/(0)0，(3)在解决4的通项公式时也会遇到困难.也就是(a 一b)(于(a)-/(/?)0,不妨设a h，所以，可以得到/(a)f(b),也就是说/(x)为N*上的单调增函数.(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力！首先我们发现条件不是很足,，尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到 什么结论,一发现就有思路了！由可知(a-Z?)(/(a)-0,令 1=l,a=/(I),则可以得到(/(%)-1)(/(/(1)-/(I)0,又/(/(I)=3,所以由不等式可以得到1/3,又/eN*,所以可以得至1)=2接下来要运用迭代的思想：因为/(I)=2，所以/=/(I)=3，/(3)=/(2)=6，/(6)=/(3)=9 9)=/(6)=18)/(18)=/(9)=27./(27)=/(18)=54，/(54)=/(27)=81在此比较有技巧的方法就是：81-54=27=54-27,所以可以判断f(28)=55当然，在这里可能不容易一下子发现这个结论，所以还可以列项的方法,把所有 项数尽可能地列出来，然后就可以得到结论.=3向，/(3向)=/(3)=3/(3),=3%，所以数列a=/(3)”N*的方程为4=2.3,从而_1+_1+.+_1(1_1 q a2 an 4 3一方面_L(i_L)2i=2+14 3 4所以_L(i_L)J.(i_L).工=,所以,综上有4 3 4 2+1 4 2n+l 4+24 8.已知函数/(x)的定义域为0用，且满足下列条件：对于任意总有且/。)=4；若玉2 0,%220,再+%21，则有/(斗+%)/(玉)+/(入2)3(I)求0)的值;(n)求证：y(x)4；(I I I)当xc(，击(/=1,2,3,)时,试证明:f(x)3又由得/(0)2/(0)-3,即 0)3;.-/(0)=3.(II)解：任取再,2 G。,且设玉f(xl)+f(x2-xl)-3,因为*2-再0,所以f（x2-a,）3 即,f（工2-%）-3 2 0,2 2 2 2n 小 生 CLB=+-11+!a+a2 a2+a3 an-+an+fll2 f（x f（x2）2 2 2 2则人=%的产%a 4-a2 a2+a3 an-l2 2 2an an-ai+%4*1.,.当 w 0,1时,y（x）/（i）=4.（III）证明：先用数学归纳法证明：/（_L）3x,+3=/+3N懵）而c 0,1,/单调递增:/（/）/（击）所以幻0（i=l,2）求证：af+d+片一】+J-1-b H-1-一,+2 a2+a3%+4,+!2解析:构造对偶式：令.片,端A=-1-1-1-1-）+2 2+fl3%+%+4保号性是指，定义在,可上的可积函数/（x）N（4）0，则f x）dxN（4）050.求证：ne en.解析：，:此一皿皿=/处=曰公，7t e n e L x I x J.x2x（e,i）时，1Z学 o，匕J二dx0 1 X A.In乃 In e en.-2（附-/解析：考虑函数5 1,H G N）,/金在区间Q+i（i=l，2,3,如图，显然（=方1-/）上的定积分.证明（III）：由a=l知.、,4+1.4=（%恰表示阴影部分面积，52.已知九eN,2 4.求证:+1 +2 +3 2n710显然（）吭、/由A+1解析:考虑函数x）=_L在区间q（i=i,2,3,上的定积分.1+X (q-4+M+2=f(4-4+1)*x2dx I)x dx=ai/X=2（后叫;n+i sa-sin*0,如图，已知直线/：y=x及曲线C：y=d,C上的点a的横坐标为外（0卬4）.从C上的点 作直线平行于了轴，交直线/于点尸+,再从点P+1作直线平行于y轴，交曲线C于点。,川乜（=1,2,的横坐标构成数列.（I）试求。用与。“的关系，并求“/的通项公式;（II）当a=时，证明已、1；乙 4=1”（III）当皿时，证明邙 k-3解析:=。（幺）广1（过程略）.(-)。3/dx=轲-a：+)十二、部分放缩(尾式放缩)54.求证：J_+1+.+33+1 3x2+1 3-2n-+7解析:1 1 1 1 1 1 11 1 1-1-F H：=1 1-H：1-+H-3+1 3x2+1-3-2-+1 4 7 3-2n-1+1 28 3-22 3-20-111 1 4 47 48 4-1 -=一28 3.1 84 84 71-2证明（）：由I知W55.设 ci=1H-F-1-,H-,a 2 2.求 1E：T 3/%2.:当A 21时解析：.=1+L+，+，k（k l）,kN2（只将其中一个攵变成左一1,进行部分放缩）,1 1 1.斗4 一%)%好话石&-)=正(-)五1 1 1 1-k2 k(k-i)k-1 k于 7H4小+*+导+*1+。一+(；一+(WT=2 0 时 sin x x 有 I sin x 11 x I(iii)当 x0,由(ii)可知：Isin xkl 尤 I%之+2;()，+，+.+，二1+Q1 1+。2 1+。2解析：(i)用数学归纳法：当”=1时显然成立，假设当 N人时成立即ak k-2,贝l j当=攵+1 时a l=4(4-%)+124(氏+2 4)+1?(&+2)2+1&+3,成立。(方)利用上述部分放缩的结论%+1 2 2%+1来放缩通项,可得知m+1N20+1)=a.+l-2k-(a.+1)2*-1-4=2*+1k 1 a.,+2k+2注：上述证明(i)用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：所以综上有I sin x 11 x I(x e R)十四、使用加强命题法证明不等式同侧加强对所证不等式的同一方向(可以是左侧，也可以是右侧)进行加强.如要证明/(x)A，只要证明f(x)0),其中B通过寻找分析，归纳完成.58.求证:对一切n(n e N*)，都有V1/k解析 1 二 1:1 1 1 1 1k4k 护&(甘-1)&k-i)k(k+i)V+1)J Vr+T-VTT1 _ 1(1 1 v m+v rn+1 -Jk 1 yk -Jk 1-Jk+1)24+1 2(女+2)伏+2 女)+1 6+3；证明(，)就直接使用了部分放缩的结论4m 2ak+11(1 1 f2k _ 1_1_k I y/k-1-lk+1 J V 2 yjk 1+1从而寸 J_i+_L_J_+_L_L+_L_L+.+_J_.=6 k&vt Vs V2 V4 V3 Vs v rn-vr+r当然本题还可以使用其他方法，如:1 _ _ r k4k k4k-yk-4k-4kylk(k-)所以 苏=1+1+2(1-2)3-当 x 2 工时 I sin x 11 x I 2(ii)异侧加强(数学归纳法)(iii)双向加强V2 1 1+一一1 1 4kJ&-Jk yk有些不等式往往是某个一般性命题的特殊情况，这时，不妨“返璞归真”，通过解析:*2 一屋=1漪想应i,下面用数学归纳法证明:双向加强还原其本来面目，从而顺利解决原不等式.其基本原理为:欲证明 A /(x)B，只要证明:A+C .f(x)O,A B).59.已知数列an满足:6=an+，求证:521 an 2).解析：2储+2,从而4了 2,所以有(i)当=1时,4 1)时,%